§2-7势能 机械能守恒定律

什么是机械能守恒定律

机械能守恒定律是物理学中的基本原理之一，在许多物理问题的分析中都起着重要的作用。机械能守恒定律指的是在没有外力做功和没有非保守力存在的情况下，物体的机械能保持不变。

机械能守恒定律可以分为动能守恒和势能守恒两个方面。动能是物体运动时由于速度而具有的能量，势能则是物体由于位置而具有的能量。根据能量守恒定律，动能和势能之间可以相互转化，但总的机械能保持不变。

机械能守恒定律可以用数学公式来表示。对于一个质量为m的物体，其动能E_k和势能E_p之和即为机械能E。数学表达式为：

E = E_k + E_p

其中，动能E_k可以用以下公式计算：

E_k = 1/2 * m * v^2

其中，m代表物体的质量，v代表物体的速度。

势能E_p则可以分为重力势能和弹性势能两种情况。

对于重力势能，可以使用以下公式计算：

E_p = m * g * h

其中，g为重力加速度，h为物体的高度。

对于弹性势能，可以使用以下公式计算： E_p = 1/2 * k * x^2

其中，k为弹性系数，x为物体的变形量。

机械能守恒定律可以通过以下实例进行说明：

假设有一个小球从高处自由落下，当小球初始速度为零时，其势能最大，动能为零。随着小球下落，势能逐渐减小，而动能逐渐增大。当小球到达最低点时，势能为零，动能最大。在整个过程中，小球的机械能保持不变。

另一个实例是弹簧的压缩和释放。

当力施加在弹簧上时，弹簧会发生形变，这时弹簧具有弹性势能。当施加力的物体离开弹簧时，弹簧会恢复原状，弹性势能转化为动能或其他形式的能量。在这个过程中，机械能守恒定律依然成立。

机械能守恒定律的应用十分广泛。许多物理问题，如摩擦力、碰撞等，都可以通过机械能守恒定律进行解决。了解和掌握机械能守恒定律可以帮助我们更好地理解物体的运动和相互作用，对于物理学的学习和应用具有重要意义。

总结：

机械能守恒定律是物理学中的重要原理之一，指出在没有外力做功和非保守力存在的情况下，物体的机械能保持不变。机械能由动能和势能组成，可以相互转化，但总的机械能保持不变。通过数学公式和实例，我们可以更好地理解和应用机械能守恒定律。掌握机械能守恒定律对物理学的学习和应用具有重要意义。

机械能守恒定律的公式

在物理学中，机械能是动能和势能的总和，可以用以下公式表示：

机械能（Em）=动能（K）+势能（U）

其中，动能（K）定义为一个物体由于运动而具有的能量。动能与物体的质量（m）和速度（v）的平方成正比：

动能（K)=1/2*m*v^2

势能（U）定义为一个物体由于其位置而具有的能量。势能的大小取决于物体的位置以及一些宏观物理量。常见的势能形式包括重力势能和弹性势能等。

重力势能：当一个物体处于高处时，由于其重力而具有的势能。重力势能与物体的质量（m）、重力加速度（g）和物体的高度（h）成正比：

重力势能（Ug）=m*g*h

弹性势能：当一个物体被压缩或拉伸时，由于其弹性而具有的势能。弹性势能与弹性系数（k）和物体的位移（x）的平方成正比：

弹性势能（Us）=1/2*k*x^2

当一个系统不受外力做功时，机械能保持不变。表示为：

机械能初（Ei）=机械能末（Ef）

机械能初指的是系统在一些时间点的初值，机械能末指的是系统在另一个时间点的末值。根据机械能的定义和势能及动能的计算公式，可以将机械能守恒定律的公式推导为： 1/2*m*v^2+m*g*h+1/2*k*x^2=常数

这个常数的值取决于系统在不同时间点的机械能的初始值和末值。但是，当一个系统处于自由落体或弹性碰撞等情况下，机械能守恒定律的公式可以更简化为：

m*g*h初+1/2*m*v初^2=m*g*h末+1/2*m*v末^2

其中，h初是系统在一些时间点的高度，v初是系统在该时间点的速度；h末是系统在另一个时间点的高度，v末是系统在该时间点的速度。

总结起来，机械能守恒定律的公式是用来描述一个系统在无外力做功的情况下，机械能保持不变的物理定律。该公式由动能和势能的计算公式组成，可以通过这些公式计算出系统在不同时间点的机械能的初值和末值，进而验证机械能守恒定律。在一些特殊情况下，该公式也可以进一步简化。

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第 1 页 共 10 页 第七章 机械能守恒定律

【要点归纳】

对功的公式W＝Flcos α的理解

1．F表示力的大小，l表示力的作用点相对于地面位移的大小，当力的作用点的位移与物体的位移相同时，也常常说是物体相对地面的位移大小，α表示力与位移方向间的夹角．

2．公式仅适用于求恒力的功．

3．计算功时首先要分清是求单个力做功还是求合力做功．

(1)求单个力做功时，某一个力做的功，不受其它力的影响．例如从斜面上滑下的物体，重力对物体做的功与斜面是光滑的还是粗糙的没有关系．

(2)求解合力做功时，有两种方法，一种方法是合力做的总功等于各个力做功的代数和，另一种方法是先求出物体所受各力的合力，再用公式W总＝F合lcos α计算．

4．功是过程量，是力在空间的积累量．功只有大小，没有方向，是标量．

5．实际计算时，不必生搬硬套公式W＝Flcos α，一般通过分解力或分解位移的方法求解．

6．功是标量，但有正功、负功之分，功的正负既不表示大小，也不表示方向，只表示两种相反的做功效果，即为动力功还是阻力功．

功率的理解和求法

1．功率表示做功的快慢，不表示做功的多少．可以和加速度的概念进行类比，例如速度大的物体加速度不一定大．

2．功率是标量，只有大小，没有方向．

3．功率有平均功率和瞬时功率之分

(1)平均功率：平均功率表示力在一段时间内做功的平均快慢．平均功率与一段时间(或过程)相关，计算时应明确哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率．常用P＝Wt来求平均功率．如果用P＝Fv求平均功率，公式中v应为平均速度，F是恒力．

(2)瞬时功率：瞬时功率表示力在一段很短时间内做功的快慢程度，计算时应明确哪个力在哪个时刻(或状态)的功率．用公式P＝Fv来计算瞬时功率，公式中v应为瞬时速度，且F和v同方向．若F和v方向不同，则应用P＝Fvcos α.

重力做功与重力势能的变化

1．重力做功的特点

(1)物体运动时，重力对它做的功，只跟物体的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关．

机械能守恒定律

一、 机械能守恒定律的条件和机械能守恒定律

的常用数学表达式：

1. 守恒条件：只有重力或弹力做功，只发生动能和势能的转化.分析一个物理过程是不是满足机械能守恒，关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功，这一力做功是什么形式的能转化成什么形式的能，如果只是动能和势能的转化，而没有其它形式的能发生转化，则机械能守恒，如果没有力做功，不发生能的转化，机械能当然也不会发生变化.

2.常用数学表达式:

第一种：Ek1+EP1=EK2+EP2从守恒的角度表明物体运动过程中，初状态和末状态机械能相等

第二种：△Ek =-△EP 从转化的角度表明动能的增加量等于势能减小量

第三种：△E1=-△E2 从转移的角度表明物体1的机械能增加量等于物体2的机械能的减少量

【例1】如图5-4-1所示，一轻质弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬挂点等高的地方无初速度释放，让其自由摆下，不及空气阻力，重物在摆向最低点的位置的过程中（ ）

A．重物重力势能减小

B．重物重力势能与动能之和增大

C．重物的机械能不变

D. 重物的机械能减少

【解析】物体从水平位臵释放后，在向最低点运动时，物体的重力势能不断减小，动能不断增大.弹簧不断被拉长，弹性势能变大.所以物体减少的重力势能一部分转化为自身的动能，另一部分转化为弹簧的弹性势能.对整个系统机械能守恒，而对重物来说，机械能减少.答案：AD

【答案】AD

【点拨】重力势能属于物体和地球共有,通常所说“物体的重力势能”,只能省略“地球”,其他物体不能省略.此处D答案说成“重物和弹簧的机械能守恒”就是正确的.

● 拓展

关于物体的机械能是否守恒的叙述，下列说法中正确的是（ ）