传热学第四章大作业
二维稳态导热问题
的数值解法
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第一题：如图所示，一个无限长矩形柱体，其横截面的边长分别为1L 和2L ，常物性。该问题可视为二维稳态导热问题，边界条件如图中所示，其中1L =0.6m ，2L =0.4m ， 1w T =60℃，2w T =20℃，()200/m K W λ⋅=。 1） 编写程序求解二维导热方程。
2）
绘制x =1L /2和y=2L /2处的温度场，并与解析解进行比较。已
知矩形内的温度场的解析解为：()()
()
()
112121/,sin //w w sh y L t x y T T x L sh L L πππ=+
解：(1)建立控制方程及定解条件
控制方程：22220t t
x y
∂∂+=∂∂
定解条件：
()
12
1111
1200sin /L w w w w w x t T x L t T y t T y L t T T x π========+*
（2）区域离散化（确立节点）
将矩形区域分为M*N 个网格，其中x 方向上的步长1
L M
x XDIF ∆==
;y
方向的步长2
L y YDIF N
∆==
。设节点为（m,n ）。 （3）建立节点离散方程
对节点（m,n ）有：内节点:
,,,,1,1,,1,10
m n m n m n m n m n m n m n m n t t t t t t t t y y x x x x y y λλλλ-+-+----⋅∆+⋅∆+⋅∆+⋅∆=∆∆∆∆化简得,1,1,,1,1/22m n m n m n m n m n y y x x y x t t t t t x
x y y x
y -+-+⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∆∆∆∆∆∆=⋅+
⋅+⋅+⋅⋅+⋅∆∆∆∆∆∆ 边界节点：
()11,1,1,11,121~1~1~sin /1~n w M n w m w m N w w t T n N t T n N
t T m M
t T T x L m M π=======+⋅⋅=
（4）编程求解，程序见附录
取M=N=50得到矩形区域各节点温度（见附件一），为方便在这里仅给出M=N=10时温度分布数据，如下表：
M=N=50时矩形区域节点温度分布图如图：
M=N=50时x=1L /2处数值解与解析解温度场分布如下：
50
x
温度分布
y
T
5
10
15
20
2530
35
40
45
50
y
T
X =L1/2处温度分布
M=N=50时y=2L /2处数值解与解析解温度场分布如下图：
5101520
253035404550
x
T
Y=L2/2处温度分布
第二题：
将第一题中2y L =处的边界条件变为2w t T =，其他条件不变。 1) 编写程序求解二维导热方程并计算从y =0处导入的热量2Φ。 2) 当21L L <<时，该二维导热问题可简化为一维导热问题。在一维的
近似下，试计算从y =0处导入的热量1Φ，并比较不同L 2/L 1下
21ΦΦ的比值。由该问题的解析解可知：
解：编程得到M=N=50温度分布数据见附件二，得到温度分布图如下：
这里也仅给出M=N=10时温度分布数据，见下表：
从y=0处导入的热量2 可以近似看作从y=0向y=0.4/9处传递的热量，y=0.4/9处的温度分别为： 0
50
60
2030
40
50
60
x
改变边界条件后温度分布
y
T
则
2,22,13,23,14,24,15,25,1
26,26,17,27,18,28,1=t t t t t t t t x x x x
y y y
y
t t t t t t
x x x
y y y
λ
λλλλλλ----Φ∆+∆+∆+∆∆∆∆∆---+∆+∆+∆∆∆∆
整理得2,23,24,25,26,27,28,22,13,14,15,16,17,18,1
2+=t t t t t t t t t t t t t t x y
λ
+++++-------Φ∆∆
0.6
1.50.4
x y ∆==∆ 22,23,24,25,26,27,28,22,13,14,15,16,17,18,1=1.5(+)5110.188
t t t t t t t t t t t t t t λΦ+++++-------=当21L L <<时，该二维导热问题可简化为一维导热问题。
()1
121,222
2M w m m L M T t L λ-=⎡⎤Φ=--⋅⎢⎥⎣⎦∑
当21/0.007L L =时，令M=N=100，得
()1
121,222
2M w m m L
M T t L λ-=⎡⎤Φ=--⋅⎢⎥⎣⎦∑=1129571.429
看作一维导热时21121
60202001142857.1430.007w w T T L L λ
--⎛⎫
Φ==⨯= ⎪⎝⎭ 不同21/L L 下21/ΦΦ比值如下表：
