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教学内容：圆与圆的位置关系

【重点、难点、考点】

重点：两圆相切，相交时公切线或公共弦与连心线的关系、性质及应用．

难点：综合运用圆与三角形、四边形及相似形的知识解题．

考点：两圆相交或相切的图形、内切圆的外公切线与外切圆的内公切线是考查频率最高的辅助线．

【经典范例引路】

例1 （2001年江西省中考题）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AC切⊙O1于点A，交⊙O2于点C；BD切⊙O2于点B，并⊙O1于点D，连结AB、AD、BC。（1）求证：AB2=AD·BC；（2）若∠C=∠D，问四边形ADBC是什么四边形？请加以证明．

证明：（1）∵DB是⊙O2的切线，∴∠DBA＝∠C，同理∠CAB＝∠D．

∴△BDA∽△CAB，∴BCAB=ABAD，即AB2=AD·BC。

（2）当∠C＝∠D时，四边形ADBC是平行四边形．

证明：∵△BDA∽△CAB，∴∠DAB=∠ABC，又∵∠D＝∠C，

∠D＝∠BAC，∠C＝∠DBA，∴∠DBA＝∠BAC，

∠DBC＝∠CAD，∴四边形ADBC是平行四边形．

【解题技巧点拨】

本题要充分运用圆的切线、与圆有关的角的性质，相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定来证题。

例2 （2001年武汉市中考题）已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过B点作⊙O1的切线交⊙O2于D点，连结DA并延长与⊙O1相交手C点，连结BC，过A点作AE∥BC与⊙O2相交于E点，与BD相交于F点.（1）求证：EF·BC＝DE·AC；（2）若AD=3，AC＝1，AF=3，求EF的长．

（1）证明：连结AB.∵AE∥BC，∴∠CBA＝∠BAE，

又∵∠BAE＝∠EDB，∴∠CBA＝∠EDB，

∵∠C＝∠ABD，又∵∠ABD＝∠E，∴∠C＝∠E

∴△ACB∽△FED，∴EFAC=DEBC，即EF·BC=DE·AC。

（2）解：∵AF∥BC，∴DCDA=BCAF，即133=BC3，∴BC=343

∵AE∥BC，∵∠DAE＝∠C，由（1）知∠C＝∠E，∴∠DAE＝∠E，

∴DA＝DE＝3，由（1）知EF·BC＝DE·AC得：

EF＝BCACDE＝33413，∴EF的长是433。

提示本题要注意相交两圆的公共弦AB这一重要的辅助线，同时要充分运用平行线，圆的切线这些特殊的位置关系得到相等的角，从而得到相似三角形，最终得到相应的比例线段．

【综合能力训练】

一、填空题

1.（2001年北京市海淀市海淀区中考题）已知两圆内切，圆心距为2cm，其中一个圆的半径为3cm，那么另一个圆的半径为 cm．

2.⊙O1、⊙O2、⊙O3是三个半径为1的等圆，且圆心在同一条直线上，若⊙O2分别与⊙O1、⊙O3相交，⊙O1与⊙O3不相交，则⊙O1与⊙O3的圆心距d的取值范围是 ．（2001年安徽省中考题）

3.（2001年大连市中考题）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以AB、BC为直径在正方形内作半圆，则图中阴影部分的面积为

平方单位．

4．当两圆只有两条公切线时，这两圆的位置关系是 ，并且这两条公切线长 。

5．两圆外切时圆心距为5，且内切时圆心距为1，如果这两圆外离时一条内公切线长为26，则两圆圆心距为 .

6．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为方程x2-9x＋14＝0的两根，若圆心距O1O2的长为5，则⊙O1与⊙O2的位置关系为 .

7．（2001年夏门市中考题）如图，⊙O和⊙O′相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延长于N，MN＝3，QN＝25，则PN＝ ．

二、选择题：

8．（2001年广西中考题）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm、4cm，圆心距O1O2＝7cm,那么两圆的公切线共有（ ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

9．（2001年四川省中考题）下列命题中，正确的是（ ）

A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于这条弦

C．切线垂直于圆的半径 D．相切两圆的连心线必过切点

10．如图，两个同心圆，过大圆上一点A作小圆的割线交小圆于B、C两点，且AB·AC＝4，则图中圆环的面积为（ ）

A．2π B．3π C．4π D．5π

12．两圆只有一条公切线，那么这两圆的位置关系是（ ）

A．内切 B．内含 C．外切 D．外离

13．⊙O1与⊙O2相外切，MN是外公切线，M、N为切点，若⊙O1和⊙O2的半径分别是4和9，则MN的长是（ ）

A．12 B．13 C．194 D．14

14．半径分别为1和2的两圆外切，与这两个圆都相切且半径为3的圆共有（ ）

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

15．如图，过相交两圆的公共弦上任意一点P作一条割线，与两圆交于A、B、C、D四点，那么下面的结论正确的是（ ）

A．PB·BA=PC·CD B.PB·PA=PC·PD

C．PB·CD＝PC·BA D．PC·CA＝PB·BD

三、解答下列各题：

16．（2001年广西中考题）如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E．

（1）求证：AD＝DC；（2）求证：DE是⊙O1的切线；

（3）如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．

17．（2001年黄冈市中考题）如图，⊙O1和⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙O1于点D，交⊙O2于点 E；DA与⊙O2相切，切点为C．（1）求证：PC平分∠APD；（2）若PE＝3， PA＝ 6，求 PC的长．

18．（98年江苏宿迁市中考题）已知：如图⊙O1与⊙O2外切于点A，过⊙O2上一点B作⊙O2的切线，交⊙O1于C、D，连结BA并延长交⊙O1于E，连结AC、AD，DE．求证：DE2=EA·EB。

19．（2001年青岛市中考题）已知：如图⊙O1与⊙O2外切于点P，AB为⊙O1与⊙O2的外公切线，切点分别为A、B，连心线O1O2分别交⊙O1于D，交⊙O2于C，连结AD、AP，BP。求证（1）AD∥BP；（2）CP·CO1=CD·CO2；（3）APAD=BCPC。

20．如图，⊙O1和⊙O2相交于 A、B两点，AC为⊙O1的直径 CA、CB的延长线分别交⊙O2于D、E，AC＝6cm， BE＝11cm，AD＝BC．求（1）BC的长；（2）∠DEC的余弦值；（3）两圆⊙O1和⊙O2的圆心距．

【创新思维训练】

21．如图，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点 B作两圆的割线分别交⊙O1、⊙O2于点 D、E，与 AC相交于点 P．（1）求证：PA· PE。＝ PC· PD；（2）当AD与⊙O2相切，且PA=6，PC＝2，PD＝12时，求AD的长。

22．如图，在△AB C中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于D，过D作⊙O的切线交BC于E，求证：BC2＝2EO·CD．

23．（2001年辽宁省中考题）已知：如图甲，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点（C、D不与B重合），连结BD，过C作BD的平行线交⊙O1于点E．

（1）求证：BE是⊙O2的切线；

（2）如图乙，若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其它条件不变，判断BE和⊙O2的位置关系；（不要求证明）

（3）若点C为劣弧⌒AB的中点，其它条件不变，连结AB、AE，AB与CE交于点F，如图丙，写出图中所有的相似三角形．（不另外连线，不要求证明）

参考答案

【综合能力训练】

一、1.5或1 2.2≤d<4 3.3-2 4.相交、相等 5.7 6.内切 7.35

二、8.C 9.D 10.C 11.C 12.A 13.A 14.B 15.C

三、16.①连OD ②略 ③正方形 17. ①提示：过点P作两圆的公切线PT ②PC=32 18.提示：过点A作两圆内公切线，证△EAD∽△EDB。 19.过点P作两圆的公切线PQ，连BD。 20.4cm, 25,215cm

21.(1)连AB，证△APD∽△CPE （2）12 22.连BD，先证BE=DE=CE，再证CA=2EO，后用切割线定理。 23.（1）作直径BH，连AB、AH （2）BE仍是⊙O2的切线 （3）△AFC∽△ABD∽△EFB∽△EAC