河内塔问题
尹庄小学乔宝付
教学目的：
（1）学生能够初步学会用递推方法解决实际问题；
（2）进一步巩固求解递推数列的方法；
（3）利用“特殊化与一般化”的数学思想解决问题。
教学手段：利用学具辅助教学
教学方法：问题教学法
教学过程：一、听老师讲故事，谈“河内塔问题”
河内塔的起源源自古印度神庙中的一个传说。传说中开天辟地的神勃拉玛在贝拿勒斯的圣庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64个金环，最大的一个在底下，其余的一个比一个小，依次叠上去。庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上，规
定可利用中间的一根棒作为帮助，但每次只能搬一个，而且大的不能放在小的上面。相传神同时发了咒语，当所有的金环全部移完时，就是世界末日到来的时候。那么，众僧们要移动多少次呢？不妨我们假设一下：(1)如果①号棒上只有1个金片。把金片移到③号棒上只需要移1次；
（板书：金片的片数移动的次数）
1 1
(2)如果①号棒上有2个金片，最少移动几次？应该怎样移？同桌商量，怎样移？找生边演示边说明。（先把小金片移到②号棒上，再把大金片移到③号棒上，再把小金片移到③号棒上，总共需要移3次）板书：2 3
(3)如果①号棒上有3个金片。应该怎样移？移动几次？今天我们就一起来研究这个“河内塔问题”
板书：河内塔问题
二、做游戏
出示“河内塔问题”
1、河内有①号、②号、③号三个柱子，你能借助②号柱把①号柱上的珠子移到③号柱而不改变珠子的上下顺序吗？最少移动多少次？移动规则如下：
（1）每次只能移动一个珠子；
（2）大珠子不能放到小珠子上面。
2、让生读题，理解题意。
3、小组讨论：大、中、小三个珠子如何移？最少要移动多少次？
4、小组合作开始做“河内塔”游戏
5、各小组展示成果。找出用时最短且移动次数最少的组为优胜组。
6、教师展示移动过程，并用图解说明。
（1）河内塔问题，三个珠子的移动图解：三个珠子的移动只有两种移动方法：如果第一次移动时，把最小红珠子放到③号杆上是优选法。如下：
（一）原题图：（二）移动第一次：
（三）移动第二次：（四）移动第三次：
（五）移动第四次：（六）移动第五次：
（七）移动第六次：（八）移动第七次：
7、延伸：如果①号杆上有4个珠子呢？请大家再试试怎样移动次数最少？
8、小组再次合作，哪个组先完成且移动次数最少的为优胜组。
9、河内塔问题，四个珠子的移动图解：
四个珠子：开始第一个珠子要放在②号杆上：
（一）原题图：（二）第一次移动：
（三）第二次移动：（四）第三次移动：
（五）第四次移动：（六）第五次移动：
（七）第六次移动：（八）第七次移动：
（九）第八次移动：（十）第九次移动：
（十一）第十次移动：（十二）第十一次移动：
（十三）第十二次移动：（十四）第十三次移动：
（十五）第十四次移动：（十六）第十五次移动：
三、探究规律：
师生共同总结河内塔问题移动次数最少的规律
珠子的个数∕个最少移动的次数∕次
1个珠子 1
2 3
3 3＋1＋3＝7
4 7＋1＋7＝15
5 15＋1＋15＝31
6 31＋1＋31＝63
┋┋
这时引导学生观察由移动次数组成的数列：1，3，7，15，31,63……猜想和探究其中隐藏的规律。学生发现数列1，3，7，15，31,63……的规律是：后一项总是比前一项的2倍多1。
四、应用
那么，64个金环，众僧们要移动多少次呢？师引导生根据上述规律进行计算。算一会儿后，师公布答案：众僧要移动18446744073709551615次。让生试读此数，感受大数的读法。
五、拓展
假如僧侣们每秒钟移动一次金片，夜以继日废寝忘食地照这样干下去，需要干多少年？可以要求学生只列出算式。师提示：一年有多少秒？（60×60×24×365）秒，需要多少年？[18446744073709511615÷(60×60×24×365)]年。最后，老师宣布答案：大约需要5846亿年！根据科学家的研究，太阳的寿命最多还有100～150亿年，5846亿年远远大于这个数，看来，众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动。我们也不必担心世界末日会到来了。可见印度传说仅仅是一个传说而已。
六、小结
汉诺塔问题在数学界有很高的研究价值，而且至今还在被一些数学家们所研究，也是我们所喜欢玩的一种益智游戏，它可以帮助开发智力，激发我们的思维。
