二次根式的化简求值

二次根式的运算及化简求值技巧

哎呀，说起数学，那可真是让人又爱又恨的一门学科。咱们得承认，它有时候挺绕人的，特别是那些复杂的二次根式问题，简直能让人头疼到怀疑人生！不过别担心，今天我就给大家来点干货，教大家如何轻松搞定这些让人头疼的二次根式问题。

咱们得明白，二次根式就像是数学界的“小怪兽”，你得学会怎么驯服它们，而不是被它们吓得屁滚尿流。比如，当遇到这样的式子：√(4+3)=√7时，咱们可以先把它看作是两个数的和，也就是4和3。咱们可以用一根火柴棍在地上画个叉，表示4，再画一个圈表示3。然后，咱们用这根火柴棍去画一个箭头，把4和3连起来，这样就相当于找到了√7这个数。

接下来，咱们再来说说二次根式的化简。化简其实就是让那些看起来复杂难懂的式子变得简单易懂。比如说，有一个式子是√25，咱们可以想象成两个数的乘积，也就是5乘以2。咱们可以用一根火柴棍在地上画个叉，表示5，再画一个圆表示2。然后用这根火柴棍去画一个箭头，把5和2连起来，这样就等于简化成了√25。

当然了，化简还有更高级的技巧呢。比如，咱们可以用配方法来化简二次根式。比如，有一个式子是√9+1，咱们可以先把它看作是两个数的和，也就是3和2。咱们可以用一根火柴棍在地上画个叉，表示3，再画一个圆表示2。然后用这根火柴棍去画一个箭头，把3和2连起来，这样就等于简化成了√9+1。

咱们再来说说化简后的结果怎么求值。化简后的结果就是你要求解的那个数了。比如，咱们刚才化简的是√9+1，那么结果就是√9+1。你只需要把这个结果代入原来的式子中，就可以计算出你想要的答案了。

二次根式的运算和化简求值技巧可是相当重要的哦。掌握了这些技巧，你就能轻松应对各种复杂的二次根式问题啦！所以啊，赶紧拿出你的数学小本本，好好学一学这些实用的知识吧！

第06讲二次根式的混合运算与化简求值

一．解答题

1．（2023

秋•新蔡县期中）计算：；

【分析】（1）先计算二次根式的除法，再算减法，即可解答；

【解答】解：（1

）

＝

3﹣

2

+

＝

3﹣

2

+2

＝

3；

2．（2023秋•和平区校级期中）计算：

（1）

（）﹣1+（1﹣）0+|﹣2|；

（2

）

÷

﹣

×

+．

【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．

【解答】解：（1）

（）﹣1+（1﹣）0+|﹣2|

＝2+1+2

﹣

＝5

﹣；

（2

）

÷

﹣

×

+

＝

﹣

+4

＝

﹣

+4

＝4﹣

2+4

＝

2+4．

3．（2023秋•金塔县期中）计算：

（1

）；

（2

）；

（3

）；

（4

）．【分析】（1）把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；

（2）先把各个二次根式化成最简二次根式，然后利用乘法分配律进行计算即可；

（3）先根据二次根式的乘法法则进行计算，再把二次根式化成最简二次根式，进行合并即可；

（4）先根据二次根式的除法法则进行计算，再把二次根式化成最简二次根式，进行合并即可；

【解答】解：（1

）原式＝

＝；

（2

）原式＝

＝9+1

＝10；

（3

）原式＝

＝

＝；

（4

）原式＝

＝

＝

4．（2023秋•太原期中）计算下列各题：

（1

）；

（2

）；

（3）；

（4

）．

【分析】（1）先化简，然后合并同二次根式即可；

（2）先算乘法，再化简即可；

（3）根据完全平方公式将式子展开，然后合并同类二次根式和同类项即可；

（4）先化简，然后合并同二次根式即可．

【解答】解：（1

）

＝

3﹣

5

+4

＝

2；

（2

）

＝

＝

＝；

（3）

＝20﹣

4

+1+4

＝21；

（4

）

＝﹣

3

+5

＝．

5．（2023秋•郓城县期中）计算：

（1

）

﹣

+；

（2）

|﹣

1|+

﹣；

（3

）

+

×﹣|2

﹣|；

（4

）﹣（+1）2

﹣（+3

）×（﹣3）．

【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；

（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（3）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（4）利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．

专训2常见二次根式化简求值的九种技巧

名师点金：在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，在 运算的就后注意结果要化成爺简形式•在进行化简吋，一定要注意所给出的条件或題中的隐 含条件，根据題0的特点，选取适当的解题方法.

遨盟估算法

1.若将三个数一萌，申,0表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是

遨公式法

2.计算：(5+^)X (5^/2-2^3)-

3.计算：｛&¥羽「（羽*0）•〔提示:&+4羽+3返=（&+羽）+3（萌+迈）］ -2 丿 0 4一 （第1题）

還厅）2拆项法

托+4筋+举

+2+y^-4 I 卄2-屮2-4

+2 —\/n-—4 n+2+寸 n，—4

5.已砸 尸丙p求出一4的值.

'遨必?因式分解法

$计算：曲¥$侖而•4.已知 n=-J2+Ir 求。

n

配方法

7.若 a* b 为实数，且 b=U3-5a+75a-3+15,

48

-H 4* J «・.-ri 辅元法

8.已知 X ： y ： z=l : 2 : 3(XAO, y>0, z>0),求寸齐£辛的值.

:技乌9先判后算法

9-已知 a+b=—6, ab=5,求 寸号+¥-2的值. 15=|.

d 解:2+V6+Vio+Vi5~

_______

yj2 萌)+yj5 (边

yj2+yl3

1

5+® （花+花）_花+书_ （谚+迈）（花一农）_ 5-2 _

[3 —5a^0» 3

7. 解：由二次根式的；4^义，得k C.C ■••3-5a=O, •••a=w

5a-3>Or 5

•••b=15, .'-a+b>0> a—b<0.

• /b , a , r /b . a~" / (a+b) - / (a—b) - a+b — b—a g— "V尹B+2 一、/尹厂2=、/ —一=石価一石剧=

a+b b—a 厂 2 l 苛-石亟=押

当 a=|, b=15 时，

1 / 7

专题07 二次根式化简求值

【考点归纳】

1、二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．

2、二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．

3、二次根式的化简求值的常见题型及方法

常见题型：与分式的化简求值相结合．

解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．

【好题必练】

一、选择题

1．（2020秋•天心区期末）已知x＝+2，则代数式x2﹣x﹣2的值为（ ）

A．9 B．9 C．5 D．5

【答案】D．

【解析】解：∵x＝+2，

∴x﹣2＝，

∴（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，

∴x2＝4x+1，

∴x2﹣x﹣2＝4x+1﹣x﹣2＝3x﹣1，

当x＝+2时，原式＝3（+2）﹣1＝3+5．

故选：D．

2．（2020秋•会宁县期末）已知a＝+2，b＝﹣2，则a2+b2的值为（ ）

A．4 B．14 C． D．14+4

【答案】B．

【解析】解：∵a＝+2，b＝﹣2，

∴a+b＝（+2+﹣2）＝2，ab＝（+2）（﹣2）＝﹣1， 2 / 7

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2）2﹣2×（﹣1）＝14，

故选：B．

3．（2020秋•乐亭县期末）已知x＝+1，y＝﹣1，则x2+2xy+y2的值为（ ）

A．20 B．16 C．2 D．4

【答案】A．

【解析】解：当x＝+1，y＝﹣1时，x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（+1+﹣1）2＝（2）2＝20，

故选：A．

4．（2020•石家庄模拟）当，分式的结果为a，则 ）

A．a＞1 B． C． D．

【答案】B．

【解析】解：+

＝+

＝

＝，

当x＝+1时，原式＝＝＝，即a＝，

∵＜＜1，

∴＜a＜1，

故选：B．

5．（2020秋•渝中区校级月考）已知m＝+，n＝﹣，则代数式的值为（ ）