法向量求线面角公式为：cosθ=a*b/(|a|*|b|)。
不平行于平面的直线上一点作平面的垂线，这条垂线与平面的交点与原直线与平面的交点的连线与原直线构成的（这条线与原直线的夹角的余角）即为线面角。
公式上部分：a与b的数量积坐标运算：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2。公式下部分是a与b的模的乘积：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则（|a||b|）=根号下（x1平方+y1平方）*根号下（x2平方+y2平方）。
线线角和线面角求解方法：
线线角可以直接采用公式求取，因为线线角范围是(0,π/2]，因此其夹角的正弦值和余弦值均恒大于等于零，所以直接求绝对值即可。
线面角的求取则需要借助平面的法向量，线面角与该直线和该平面的法向量所成的角互余，所以线面角的正弦值为直线与平面法向量所成角的余弦值，线面角的余弦值与平面法向量所成角的正弦值。
又因为线面角的范围同样为(0,π/2]，其夹角的正弦值和余弦值均恒大于等于零，所以在求该直线与该平面的法向量所成角的余弦值直接取绝对值即可。
专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离
问题
【知识梳理】
（1）异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线
1l，
2l上的方向向量，
为异面直
线所成角的大小，则coscos,
ab
ab
ab
．
（2）线面角公式：设l为平面
的斜线，a为l的方向向量，n为平面
的法向量，
为l与
所成角的大小，则sincos,
an
an
an
．
（3）二面角公式：
设
1n，
2n分别为平面
，
的法向量，二面角的大小为
，则
12,
nn
或
12,nn
（需要根据具体情况判断相等或互补）
，其中12
12cos
nn
nn
．
（4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量
的正射影性质直接计算．
如图，设两条异面直线，ab的公垂线的方向向量为n，这时分别在，ab上任取，AB两
点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线，ab的距离．则||
||
||||
nABn
dAB
nn即两
异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝
对值与公垂线的方向向量模的比值．
（5）点到平面的距离
A为平面
外一点（如图），n为平面
的法向量，过A作平面
的斜线AB及垂线AH．|n||n|
||||sin|||cos,|=||
nn
ABAB
AHABABABnAB
AB
||
||
ABn
d
n
（6）点
与点
之间的距离可以转化为两点对应向量
的模
计算．
（7）在直线l
上找一点
，过定点
且垂直于直线l
的向量为n
，则定点
到直线l的距离为
PAn
dPAcosPA,n
n
．
【专题过关】
【考点目录】
考点1：异面直线所成角
考点2：线面角
考点3：二面角
考点4：点到直线的距离
考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离
考点6：异面直线的距离
【典型例题】
考点1：异面直线所成角
1．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂
空间向量中线面夹角。
空间向量中线面夹角，指的是两个向量之间的夹角，这两个向量中的一个为直线向量，另一个为平面向量。在三维空间中，我们可以通过一些特定的公式来计算出这两个向量之间的夹角。
一、概念理解
在空间中，我们可以通过三个坐标轴来描述向量的位置，分别是x、y、z轴。向量可以分为直线向量和平面向量。直线向量在空间中沿着一条直线方向延伸，而平面向量则在空间中延伸成一个平面。当我们要计算两个向量之间的夹角时，一个为直线向量，另一个为平面向量。
二、求解步骤
假设有两个向量u和v，其中一个为直线向量，另一个为平面向量。现在我们来分步骤计算这两个向量之间的夹角。
步骤一： 求出向量u和向量v的模长。
向量的模长是指一个向量的长度大小，通过勾股定理可以求出。
模长公式： |u| =√(x1^2+y1^2+z1^2) , |v|=
√(x2^2+y2^2+z2^2)
步骤二：求出向量u和向量v的内积。
向量的内积是指两个向量的夹角的余弦值乘以两个向量的模长之积。
内积公式： u·v= |u|*|v|*cosθ
其中θ为向量u和向量v之间的夹角。
步骤三：求出向量u和向量v的方向余弦。
方向余弦是指一个向量在x、y、z轴上的投影，也可以表示为向量的三个分量除以向量的模长。
方向余弦公式： cosα = x/|u|, cosβ = y/|u|, cosγ =
z/|u|
cosα’= x/|v|, cosβ’= y/|v|, cosγ’ = z/|v| 步骤四：求解最终夹角
最终夹角的计算公式为：
θ= arccos(cosαcosα’+cosβcosβ’+cosγcosγ’)
通过这四个步骤，我们就可以求出两个向量之间的夹角了。这种方法适用于计算任意两个向量之间的夹角。需要注意的是，在计算过程中需要保证向量的模长不为零，如果模长为零则无法计算夹角。
第二讲 大题考法——立体几何
题型(一)
平行、垂直关系的证明与求线面角
主要考查以具体几何体三棱锥或四棱锥为载体，建立恰当的空间直角坐标系求解线面角问题.
[典例感悟]
[典例1] (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.
[审题定向]
(一)定知识
主要考查线线垂直、线面垂直、线面角．
(二)定能力
1.考查直观想象：三棱锥几何体中线线垂直、线面垂直的空间位置关系.
2.考查逻辑推理：欲证线面垂直，需证线线垂直；欲求线面角，需建系求面的法向量.
3.考查数学运算：法向量的求解、向量夹角的求解.
(三)定思路
第(1)问利用线面垂直的判定定理求证：
连接OB，由已知条件得出OP⊥AC，OP⊥OB，再利用线面垂直的判定定理得证；
第(2)问建立空间直角坐标系，用向量法求解：
建立以OB―→的方向为x轴正方向的空间直角坐标系，求出PC―→与平面PAM的法向量，进而求出PC与平面PAM所成角的正弦值.
[解] (1)证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以PO⊥AC，且PO＝23.
连接OB，因为AB＝BC＝22AC，
所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2. 所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.
又因为OB∩AC＝O，所以PO⊥平面ABC.
(2)以O为坐标原点，OB―→的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz.
由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0，23)，AP―→＝(0,2,23)．
取平面PAC的一个法向量OB―→＝(2,0,0)．
设M(a,2－a,0)(0
设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．
