数学之美：超乎你的想象
数学是美丽的
数学是有用的
数学是其它科学的基础和工具
概率统计，向量与余弦定理，图论与动态规划，黎曼几何
数学大师丘成桐说过：“数学是一门很有意义、很美丽、同时也很重要的科学。从实用角度讲,数学遍及到物理、工程、生物、化学和经济,甚至与社会科学也有很密切的关系。文学最高境界,是美的境界,而数学也具有诗歌和散文的内在气质,达到一定的境界后,也能体会和享受到数学之美。数学既有文学性的方面,也有应用性的方面,我对这些都感兴趣,探讨它们之间妙趣横生的关系,让我真正享受到了研究数学的乐趣。”
数学是美丽的，
数学作为自然科学的基础，其本身就具有许多美的特征，它们是形象、生动而具体的。把数学中美的现象展示出来，再从美学角度重新认识，这不仅是对人们观念的一种启迪，同时可帮助人们去思维、探索、研究、发掘。古代哲学家普洛克拉斯就说：“哪里有数学，哪里就有美。”著名哲学家罗素也这样说：“数学，如果正确看它，不但拥有真理，而且也具至高的美。”
第一是数学的外在形式美，表现为简洁、对称、和谐、统一，它给人的美感是“悦目”；爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因期坦的这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。欧拉给出的公式：V－Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。数学的这种简洁美，不是用几个定理可以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。
第二是数学的内在理性美，表现为内容的真实、逻辑的严密、结构的严谨、方法的巧妙、思想的深邃。这种内在意蕴的美要凭借人的智慧才能把握，它给人的美感是“赏心”；以学生的学习的心理过程来看，认知过程与审美情感本身就是深刻地渗透在一起的。学生对知识的掌握理解以及由知识到智力的转化都需要借助逻辑的严密、结构的严谨、方法的巧妙，正是知识向智力转化的最有效的动力。
第三是数学的创造美，是最高层次的美，只有在发现数学和应用数学的活动中才能产生，它给人的美感是“怡神”；学生思维有较大的活动空间，呈跳跃状，对新奇的事物的困惑或矛盾都扶植和加强了学生成为探索者的愿望，学习潜能得到充分发展。难怪有人说数学是思维体操。
数学之美更体现在它的精神，著名数学家M.克莱因说过，数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素。由于数学已经广泛地影响着现代生活和思想，今天的西方文明与以往任何历史上的文明都有着明显的区别。数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说；满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想；甚至可能有时以难以察觉到的方式但无可置疑地影响着现代历史的进程。在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，使得人类的思维得以运用到最完善的程度，也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。
数学之美还体现在能以最简捷的方式解决难以用其他方法解决的难题。
数学是有用的
下面以现代信息技术为例，略举数例。
信息检索和自然语言处理
也许大家不相信，数学是解决信息检索和自然语言处理的最好工具。它能非常清晰地描述这些领域的实际问题并且给出漂亮的解决办法。每当人们应用数学工具解决一个语言问题时，总会感叹数学之美。
长期以来，人类一直梦想着能让机器代替人来翻译语言、识别语音、认识文字（不论是
印刷体或手写体）和进行海量文献的自动检索，这就需要让机器理解语言。但是人类的语言可以说是信息里最复杂最动态的一部分。为了解决这个问题，人们容易想到的办法就是让机器模拟人类进行学习- 学习人类的语法、分析语句等等。尤其是在乔姆斯基（Noam Chomsky 有史以来最伟大的语言学家）提出“形式语言” 以后，人们更坚定了利用语法规则的办法进行文字处理的信念。遗憾的是，几十年过去了，在计算机处理语言领域，基于这个语法规则的方法几乎毫无突破。
其实早在几十年前，数学家兼信息论的祖师爷香农(Claude Shannon)就提出了用数学的办法处理自然语言的想法。遗憾的是当时的计算机条件根本无法满足大量信息处理的需要，所以他这个想法当时并没有被人们重视。七十年代初，有了大规模集成电路的快速计算机后，香农的梦想才得以实现。首先成功利用数学方法解决自然语言处理问题的是语音和语言处理大师贾里尼克。
一、自然语言句子的理解
在很多涉及到自然语言处理的领域，如机器翻译、语音识别、印刷体或手写体识别、拼写纠错、汉字输入和文献查询中，我们都需要知道一个文字序列是否能构成一个大家能理解的句子，显示给使用者。对这个问题，我们可以用一个简单的统计模型来解决这个问题。
如果S 表示一连串特定顺序排列的词w1，w2，…，w n，换句话说，S 可以表示某一个由一连串特定顺序排列的词而组成的一个有意义的句子。现在，机器对语言的识别从某种角度来说，就是想知道S在文本中出现的可能性，也就是数学上所说的S 的概率，用P(S) 来表示。利用条件概率的公式，S 这个序列出现的概率等于每一个词出现的概率相乘，于是P(S) 可展开为：
P(S) = P(w1)P(w2|w1)P(w3| w1 w2)…P(w n|w1 w2…w n-1)
也许很多人不相信用这么简单的数学模型能解决复杂的语音识别、机器翻译等问题。其实不光是常人，就连很多语言学家都曾质疑过这种方法的有效性，但事实证明，统计语言模型比任何已知的借助某种规则的解决方法都有效。20世纪90年代统计方法成为自然语言处理的主流技术
现在，你也许已经能感受到数学的美妙之处了，它把一些复杂的问题变得如此的简单。当然，真正实现一个好的统计语言模型还有许多细节问题需要解决。贾里尼克和他的同事的贡献在于提出了统计语言模型，而且很漂亮地解决了所有的细节问题。十几年后，李开复用统计语言模型把997 词语音识别的问题简化成了一个20 词的识别问题，实现了有史以来第一次大词汇量非特定人连续语音的识别。
