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(完整版)椭圆双曲线的经典结论

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第1页，共8页 椭圆双曲线的经典结论

一、椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.

6. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.

7. 椭圆22221xyab (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.

8. 椭圆22221xyab（a＞b＞0）的焦半径公式：

10||MFaex,20||MFaex(1(,0)Fc , 2(,0)Fc00(,)Mxy).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11. AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则22OMABbkka，

即0202yaxbKAB。

12. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.

13. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

第2页，共8页 22002222xxyyxyabab.

二、双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

5. 若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221xxyyab.

6. 若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.

7. 双曲线22221xyab（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点12FPF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2FPFSbco.

8. 双曲线22221xyab（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(1(,0)Fc , 2(,0)Fc

当00(,)Mxy在右支上时，10||MFexa,20||MFexa.

当00(,)Mxy在左支上时，10||MFexa,20||MFexa

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11. AB是双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。

12. 若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.

第3页，共8页 13. 若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆

1. 椭圆22221xyab（a＞b＞o）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.

2. 过椭圆22221xyab (a＞0, b＞0)上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且2020BCbxkay（常数）.

3. 若P为椭圆22221xyab（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,

12PFF, 21PFF，则tant22accoac.

4. 设椭圆22221xyab（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记12FPF, 12PFF,12FFP，则有sinsinsincea.

5. 若椭圆22221xyab（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6. P为椭圆22221xyab（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2112||||||2||aAFPAPFaAF,当且仅当2,,AFP三点共线时，等号成立.

7. 椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()AaBbAxByC.

第4页，共8页 8. 已知椭圆22221xyab（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111||||OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224abab;（3）OPQS的最小值是2222abab.

9. 过椭圆22221xyab（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则||||2PFeMN.

10. 已知椭圆22221xyab（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px, 则22220ababxaa.

11. 设P点是椭圆22221xyab（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF，则(1)2122||||1cosbPFPF.(2) 122tan2PFFSb.

12. 设A、B是椭圆22221xyab（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|||sabPAacco.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABabSba.

13. 已知椭圆22221xyab（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

第5页，共8页 e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

双曲线

1. 双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.

2. 过双曲线22221xyab（a＞0,b＞o）上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且2020BCbxkay（常数）.

3. 若P为双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,

F 2是焦点, 12PFF, 21PFF，则tant22cacoca（或tant22cacoca）.

4. 设双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记12FPF,

12PFF,12FFP，则有sin(sinsin)cea.

5. 若双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6. P为双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则21||2||||AFaPAPF,当且仅当2,,AFP三点共线且P和

第6页，共8页 2,AF在y轴同侧时，等号成立.

7. 双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222AaBbC.

8. 已知双曲线22221xyab（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.

（1）22221111||||OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224abba;（3）OPQS的最小值是2222abba.

9. 过双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则||||2PFeMN.

10. 已知双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px, 则220abxa或220abxa.

11. 设P点是双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF，则(1)2122||||1cosbPFPF.(2)

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椭圆双曲线知识点总结

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椭圆知识点

【知识点1】椭圆的概念:

在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

当动点设为M时，椭圆即为点集P12|2MMFMFa

注意：若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；

若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形。

【知识点2】椭圆的标准方程

焦点在x轴上椭圆的标准方程: 222210xyabab，焦点坐标为（c，0)，（-c，0)

焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：222210xyabba焦点坐标为（0，c，）(o，-c)

【知识点3】椭圆的几何性质:

规律:

(1)椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.

(2)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.

(3)在椭圆中，离心率22222221ababaacace

(4)椭圆的离心率e越接近１椭圆越扁；e越接近于０，椭圆就接近于圆；

(5)离心率公式：在21PFF中，21FPF，12FPF，sinsinsine

二、椭圆其他结论 标准方程 222210xyabab 222210xyabba

图形

性质 范围 axa byb

对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点

顶点 A1(－a,0)， A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距 ∣F1F2 |=2c

离心率 e=ca∈(0,1)

a，b，c的关系 c2＝a2－b2 学习必备

微重点 椭圆、双曲线的二级结论的应用

微重点 椭圆、双曲线的二级结论的应用

微重点 椭圆、双曲线的二级结论的应用

椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．

考点一 焦点三角形 核心提炼

焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F1，F2且∠F1PF2＝θ，

则椭圆中12PFFS△＝b2·tan θ2，

双曲线中12PFFS△＝b2tan θ2.

例1 (2022·临川模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝12，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝π3，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为( )

A．2 B．4 C．6 D．12

答案 D

解析 由e＝12，得ca＝12，即a＝2c.①

设△F1PF2的内切圆的半径为r，

因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，

所以πr2＝3π，解得r＝3(舍负)，

在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，

知12FPFS△＝b2tan∠F1PF22＝12r(2a＋2c)，

即33b2＝3(a＋c)，②

又a2＝b2＋c2，③

联立①②③得c＝3，a＝6，b＝33，

所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.

易错提醒 (1)要注意公式中θ的含义． (2)椭圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆．

跟踪演练1 如图，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(

)

A.2

B.3

C.32 D.62

答案 D

解析 设双曲线C2的方程为x2a22－y2b22＝1，

则有a22＋b22＝c22＝c21＝4－1＝3.

高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结

高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结

高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结

在高中数学中，椭圆与双曲线是解析几何部分的重要内容，它们具有独特的性质和广泛的应用。下面让我们一起来详细了解一下这两个重要的数学概念。

一、椭圆

椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点轨迹。

1、 椭圆的标准方程

当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋

＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为椭圆的长半轴长，＼（b\）为椭圆的短半轴长，＼（c\）满足\（c^2 ＝ a^2

b^2\），＼（c\）为半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。

当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋

＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），焦点坐标为\（（0,

＼pm c)＼）。

2、 椭圆的性质

（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。

（2）范围：对于\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋ ＼frac{y^2}｛b^2} ＝

1\），＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。 （3）离心率：椭圆的离心率\（e ＝ ＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e

＜ 1\）），离心率反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。

3、 椭圆的焦半径

设椭圆上一点\（P(x_0, y_0)＼），焦点为\（F_1\）、＼（F_2\），则\（｜PF_1| ＝ a ＋ ex_0\），＼（｜PF_2| ＝ a ex_0\）。

4、 椭圆的切线方程

若点\（P(x_0, y_0)＼）在椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋ ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）上，则过点\（P\）的切线方程为\（＼frac{x_0x}｛a^2}

椭圆与双曲线二级结论

椭圆与双曲线二级结论

1 椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.

6. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.

7. 椭圆22221xyab (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.

8. 椭圆22221xyab（a＞b＞0）的焦半径公式：

10||MFaex,20||MFaex(1(,0)Fc , 2(,0)Fc00(,)Mxy).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11. AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则22OMABbkka，

即0202yaxbKAB。

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 2 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）