材料力学轴向拉伸与压缩

粗细的变化，与轴线垂直，称为 横向变形
L+DL L
d-Dd d
P
1、纵向变形
Dl l -l P
P
实验表明
l
Dl Pl
A
P
P
变形和拉力成正比
l
引入比例系数E，又拉压杆的轴力等于拉力
Dl Nl
EA
Dl Nl
EA
称为胡克（虎克）定律
E 体现了材料的性质，称为材料的拉伸弹性模量，
单位与应力相同
显然，纵向变形与E 成反比，也与横截面积A 成反比
A
y
F1
F2
x
BC杆：
1
N1 A1
F1 A1
20KN 100mm 2
200MPa
Q
AB杆： 2
N2 A2
- F2 A2
- 17.32KN 200mm 2
-86.6 MPa
2-4 拉压杆斜截面上的应力
n
m
α
P
A
pα
P x
m 为了考察斜截面上的应力，我们仍然利用截面法，即假想 地用截面 m-m 将杆分成两部分。并将右半部分去掉。
P
P
P
P
说明杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者 说横截面上每一点的伸长量是相同的
根据前面的实验，我么可以得出结论，即横截面 上每一点存在相同的拉力
P
N
如果杆的横截面积为：A
N
A
做轴力图并求各个截面应力
1 f20 4kN
1
2 6kN
2
f10 3kN
5kN
3 f30 2kN
3
2kN
N 1kN
+
+
P1 = 20 KN， P2 = 40 KN， P3 = 60 KN，求AB段和BC 段的应力
A P1
B P2
C
P3 x
P1
N1 N1 + P1 0
N1 -P1 -20KN
1
N1 A1
- 201000N 20 40mm 2
-25N
/
mm 2
-25MPa
压应力
- N2 - P3 0
N2
P3
II
P
P
I
SX=0：-N'+P=0 N'
N'=P
N
x
SX=0：+N-P=0
N=P
x
II
P
截面法求内力举例：求杆AB段和BC段的内力
2P
A
2P
1
PB
1 N1
2
CP
2
x
X 0 N1 - 2P 0
N1 2P
2P
P
N2
X 0 N2 + P - 2P 0
N2 P
2、轴力与轴力图
拉压杆的内力称为轴力，用 N 表示 轴力沿横截面的分布图称为轴力 图
Y 0
F1 cos60 - Q 0
F1 2Q 20KN
30 B
A
y
F1
F2
x
Q
F2
1 2
3F1 17.32KN
F1 2Q 20KN
F2
1 2
3F1 17.32KN
C
由作用力和反作用力可知：
BC杆的受力为拉力，大小等于 F1 AB杆的受力为压力，大 小等于 F2
最后可以计算的应力：
30 B
2-2 截面法与轴力
• 为了分析拉压杆的强度和变形，首先需 要了解杆的内力情况
• 材料力学中，采用截面法研究杆的内力
1、截面法
将杆件假想地沿某一横截面切开，去掉一部分， 保留另一部分，同时在该截面上用内力表示去掉部 分对保留部分的作用，建立保留部分的静力平衡方 程求出内力。
截面法的步骤：
P
I
注意：外力的正负号取决于坐 标，与坐标轴同向为正， 反之 为负。
-
1kN
|N|max=5kN
f20
f10
4kN
6kN
3kN
f30 2kN
1
N1 A1
5103 4 ( 2010 -3
)
2
15.9MPa
2
N2 A2
-1103 4 (1010-3 )2
-12.7MPa
3
N3 A3
2103 4 ( 3010 -3
)2
2.8MPa
例1-1 图示矩形截面（b h）杆，已知b = 2cm ，h=4cm ，
N2 -P3 -60KN
2
N2 A2
-75 MPa
压应力
例1-2 图示为一悬臂吊车， BC为
C
实心圆管，横截面积A1 = 100mm2， AB为矩形截面，横截面积 A2 = 200mm2，假设起吊物重为 Q = 10KN，求各杆的应力。
首先计算各杆的内力：
需要分析B点的受力
X 0
- F1 cos 30 + F2 0
斜截面的外法线仍然为 n， 斜截面的切线设为 t 。
根据定义，沿法线方向的应力为正应力
沿切线方向的应力为剪应力
利用投影关系，
p cos cos2 为横截面正应力
p
sin
sin
cos
2
sin 2
2-5 轴向拉压的变形分析 P
细长杆受拉会变长变细， 受压会变短变粗
长短的变化，沿轴线方向，称为 纵向变形
本章主要内容
• 轴向拉压举例 • 截面法与轴力 • 拉压杆横截面上的应力 • 拉压杆斜截面上的应力 • 轴向拉压的变形分析 • 拉伸和压缩时材料的力学性能 • 轴向拉压的强度计算
2-1 轴向拉压杆举例
曲柄连杆机构
连杆
特点：
ω
连杆为直杆
P
外力大小相等 方向相反沿杆 轴线
杆的变形为轴向伸 长或缩短
等直杆沿轴线受到一对大小相等方向相反的力作用，称为轴向 拉压。
该截面的外法线用 n 表示，法线与轴线的夹角为：α
根据变形规律，杆内各纵向纤维变形相同，因此，斜截
面上各点受力也相同。
设杆的横截面面积为A，
则斜截面面积为：A
A
cos
由杆左段的平衡方程 X 0
p A - P 0
来自百度文库
p
P A
P cos
A
cos
这是斜截面上与 轴线平行的应力
n
P
pα
τα
t 下面我们将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力
hh
为横向线应变
实验表明，对于同一种材料，存在如下关系：
EA 称为抗拉刚度
为了说明变形的程度，令 l - l Dl
ll
称为纵向线应变，显然，伸长为正号，缩 短为负号
Dl Nl
EA
l - l Dl
ll
E tg
θ
称为胡克（虎克）定律
N 1
EA E
E
也称为胡克定律
2、横向变形
P
hP
Dh h - h
l
P
P
h
同理，令
l
h - h Dh
50kN N
I
I 50kN
+
II 150kN
100kN
II
-
100kN
|N|max=100kN
50kN
I NI
I
NI=50kN
II NII
100kN
II NII= -100kN
2-3 应力的概念 拉压杆横截面上的应力
1、应力的概念
为了描写内力的分布规律，我们将单位面积的内力称为应力。
在某个截面上，
与该截面垂直的应力称为正应力。 记为：
与该截面平行的应力称为剪应力。 记为：
应力的单位：Pa
1 Pa 1 N / m2
1 MPa 1 N / mm 2 106 Pa
工程上经常采用兆帕（MPa）作单位
2、拉压杆横截面上的应力
杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形 所以讨论横截面的应力时需要知道变形的规律 我们可以做一个实验