厦门大学参考答案--08-09学年第一学期《高等代数》期末考试卷

厦门大学《高等代数》课程试卷

数学科学学院 各 系 2008 年级 各 专业

信息科学与技术学院 计算机科学 系 2008 年级 CST 专业

特别说明：答案写在答题纸上

一、 单选题（32分. 共8题, 每题4分）

1.

下列说法错误的是___B____.

A) 若向量组123,,ααα线性无关，则其中任意两个向量线性无关； B) 若向量组123,,ααα中任意两个向量线性无关，则123,,ααα线性无关； C) 向量组122331,,αααααα---线性相关；

D) 若向量组123,,ααα线性无关，则112123,,αααααα+++线性无关.

2. 设n 维列向量12,,...,m ααα()m n <线性无关, 则n 维列向量12,,...,m βββ线性无关的充要条件是

___D____.

A) 向量组12,,...,m ααα可由向量组12,,...,m βββ线性表示； B) 向量组12,,...,m βββ可由向量组12,,...,m ααα线性表示； C) 向量组12,,...,m ααα与向量组12,,...,m βββ等价； D) 矩阵12(,,...,)m A ααα=与矩阵12(,,...,)m B βββ=相抵. 3.

设线性方程组0Ax =的解都是线性方程组0Bx =的解，则__C__.

A) ()()r A r B <； B) ()()r A r B >； C) ()()r A r B ≥； D) ()()r A r B ≤.

4.

设n 阶方阵A 的伴随矩阵*

0A ≠，非齐次线性方程组Ax b =有无穷多组解，则对应的齐次线性

方程组0Ax =的基础解系__ B __. A) 不存在；

B) 仅含一个非零解向量；

C) 含有两个线性无关的解向量； D) 含有三个线性无关的解向量. 5.

下列子集能构成22

R

⨯的子空间的是___B____.

A) 221{|||0,}V A A A R ⨯==∈； B) 22

2{|()0,}V A tr A A R ⨯==∈；

C) 222

3{|,}V A A A A R ⨯==∈；

D) 22

4{|,}V A A A A A R ⨯'==-∈或.

6.

设V 是数域K 上的线性空间, V 上的线性变换ϕ在基12,,...,n ααα下的矩阵为A 且||2A =，若ϕ在

基11,,...,n n ααα-下的矩阵为B , 则||B =

A) 2n ；

B) 2； C)

1

2

； D) 不能确定.

7.

设V 是n 维向量空间，ϕ和ψ是V 上的线性变换，则dimIm dimIm ϕψ=

的充分必要条件是

A) ϕ和ψ都是可逆变换；

B) Ker ϕ=Ker ψ；

C) Im Im ϕψ=； D) ϕ和ψ在任一组基下的表示矩阵的秩相同. 8.

设ϕ是线性空间V 到U 的同构映射, 则下列命题中正确的有

个. (Ⅰ) ϕ为可逆线性映射；

(Ⅱ) 若W 是V 的s 维子空间, 则()ϕW 是U 的s 维子空间； (Ⅲ) ϕ在给定基下的表示矩阵为可逆阵；

(Ⅳ) 若12V=V V ⊕, 则1212)))ϕϕϕ⊕=⊕(V V (V (V . A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

二、 填空题（32分. 共8题,每题4分）

1. 若矩阵1234(,,,)A αααα=经过行初等变换化为100300

24010500

00-⎛⎫

⎪

⎪

⎪-

⎪⎝⎭

, 那么向量组1234,,,αααα的一个极大无关组是

其余向量由此极大无关

组线性表示的表示式为

2. 设3维向量空间的一组基为123(1,1,0),(1,0,1),

(0,1,1)ααα===，则向量(2,0,0)β=在这组基

3. 设1V ，2V 均为线性空间V 的子空间，则12()L V V ⋃

4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是

的一组基.

5. 已知12K ⨯上的线性变换ϕ定义如下：((,))(0,

)a b a ϕ=-，则Ker ϕ

Im ϕ

6. 设ϕ是数域K 上n 维线性空间V 到m 维线性空间U 的线性映射, 则ϕ为满射的充分必要条件是

（请写出两个）

7. 设12,,...,n ααα和12,,...,n βββ是线性空间V 的两组基，从12,,...,n ααα

到12,,...,n βββ的过渡矩阵为P . 若ϕ是V 上的线性变换且,()i i ϕαβ=1,2,...,i n =，则ϕ在基12,,...,n βββ下的表示矩阵是.

8. 设ϕ是线性空间V 上的线性变换，ϕ

在基12,,...,n ααα下的表示矩阵为0A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

其中A 为r r ⨯矩阵，则存在V 的一个非平凡ϕ- 三、

(8分) 设线性空间V 的向量组12,,...,m ααα线性无关，V β∈，考虑向量组12,,,...,m βααα.

求证：或者该向量组线性无关，或者β可由12,,...,m ααα线性表示.

证明： 若1,,,m βααL 线性相关，则存在不全为0的数01k ,k ,,k m L 使得011k +k +k 0m m βαα+=L ．我

们断言，0k 0≠．事实上，若0k =0，则11k +k 0m m αα+=L ．由12,,...,m ααα线性无关知1m k ==k =0L ．于

四、

(10分) 设1V ,2V 分别是数域K 上的齐次线性方程组12n x x x ===L 与120

n x x x +++=L 的解空间. 证明1

12n K

V V ⨯=⊕.