小学六年级奥数抓住不变量--分数应用题

四道“抓不变量”解答的分数应用题【背景介绍】：这几天主要是侧重学生使用算术方法解答。

我准备继续讲几道稍复杂的分数应用题,以下几题学生在昨天晚上已经做过，今天主要是评讲。

从学生的作业反馈看，做对的同学大多数使用的是方程，而做错的则是“五花八门”。

【课堂效果】：学生与教师不能形成互动，大多数学生一直是处于“模糊”状态，没有看到我所想达到的那种教师点拔后“顿悟”的教学效果。

【教学反思】：1、为什么学生讲完后还是不理解？原因可能有两方面：①教学内容对于大多数学生来说，难度可能偏高；②教师的讲解方式有待改进。

下面，我们就具体的题目来分析，看看问题到底出在什么地方？第一题：张庄小学六年级学生中女生占7/12，后来又转来了15名女生，这样女生占六年级总人数的3/5，六年级原来有多少名学生？【教学回放】：1、要求学生先把题目读一遍，然后再试图复述出原题；（第一遍读题，目的有二，第一，让学生再熟悉一下题目，因为之前已经做过了，今天只不过是评讲；第二，是集中注意力，因为是下午的辅导课，有的学生注意力不可能像上午上“正式数学课”那么集中，所以通过集体读题，唤起他们的注意。

第二遍读题，要求学生能尽量的在头脑中建立起题目的粗略的数量关系，为后面的进一步分析作铺垫。

这一环节，我想没有什么问题。

）2、出示学生的错误的式子，请学生判断并改正。

解：设六年级原来有X名学生。

7/12X＋15=3/5X提问：你们认为这个方程列的对吗？为什么？（先抛出学生练习中的错题，主要是让学生发现，两个分数的单位“1”是不一样的，第二次的总人数已经发生了变化。

）提问：如果要用方程解答，方程应该怎么列？解：设六年级原来有X名学生。

7/12X＋15=3/5（X＋15）（到这里，这道题目应该算是解答出来了，但是，我觉得这题不能仅仅满足于用方程解答，所以，下面我们又一起研究了如果用算术方法应该如何做）3、教学“抓不变量”解题的方法这里，我直接告诉学生这道题，我们也可以用算术方法解答，今天，我们教大家一种特殊的解答分数应用题的方法。

苏教版小学六年级数学下册抓不变量解分数应用题抓不变量解分数应用题培养能力，发展智力是小学数学教学的重要任务之一，而应用题则是锻炼学生思维的“磨刀石”。

应用题教学主要帮助学生解决“想什么”和“怎样想”的问题。

小学数学应用题教学就是把应用题的教学过程变成使学生在教师的指导下积极分析综合、比较概括、抽象推理及正确判断等思维方法的训练过程，以达到培养学生能力、发展学生智力的目的。

应用题教学对于训练学生的逻辑思维能力，巩固所学的知识有着重要的意义。

因此应用题教学在整个小学数学教学中占有重要的地位，它既是重点又是难点。

所以，掌握一定的解答应用题的方法和技巧是有必要的。

在小学数学应用题中犹以分数应用题为学生的一大难点。

其中一类分数应用题以其特有的结构和数理关系使多数学生难以入手。

为此，经过多年的实践和摸索，笔者总结了一套行之有效的方法，让教者易教，学者易学。

那就是找准题目中的不变量，以不变量为突破口，根据数量间的数理关系解决问题。

其流程如下：前后对比，问题得解量率对应，问题得解已知或能直接计算题目中的问题计算出不变量以不变量为单位“1”代入变化后数量关系中不变量找出其变化后的对应分率选中其中一个变量求出变化后的一个变量找出其变化前后各占“1”的分率找出其变化前后的数量算出分率差算出数量差例1、鸡栏里有公鸡和母鸡共80只，其中公鸡占总数的9/20,后来又买回若干只公鸡后，母鸡占总只数的14/25，问又买回多少只公鸡？首先，找准不变量：母鸡只数，可以直接计算出来，为80×(1－9/20)=44只。

然后，计算出来的公鸡44只代入变化后的关系中，找出其对应分率（1－14/25=11/25）。

接着，算出变化后的总只数：44÷11/25=100只。

最后，对比变化前后总只数，得出结论：100－80=20只。

将这种方法运用到对小学生来讲比较抽象的浓度问题中，学生理解起来就容易多了。

例如：一种浓度为45%的溶液800克，加入适量水后，浓度变为30%，求加了多少克水？可以把溶质和溶剂的质量分别想象成公鸡和母鸡的只数，溶液的质量就是总只数，这样运用类比的方法，小学生学习起来就既实在又有趣了。

一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有 变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转 化并解答。

二、精讲精练437 将的的分子与分母同时加上某数后得G ，求所加的这个数。

61 9解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18， 所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是g分母的G ，由此可求出新分数的分子和分母。

”9g分母：（61-43）+（1— ）=819 g分子：81X- =63981-61=20或63-43=20 43 g解法二：所的分母比分子多18,-的分母比分子多2,因为分数的与分母的差不变，所以 61 9-将5的分子、分母同时扩大（18+2=）9倍。

9 -①Q 的分子、分母应扩大：（61-43）・（9-7）=9 （倍） 9 - - -X9 63②约分后所得的G 在约分刖是：Q =不二 =*9 9 9X9 81③ 所加的数是81-61=20答：所加的数是20。

练习1：97 21、 分数有 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是三，那么减去的数是多少？181 5六年级奥数——抓“不变量”解题【例题1】43132、分数百的分子、分母同加上一个数后得三，那么同加的这个数是多少？13 5353、w的分子、分母加上同一个数并约分后得亍，那么加上的数是多少？19 758 24、将元这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是耳，那么减去的数是79 3多少？【例题2】42将一个分数的分母减去2得耳，如果将它的分母加上1，则得3，求这个分数。

4解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得5 ”可知，分母比分子的5倍还多2。

由“分母加i得2 ”可知，分母比分子的2倍少1, 从而将原题转化成一个盈亏问题。

抓住不变量解分数应用题例1、公园里有杨树、柳树、桃树和梅树，已知杨树占其他三种树的31，柳树占其他三种树的53，桃树占其他三种树的111，梅树有14课，问公园里杨树、柳树、桃树和梅树共有多少课？ 分析：这里的分率31、53、111的标准量各不相同，很难直接参加列式。

但我们应观察到四种树的总量不变，故可对条件进行转化，统一标准量。

“杨树占其他三种树的31”可转化为“杨树占四种树的41”； “柳树占其他三种树的53”可转化为“柳树占四种树的83”；“桃树占其他三种树的111”可转化为“桃树占四种树的121”。

由此可推出，梅树占四种树的1-41-83-121=247。

又知道，梅树有14课。

本题可简化为：四种树总数的247是14棵，求四种树共有多少棵？列式：14÷（1-41-83-121）=14÷247=48（棵） 例2、某班原来女生是男生的85，后来又调进4名女生，这时女生是男生的43，求这个班原有男生多少人？ 分析：抓住男生的人数不变进行分析，分析增加的4名女生占男生的几分之几，再列式计算。

列式：4÷（43-85）=4÷81=32（人）例3、有两条绳子，一条长21米，一条长13米，把两条绳子剪下同样长的一段后，发现短绳子剩下部分是长绳子剩下部分的138，求两条绳子各剪下多少米？ 分析：抓住两条绳子的差不变进行分析，先分析这个差（8米）占长绳子剩下部分的135，求出长绳子剩下部分的长度，再求出剪去的长度。

列式：21-（21-13）÷（1-138）=21-8÷135=21-2054=51（米） 练习精选 1. 甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原来各有多少吨？【思路点拨】现在甲是(180+10)÷2=95吨 所以, 原来甲95÷(1-1/3)=142.5吨 乙 180-142.5=37.5吨2.现有质量分数为20％的食盐水80克。

六年级利用寻找不变量解答分数应用题——教师版〖书海导航〗分数解决问题中有一些题目看似很复杂，但实际如果我们仔细去分析，看看题中哪些是变量，哪个是不变量。

通过抓住不变量解题，往往可以使解题过程十分简单。

解答时关键要“统一不变量，再看变量”或让不变量做分母等方法进行解答。

〖孤岛寻宝〗[例1] 将4361 的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。

寻宝路线图：解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79 ，由此可求出新分数的分子和分母。

”分母：（61-43）÷（1－79 ）＝81分子：81×79 ＝6381-61＝20或63-43＝20解法二：4361 的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的分子与分母的差不变，所以将79 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

① 79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）② 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381③ 所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。

〖巧练密笈〗1．分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少？1．分数113 的分子、分母同加上一个数后得35 ，那么同加的这个数是多少？〖孤岛寻宝〗[例2] 将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23 ，求这个分数。

寻宝路线图：解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45 ”可知，分母比分子的54 倍还多2。

由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32 倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子：（2+1）÷（32 －54 ）=12分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

抓住不变的量分析解决分数应用题
在六年级中学习了稍复杂的分数应用题后，学生往往开始不能正确解题了。

尤其当题中的量发生变化后，就更容易出现错误。

此时我们可以教会学生如何抓住不变的量分析。

例如：甲乙两仓库存粮的吨数的比是7︰5，如果从甲仓调36吨粮食到乙仓，那么现在甲乙两仓粮食吨数的比是1︰2，原来甲乙两仓各存粮食多少吨？
解法一：从甲仓运到乙仓，甲仓的粮食就要变少，乙仓要变多，我们就抓住总数不变进行分析。

从7︰5得到：原来甲仓占总数的
127，从1︰2得到：现在甲仓占总数的31。

甲仓由原来占总数的
127变成总数的31是因为少了36吨。

因此可以列式求出单位1总数的
吨数：36÷（
127－3
1）＝144（吨）然后用按比例分配的方法求出原来甲乙存粮的吨数。

144×12
7＝84吨 144×125＝60吨。

解法二：仍抓住总数不变。

原来总份数5＋7＝12份 现在总份数：1＋2＝3份，因为总数不变，因此统一总数的份数为12份。

所以现在的总份数扩大4倍，
甲和乙的比就改成：4︰8。

那么对于甲由原来的7 份变成4份是因为调走了36吨。

因此1份＝36÷（7－4）＝12吨。

原来甲：12×7＝84吨，原来乙12×5＝60吨。

六年级上册数学试题-专题训练分数应用题之抓住不变量苏教版本文介绍了分数应用题中的“抓住不变量”方法，即先求出不变量，然后以不变量为单位，列出等式或不等式，从而解决问题。

具体来说，分为三种类型：分量不变（量已知）、分量不变（量未知）和差量不变（量已知）。

在每种类型中，通过列出等式或不等式，可以求出未知量的值。

在分量不变（量已知）类型中，需要先求出不变量，然后以不变量为单位，列出等式，从而求出未知量的值。

例如，在甲乙两人共有160元，其中甲占3/5的情况下，甲用去一些后，甲剩下的是两人剩下总数的1/5，需要求出甲用去多少元。

解决方法是，先求出不变量为160/5=32，然后以不变量为单位，列出等式3/5x-32=2/5x，解得x=80，即甲用去80元。

在分量不变（量未知）类型中，同样需要先求出不变量，然后以不变量为单位，列出等式，从而求出未知量的值。

例如，在甲钱是乙钱的2/5的情况下，甲用去20元后，甲钱是乙钱的3/5，需要求出原来两人各有多少元。

解决方法是，先求出不变量为2/5x，然后以不变量为单位，列出等式2/5x-20=3/5x，解得x=100，即原来甲乙各有100元。

在差量不变（量已知）类型中，需要求出两个量的差不变，然后列出等式或不等式，从而求出未知量的值。

例如，在苹果40千克，梨60千克，各吃了同样多后，苹果是梨的情况下，需要求出各吃了多少千克。

解决方法是，设吃了x千克，那么梨吃了60-x千克，由于差量不变，所以有40-x=60-x，解得x=10，即各吃了10千克。

最后，通过“抓住不变量”方法，可以在解决分数应用题时更加高效地找到解题思路，从而快速解决问题。

抓不变量解答分数、百分数应用题
例1：将分数31/81的分子加上一个自然数，分母减去同一个自然数，约分后是5/9，这个自然数是多少？（这个自然数不变）
例2：分数43/63的分子减去一个数，而分母同时也减去上这个数后，所得的新分数化简后为5/9，减去的这个数是多少？（同上）
例3：小明今年10岁，他的爷爷今年70岁，多少年后，小明的年龄是他爷爷的1/4？
例4：某校成立思维训练班，报名的有45人，其中男生占3/5，要使女生能占总人数的11/20，还应招收多少名女生？
例5：某班一次集体朝会，请假人数是出勤人数的1/9，中途又有一人请假离开，这样一来，请假的人数是出勤人数的3/22。

那么，这个班共有多少人？
例6：现有浓度为20%的盐水40千克。

要蒸发多少千克的水，就可以得到浓度为40%的盐水？
例7：甲乙两箱红枣，每箱内装1998颗，要使得从乙箱中拿出若干红枣放入甲箱中后，甲箱的红枣棵数恰比乙箱多40%。

那么从乙箱中拿到甲箱的红枣数是多少？
例8：甲乙两仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，则甲还比乙多1/4，甲乙原来各有多少吨？
例9：有一堆棋子，其中白棋子占总数的11/20 ,再放入30枚黑棋子后，白棋子就只占总数的40%，则这堆棋子原有黑棋子多少枚？
例10：某校六年级有甲、乙两个班，甲班人数是乙班人数的5\7，如果从乙班调3人到甲班，甲班人数就是乙班人数的4\5，甲班原有多少人，乙班原有多少人？。

单位1的转化抓住不变量例1、有甲、乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的75。

如果从乙粮库调6吨粮食到甲，甲粮库存粮的吨数就是乙粮库的54。

问原来甲、乙粮库各存粮多少吨？分析：抓住甲、乙粮库总的存粮吨数保持不变。

解：6÷（544+-755+）=6÷361=216（吨）216×755+=90（吨） 甲216×757+=126（吨） 乙答：甲粮库存粮90吨，乙粮库存粮126吨。

例2、小芳在看一本小说，晚饭前，已看的页数是未看的71，晚饭后她又看了8页这时已看的页数是未看的61，求这本小说共有多少页？分析：抓住小芳又看了8页的部分和所对应的分率，求小说的总页数，用除法。

解：8÷（611+-711+）=448（页）答：这本小说共有448页。

例3、育才小学六年级学生中女生占127，后来又转来了15名女生，这样女生占六年级总人数的53，求六年级原来有学生多少人？分析：抓住“后来转来的15名女生”的部分和它多对应的分率，求“六年级学生总数”，用除法。

解：15÷[53÷（1-53）-127÷（1-127）]=15÷101=150（人） 男生150÷（1-127）=360（人）答：六年级原来有学生360人。

例4、甲乙二人共同生产一批零件,甲生产的是乙的35。

如果甲把自己生产的零件给乙55个，甲生产的就是乙的43，问甲、乙两人各生产多少个零件？分析：抓住“55个零件”和它所对应的分率，先求出甲、乙二人共同生产的零件总数。

解：55÷（535+-433+）=55÷5611=280（个）280×535+=175（个） 甲280-175=105（个） 乙答：甲生产175个零件，乙生产105个零件。

同步拔高1．有东、西两个粮库，如果从东库取出51放入西库，东库存粮的吨数是西库存粮吨数的21。

分数应用题一一抓住不变量例1、3两储苹果•乙廉苹果的乖惟足甲f?苹累的2・从甲筐中取出5『克半果放人乙0* 偿后■乙g中苹卑的重S足甲蟻的#“甲、£^啟懐苹果共垂裟少千克？巩固训练-有附上购你怡原来叩粮时碑的吨數址乙捲雁的y期盟从乙轅儒州昨吨報金到fpflm卩肛晅rm的吨歆就足乙帳库的4・原来叽乙（ft 1琴备存粮育多少吨73暮十小芳ft看一車说*晚饭射.已昏的西救尼未行的7 ■罐冥看了耳页・a时已看前页艱垦素#的2*这本小说有多少萸？—_ 9斗亿二人典湎鳖芦「批琴件小性严的魁乙生产的1骨恢站瞅甲把白己生产的零件皓乙55 4甲生严的最乙生严的Y冲 Z网人齐陀产r #少F弄+杆曲级5柚”里女生占?融灿进儿窖如虫诽如占总人貓詁”龔术nr尬来巧寥少扎？聊固训S 1』察輪小学兀隼麵空^生中女电|?^看*后来乂转* 丁 15無女生*这样女，弋年饶总人数的y・霑年圾囁*仃多少M2、「粮站匣有丈米占粮徵总量的齐頃出24吨大桶所剩大米占粮食总量的%问这个椎站原来共有粮負多少吨7訐唱&K中男生占女生丸数的卡.后舉丈用1103个女生'男生人數占合唱駅总人®的沽合嚼臥丿男女生各有参少人°r；F^岸图笳馆疽科扌总爭和文艺弔共530+ .其中科技书占20燥-g黑又拡f 一®份 tl-H +这时科抽栋占总数的帥％.求此买来广多少本科技»J ?聊固训练”五年级其科学生51 A-K屮女牛■占寻，后農乂转S若干名女生电时女生占2转塞的女佈秆巧少人】盅护*宥一淮曲果•Jt中孙椭占15%*再放人用块肚果W后，奶糖就只占25%*那么这堆衲*中冇奶懈多少块？巩固训塚2 一包糖果期糖占总块ft的、枚人诣块朮果糖后网臨占站数的环奶箱药彩少^块？©A 右曲權快空•第一tW垃2i分米■第二根氏30分米•两W轶蟾剪£同样怏的一段斤第一粮制下的也廈^^弟二根* F长度的詁剪下的1段有多怏？£ 3 巩固训gw甲乙两人去看电枳T融粘«价迪甲所有铁的咅ft乙所有钱的亍当他们再自买了电影聚后・甲羁下的找比乙卿下的铁多3元•甲、乙两人买电影票前各宵參少找？22煤气牧歉员到一幢懵牧璇气畫价款.他出權时一嬴我交款的户散占已2款户数的J•如魁少收2户上世空就的户数恰好占已兗K户fc的亍这《樓有舞少户？【当堂测试】hP-H：盐水.盐占盐水的弭加J6克ttJR.盐占盐忒的匝育盘水备娄少1■克¥J I2Z £趴原有人削竝屮趴的4 .现住丛叩徐AS瑚人到乙队丽乙臥人数込环队的亍玳•乙/闊朋原来茬有圭步人7旅¥吠门［琏原汁划殖全班i的人雲加大扫除r临时乂冇两人±渤期加.惟冥臥总忧大扌T除的人数是班上余下人»的7・S9W划抽岀5；夕人釧卩大打缺£4 一牛西nuw典千克・它重董的9&%姥木分・将囲瓜放在丈阳下圖■水會履发后的两；t 匝蜻时95輛悬水分.BP么晒后西氐的ifl足多少f电"■=■ " ■ ■沁一L£『："：...■1讨\； G八暑乐"川旻嬪一班0奔班会.一6畀宦上台向£那报& J诒下则生人败楚女生人ft的芈".yj 生卜冶乐一位女生”说厂台F魁吃人數只有女主人数的令二盂年圾一飢共有事;V*A?。

1. 分析题目确定单位“1”2. 准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题3. 抓住不变量，统一单位“1”一、知识点概述：分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。

在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系 例如：（1）a 是b 的几分之几，就把数b 看作单位“1”．（2）甲比乙多18，乙比甲少几分之几？方法一：可设乙为单位“1”，则甲为19188+=，因此乙比甲少191889÷=.方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少1199÷=.二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。

例如：我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。

解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。

（二）、两种数量比较分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。

有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。

在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。

例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。

这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。

（三）、原数量与现数量有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。

第3讲分数应用题—抓不变量一、基础夯实1.红花55朵，红花比黄花多101，黄花有（）朵；黄花150朵，红花比黄发多101，红花有（）朵。

2.甲班男生人数是女生人数的23，则女生人数是男生人数的()() 。

3.甲班男生人数是总人数的52，则男生是女生的()() 4.甲班女生人数是男生的54，则女生是全班人数的()() 5.甲班女生人数是总人数的54，则男生是全班人数的()() 二、抓不变量——总数不变1、有甲、乙两筐梨，乙筐梨的质量是甲筐梨的质量的53，从甲筐梨取出5千克放入乙筐，乙筐的梨的质量是甲筐梨的质量的97。

甲乙两筐梨的总质量是多少千克？2、四位同学去种树，第一位同学种的树是其他同学种树总量的21，第二位同学种的树是其他同学种树总数的31，第三位同学种的树是其他同学种树总数的41，而第四位同学刚好种了13棵，求四位同学一共种了多少棵树？课堂练习：1、某小学低年级原有少先队员是非少先队员的31，后来又有39名同学加入少先队员。

这样，少先队员的人数是非少先队员的87，低年级有学生多少人？2、兄弟四人和修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老二修了另外三人总数的31，老三修了另外三人总数的41，老四修了91米，问这条路全长多少米？二、抓不变量——部分不变1、某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的83。

后来又买进20根长跳绳，这时长跳绳的根数占长、短跳绳总数的127。

这个学校现在有长、短跳绳的总数是多少根？课堂练习：1、阅览室看书的同学中，女同学占53，从阅览室走出5名女同学后，看书的同学中，女同学占74。

原来阅览室里一共有多少名同学在看书？2、学校红墨水的瓶数占红、黑墨水总瓶数的94。

后来又买进60瓶红墨水，这时红墨水的瓶数占红、黑墨水总瓶数的116，这个学校现有红、黑墨水的总数是多少瓶？三、抓不变量——差不变1、有两根塑料绳，一根长80米，另一根长40米，如果两根上各减去同样长的一段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的72，两根绳各减去多少？课堂练习：1、有两根铁丝，一根长10厘米，另一根长8厘米，把两根都燃掉同样长的一部分，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的53，则每段燃掉了多少厘米？课后作业：1.某校6年级上学期男生占总人数的5027，本学期转进3名女生，转走3名男生，这时女生占总人数的2512，现在有男生多少人？（总量不变）2.某工厂的甲、乙、丙三个车间向灾区捐款，甲车间捐款是另外两个车间捐款的32，乙车间捐款是另外两个车间捐款数的53，已知丙车间捐款180元，这三个车间共捐款多少元？（总量不变）3.甲、乙、丙丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三队的21，乙队筑的路是其他三队的31，丙对筑的路是其他三个队的41，丁队筑了多少米？（总量不变）4.数学兴趣小组，上学期男生占95，这学期增加21名女生后，男生就只占52了，这个小组现有女生多少人？（部分不变）5.六（1）班上学期男生人数占班级学生总人数的137，这学期转进6名女生后，男生人数就只占班级学生总人数的21了，这个班现有女生多少人？（部分不变）6.有两段布，一段长40米，另一段长30米，把这两段布都用去同样长的一部分后，发现短的一段布剩下的长度是长的一段剩下长度的53，每段布用去了多少米？（差不变）。

第十二讲 抓“不变量”解题【典型例题1】将4361的分子与分母同时加上某数后得79。

求所加的这个数。

【分析】解法一:因为分数的分子与分母加上了同一个数,所以分数的分母与分子的差不变,仍是18,所以,原题转化成了一个简单的分数问题:“一个分数的分子比分母少18,且分子是分母的79,由此可求出新分数的分子和分母。

”分母:(61-43)÷（1—79）=81 分子:81×79 =6381-61=20或63-43=20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2。

因为分数的分母与分子差不变,所以将79的分子、分母同时扩大到原来的18÷2=9(倍)。

①79 的分子、分母应扩大到原来的:(61-43)÷(9-7)=9(倍)②约分后所得的79在约分前是:79 = 7×99×9= 4361 ③所加的数是:81-61=20”答:所加的这个数是20。

【随堂练习1】（1）分数 97181 的分子和分母都减去同一个数,新的分数约分后是 25。

求减去的这个数。

（2）分数 113 的分子、分母同加上一个数后得 35。

求同加的这个数。

【典型例题2】将一个分数的分母减去2得 45。

如果将它的分母加上1,则得 23，求这个分数。

【分析】解法一:因为两次都是改变分数的分母,所以分数的分子没有变化,由“它的分母减去2得 45”可知,分母比分子的 54倍还多2。

由“分母加1得 23”可知,分母比分子的 32倍少1,从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子:(2+1)÷（32—54）=12 分母:12×32—1=17 解法二:两个新分数在未约分时,分子相同。

①将两个分数化成分子相同的分数,且使分母相差3。

23= 46= 1218； 45= 1215②原分数的分母是:18—1=17或15+2=17 答:这个分数为 1217。

【随堂练习2】1、将一个分数的分母加上2得 79，分母加上3得 34。

六年级数学抓不变解分数应用题我们已经学过比的有关知识，都知道比和分数、除法有着密切的关系，所有比、分数与除法都能互相转化。

举一个例子，4/5既可以表示一个分数值，也可以表示两个数关系4占5的几分之几，也可以表示4除以5。

运用这些方法解决一些实际问题就可以使问题化难为易，化繁为简,有时还要根据题意，抓住题中不变量，找出不变量占单位1的分率，从而解决问题。

我们先做一个分率与比转化的练习。

1、甲数是乙数的23甲：乙=( ):( )2、男生：女生=5:4 男生占全班的（）。

前面我已经讲了，如果找不到具体的量，就用分率或份数形成比.用比形成数量之间的分率关系。

下面的题找一找哪个数量是不变的。

1.工程队修一条公路,已修了全长的15,如果再修300米,已修的是全长的14。

这天公路长多少米？2.某学校有男教师48人，占全校教师人数的4/5，调入几名女教师后，女教师占全校教师人数的1/4，调入女教师多少人？3.学校阅览室有36名学生看书，其中女生占4/9，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的9/19问：后来又有几名女生来看书？4.现有含糖10%的糖水50千克，要将它的含糖提高到20%，需要加糖多少千克？5.一批葡萄运进仓库时的质量是100千克，测得含水量为99%，过一段时间，测得含水量为 98%，这时葡萄的质量是多少千克？6.某校原有科技书和文艺书共630本，其中科技书占1/5，后来又买进一些科技书，这时科技书占总数的3/10，求又进进科技书多少本？7.育英小学原来男、女生人数的比是7：5，后来又转来12名女同学，这时男、女生人数的比是9：7.学校现有女生多少人?8.某车间男工人数是女工人数的2倍，若调走21个男工，那么女工人数是男工人数的2倍。

这个车间的女工有多少人？9.甲、乙两种电话的价格之比是7：3，如果他们的价格分别上涨70元后，价格之比是7：4。

这两种商品原来的价格各是多少元？10.光明小学原有男、女生人数的比是4:3，这个学期转来2个女生后，。

抓“不变量”解题1将4361的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。

2、分数97181的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25，那么减去的数是多少？3、分数113的分子、分母同加上一个数后得35，那么同加的这个数是多少？4、319的分子、分母加上同一个数并约分后得57，那么加上的数是多少？5、将5879这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？6将一个分数的分母减去2得45，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。

7 将一个分数的分母加上2得79，分母加上3得34。

原来的分数是多少？8 将一个分数的分母加上2得34，分母加上2得45。

原来的分数是多少？9 将一个分数的分母加上5得37，分母加上4得49。

原来的分数是多少？10 将一个分数的分母减去9得58，分母减去6得74。

原来的分数是多少？11在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于57 。

如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于12 ，求原来的最简分数是多少。

12、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于58 。

如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于12，求这个分数。

13、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于67 。

如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于13，求这个分数。

14、 一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于79 。

如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于35，求这个分数。

15将一个分数的分母加3得79 ，分母加5得34 。

原分数是多少？16、一个分数，将它的分母加5得56 ，加8得45 ，原来的分数是多少？（用两种方法）17、将一个分数的分母减去3，约分后得67；若将它的分母减去5，则得78。

原来的分数是多少？（用两种方法做）18、把一个分数的分母减去2，约分后等于34。

如果给原分数的分母加上9，约分后等于57。

求原分数。