高中数学数列习题

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列四个数中，哪一个是数列{)1(nn}中的一项 （ A ）

（A）380 （B）39 （C）35 （D）23

2．在等差数列}{na中，公差1d，8174aa，则20642aaaa的值为（B ）

（A）40 （B）45 （C）50 （D）55

3．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（ D ）

（A）1997 （B）1999 （C）2001 （D）2003

4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ C ）

（A）12 ,ac=-9

解：由等比数列的性质可得ac＝（－1）×（－9）＝9，b×b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3，选B

8．在等差数列｛an｝中，已知a1=2,a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（ B ）

A.40 B.42 C.43 D.45

解：在等差数列na中，已知1232,13,aaa∴ d=3，a5=14，456aaa=3a5=42，选B.

9．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ C ）

A.5 B.4 C. 3 D. 2

解：3302551520511ddada，故选C.

解：由互不相等的实数,,abc成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由310abc可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又,,cab成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D

11．在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 = （ A ）

A. 81 B. 27527 C. 3 D. 243

解：因为数列｛an｝是等比数列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝

（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）＝（a1a10）4＝34＝81，故选A

12． 在等比数列na中,12a,前n项和为nS,若数列1na也是等比数列,则nS等于（C ） (A)122n (B) 3n (C) 2n (D)31n

【解析】因数列na为等比，则12nnaq，因数列1na也是等比数列，

则22121122212(1)(1)(1)22(12)01nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaqqq

即2na，所以2nSn，故选择答案C。

【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。

13．设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaa（B ）

A．120 B．105 C．90 D．75

【解析】na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则25a，13(5)(5)16aadd，∴ d=3，1221035aad，111213aaa105，选B.

14．设nS是等差数列na的前n项和，若735S，则4a（ D ）

A．8 B．7 C．6 D．5

【解析】nS是等差数列na的前n项和，若74735,Sa ∴ 4a5，选D.

15．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12 ＝ （ A ）

（A）310 （B）13 （C）18 （D）19

解析:由等差数列的求和公式可得31161331,26153SadadSad可得且0d

所以6112161527312669010SaddSadd,故选A

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上）

1．在数列}{na中，11nnan，且9nS，则n 99 ．

2．等比数列}{na的前三项为x，22x，33x，则4a 227

3． 若数列na满足：1.2,111naaann，2，3….则naaa21

.

解：数列na满足：111,2, 1nnaaan，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴

naaa21212121nn. 4．设nS为等差数列na的前n项和，4S＝14，S10－7S＝30，则S9＝ 54 .

解：设等差数列na的首项为a1，公差为d，由题意得,142)14(441da

30]2)17(77[]2)110(1010[11dada，联立解得a1=2,d=1，所以S9＝5412)19(929

5．在数列{}na中，若11a，12(1)nnaan，则该数列的通项na 2n－1 。

解：由12(1)nnaan可得数列{}na为公差为2的等差数列，又11a，所以na2n－1

三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）

1．已知na为等比数列，324202,3aaa，求na的通项式。

解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2=a3q = 2q , a4=a3q=2q

所以 2q + 2q=203 , 解得q1=13 , q2= 3,

当q1=13, a1=18.所以 an=18×(13)n－1=183n－1 = 2×33－n.

当q=3时, a1= 29 , 所以an=29 ×3n－1=2×3n－3.

2．设等比数列na的前n项和为nS，481,17,?nSSa求通项公式

解：设{}na的公比为q，由481,171SSq知，所以得41(1)11aqq…①

81(1)171aqq……②由①、②式得整理得841171qq解得416q

所以 q＝2或q＝－2

将q＝2代入①式得1115a，所以1215na

将q＝－2代入①式得115a，所以1(1)25nnna

3． 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an .

解析：解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．

又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②

由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0

∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)．

当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3．

4．数列na的前n项和记为11,1,211nnnSaaSn

（Ⅰ）求na的通项公式；

（Ⅱ）等差数列nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,,ababab成等比数列，求nT

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。

解：（Ⅰ）由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得112,32nnnnnaaaaan

又21213aS ∴213aa

故na是首项为1，公比为3得等比数列

∴13nna

（Ⅱ）设nb的公差为d

由315T得，可得12315bbb，可得25b

故可设135,5bdbd

又1231,3,9aaa

由题意可得2515953dd

解得122,10dd

∵等差数列nb的各项为正，∴0d

∴2d

∴213222nnnTnnn

四、附加题（20分）

某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？

解: 引入字母,转化为递归数列模型.

设第n次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，则150nnba.

3010730107)150(102109102109111111nnnnnnnnaaaaabaa即.

)100(1071001nnaa，于是11)107)(100(100nnaa

即 )100()107(10011aann.

100limnna.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.