第四节 函数的奇偶性及周期性
[知识能否忆起]
一、函数的奇偶性
二、周期性 1．周期函数
对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．
[小题能否全取]
1．(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3 C ．y ＝e x
D ．y ＝ln
x 2＋1
解析：选D 四个选项中的函数的定义域都是R.y ＝sin x 为奇函数．幂函数y ＝x 3也为奇函数．指数函数y ＝e x 为非奇非偶函数．令f (x )＝ln x 2＋1，得f (－x )＝ln
(－x )2＋1＝ln
x 2＋1＝f (x )．所以y ＝ln x 2＋1为偶函数．
2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－1
3
B.13
C.12
D ．－12
解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝1
3
.又f (－x )＝f (x )，
2
∴b ＝0，∴a ＋b ＝1
3
.
3．(教材习题改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．2
解析：选B ∵f (x )为奇函数且f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (0)＝0，T ＝4. ∴f (8)＝f (0)＝0.
4．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.
解析：法一：∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0，对于x ∈R 恒成立，故a ＝0.
法二：由f (－1)＝f (1)， 得|a －1|＝|a ＋1|，故a ＝0. 答案：0
5．(2011·广东高考)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.
解析：观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.
答案：－9
1.奇、偶函数的有关性质：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然； (3)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；
(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调
性相同；利用偶函数的图象关于y 轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．
2．若函数满足f (x ＋T )＝f (x )，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；应
注意nT (n ∈Z 且n ≠0)也是函数的周期．
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法
典题导入
[例1] (2012·福州质检)设Q 为有理数集，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，x ∈Q ，－1，x ∈∁R Q ，g (x )＝e x －1
e x ＋1，则
函数h (x )＝f (x )·g (x )( )
A ．是奇函数但不是偶函数
B ．是偶函数但不是奇函数
C ．既是奇函数也是偶函数
D ．既不是偶函数也不是奇函数
[自主解答] ∵当x ∈Q 时，－x ∈Q ，∴f (－x )＝f (x )＝1；当x ∈∁R Q 时，－x ∈∁R Q ，∴f (－x )＝f (x )＝－1.综上，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．∵g (－x )＝e －x －1
e －x ＋1＝
1－e x 1＋e x ＝－e x －1
1＋e x
＝－g (x )，∴函数g (x )为奇函数．∴h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝f (x )·[－g (x )]＝－f (x )g (x )＝－h (x )，∴函数h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数．∴h (1)＝f (1)·g (1)＝e －1e ＋1
，h (－1)＝f (－1)·g (－1)＝
1×e －1－1e －1＋1＝1－e 1＋e
，h (－1)≠h (1)，∴函数h (x )不是偶函数． [答案] A
由题悟法
利用定义判断函数奇偶性的方法
(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件； (2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是否对定义域内的每一个x 恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．
[注意] 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．
以题试法
1．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1；
