(完整)八年级培优--初中几何中的最短路径与最值问题.docx

八年级数学讲义--最短路径问题-(含解析)第6讲最短路径问题知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。

本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。

知识梳理讲解用时：20分钟两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？选A-B，因为两点之间，直线最短垂线段最短如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各点的所有连线中，哪条最短？PC最短，因为垂线段最短两点在一条直线异侧如图，已知A点、B点在直线L异侧，在L上选一点P，使PA+PB最短、连接AB交直线L于点P，则PA+PB最短、依据：两点之间：线段最短 A P L B相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦、有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地、到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？两点在一条直线同侧作法：1、作B点关于直线L的对称点B’；2、连接AB’交直线L于点C；3、点C即为所求、证明：在直线L上任意选一点C’（点C’不与C重合），连接AC’、BC’、B’C’、在△AB’C’中，AC’+B’C’＞AB’∴AC’+BC’＞AC+BC所以AC+BC最短、课堂精讲精练【例题1】已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（）A、B、C、D、【答案】 D【解析】根据作图的方法即可得到结论、解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小，∴D 的作法正确，故选：D、讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键、教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题、难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习1、1】如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄、欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A、B、C、D、【答案】 D【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离、解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M、根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短、故选：D、讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了最短路径的数学问题、这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”、由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别、教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题、难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【练习1、2】如图，A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使|PA﹣PB|的值最大、【答案】见解析【解析】作点A关于直线l的对称点A′，则PA=PA′，因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大、解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P、讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键、教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题、难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2021【例题2】如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小、【答案】【解析】由于△PAB的周长=PA+AB+PB，而AB是定值，故只需在直线l 上找一点P，使PA+PB最小、如果设A关于l的对称点为A′，使PA+PB最小就是使PA′+PB最小、解：作法：作A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P、则点P就是所要求作的点；理由：在l上取不同于P的点P′，连接AP′、BP′、∵A和A′关于直线l对称，∴PA=PA′，P′A=P′A′，而A′P+BP＜A′P′+BP′∴PA+BP＜AP′+BP′∴AB+AP+BP＜AB+AP′+BP′即△ABP周长小于△ABP′周长、讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决、教学建议：把三角形的周长用线段表示出来，通过转化成一条线段利用两点之间线段最短进行解题、难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习2、1】（Ⅰ）如图①，点A、B在直线l两侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA+PB 的值最小；（Ⅱ）如图②，点E、F在直线l同侧，请你在直线l 上画出一点P，使得PE+PF的值最小；（Ⅲ）如图③，点M、N在直线l同侧，请你在直线l上画出两点O、P，使得OP=1cm，且MO+OP+PN的值最小、（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】（I）图①，显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点；（II）图2，作E关于直线的对称点，连接FE′即可；（III）图③，画出图形，作N的对称点N′，作NQ∥直线l，NQ=1cm，连接MQ得出点O即可、解：（I）如图①，连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点P，这样PA+PB最小，理由是：两点之间，线段最短；（II）如图②，先作点E关于直线l的对称点E′，再连接E′F交l于点P，则PE+PF=E′P+PF=E′F，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点；（III）如图③，作N关于直线l的对称点N′，过N′作线段N′Q∥直线l，且线段N′Q=1cm，连接MQ，交直线l 于O，在直线l上截取OP=1cm，如图，连接NP，则此时MO+OP+PN 的值最小、讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，题目比较典型，第三小题有一定的难度，主要考查学生的理解能力和动手操作能力、教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题、难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【例题3】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点、若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，求△CDM周长的最小值、【答案】10【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论、解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=4AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+4=8+2=10、讲解用时：5分钟解题思路：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键、教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段，利用垂线段最短进行解题、难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习3、1】如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，求BF+EF的最小值、【答案】5【解析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE=AD=5，即BF+EF=5、解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF 最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C 和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=5，即BF+EF=5、故答案为：5、讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用、教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段，利用垂线段最短进行解题、难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【例题4】如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？【答案】见解析【解析】虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸、关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的、解：如图，作BB垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于P，作PD⊥GH，则PD∥BB′且PD=BB′，于是PDBB′为平行四边形，故PB′=BD、根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AP+BD最短、故桥建立在PD处符合题意、讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题、目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法、教学建议：将3条线段进行转化成一条线段、难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习4、1】作图题（1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线、（2）如图2，在一条河的两岸有A，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示、试问：桥CD建在何处，才能使A 到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置、【答案】见解析【解析】（1）把河岸看做一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题、（2）先确定AA′=CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置、解：（1）根据垂直线段最短的性质，即可画出这条从草地到河边最近的线路，如图1所示：（2）先确定AA′=CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置、如图2，讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用，解题的关键是灵活运用垂直线段最短的性质作图、教学建议：掌握求最短路径的几种基本题型和方法、难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【例题5】如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是多少？【答案】30【解析】由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当B、P、D三点在同一直线上时，PC+PD的值最小解：连接PB、由题意知，∵B、C关于直线MN对称，∴PB=PC，∴PC+PD=PB+PD，当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，连接BD交MN于P，∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴PA=PC，∴∠PCD=∠PAD=30讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了线路最短的问题、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型、教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题、难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习5、1】已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为多少？【答案】10cm【解析】连接PC，根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BP，PD+PB要取最小值，应使D、P、C三点一线、解：连接PC，∵△ABC为等边三角形，D 为AB的中点，∴PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm、讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，注意灵活应用等边三角形的性质、教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题、难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【例题6】如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹、【答案】见解析【解析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求、解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求、理由：∵P1P=P1E，P2P=P2F，∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+p1p2+p2F=EF，根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短、讲解用时：5分钟解题思路：本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型、教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点、难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习6、1】知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）【答案】见解析【解析】作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD角OA、OB于E、F、此时△PEF周长有最小值；作图如下：讲解用时：3分钟解题思路：题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题关键、教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点、难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【例题7】如图，∠AOB=30，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值、【答案】【解析】根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可、解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N、连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件、连接OM、ON，由轴对称的性质可知，OM=ON=OP=8，∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=230=60，则△MON为等边三角形，∴MN=8，∵QP=QM，RN=RP，∴△PQR周长=MN=8，讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质的灵活运用、教学建议：对称之后，角度也是相同的，做定点关于动点所在直线的对称点、难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习7、1】如图，∠AOB=30，∠AOB内有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R、若△PQR周长最小，求它的最小值、【答案】10【解析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM、作PN⊥O B与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN、连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形、再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解、解：设∠POA=θ，则∠POB=30﹣θ，作PM⊥OA与OA 相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM、作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN、连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形、∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF、∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30﹣θ）=60，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10、故答案为：10、讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答、教学建议：做定点关于动点所在直线的对称点，利用轴对称的性质进行解题、难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2021课后作业【作业1】如图，在铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在铁路边建一个货场C，货场应建在什么地方，才能使A、B两厂到货场C的距离之和最短？【答案】见解析【解析】作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交l于点C，则点C即为所求点、解：如图所示：讲解用时：3分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：【作业2】用三角板和直尺作图、（不写作法，保留痕迹）如图，点A，B在直线l的同侧、（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小、（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大、【答案】见解析【解析】（1）作点A关于直线l的对称点，再连接解答即可；（2）连接BA，延长BA交直线l于N，当N即为所求；解：（1）如图所示：（2）如图所示；理由：∵NB﹣NA≤AB，∴当A、B、N共线时，BN﹣NA的值最大、讲解用时：3分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：【作业3】如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=6，点F是AD边上的动点，求BF+EF的最小值、【答案】 6【解析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE=AD=6，即BF+EF=6、解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF 最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C 和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90，在△AD B和△CEB中，∵，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=6，即BF+EF=6、讲解用时：3分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：【作业4】如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB=30，OP=8cm，M，N 是OA，OB上的两个动点，则求△MPN周长的最小值？【答案】8【解析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小、解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN、∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=8cm、∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=8cm、故答案为：8、讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2021。

课堂检测
基础巩固题
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关
于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确
的是（ A ）
A．P是m上到A、B距离之和最短的点，
Q是m上到A、B距离相等的点.
B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，
P是m上到A、B距离相等的点.
.
解：如图，P点即为该点.
探究新知
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和
（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条
直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ A ）
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
C′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于 B′
.
.
M
A
BN
题目解析 O
.A .B
E
F
L
如图：E、F分别为两边OM、ON上一个动点，那么，上述问题可转化为：当点E、点F在OM、ON的什么位置时，
.
AE+EF+FB的距离之和最短？
.
M
A
BN
.
A'
两定点，一定河 做对称，再连接
O
E
F 化折为直
..
M A BN
. A ' M
O .E .F .
. . B' A BN
接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥. C
DF
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′， 则四边形AFD′D为平行四边形，
C′ D ′

如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得
AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直
线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方
法是（ ）
A.转化思想 B.三角形两边之和大于第三边
∙B A∙
C.两点之间，线段最短
l
∙B
题转化为“两点之间，线段最短”来解决，该
A∙
过程用到了“转化思想”，“两点之间，线段
l
C
最短”，验证是否为最短距离时利用了三角形
两边之和大于第三边.
B′
随堂练习 2
两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在 地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C 处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的 位置.
1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最 小，此时点C就是线段AB与直线l的交点.
A∙
C l
∙B
新知探究
知识点2
2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值 最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C（也可以作 点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所求作的点.
C
∵A′C=AC=BD，
在△A′CE和△BDE中， ∠A′CE=∠B′C=BD，
则△A′CE≌△BDE（AAS），CE=DE，A′E=BE.

最短路径问题»知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。

本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。

知识梳理讲解用时：20分钟两点之间线段最短C DA BEA地到B地有3条路线A-C-D-B, A-B, A-E-B，那么选哪条路线最近呢? 选A-B，因为两点之间，直线最短--- _ _两点在一条直线异侧相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边I饮马，然后到B地•到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？两点在一条直线同侧作法：1、作B点关于直线L的对称点B'2、连接AB'交直线L于点C;3、点C即为所求.证明：在直线L上任意选一点C'（点C不与C重合），连接AC、BC、B' C'.在厶AB' C'中，AC +B' C' > AB'••• AC +BC > AC+BC所以AC+BC最短.【例题1】已知点A,点B都在直线I的上方，试用尺规作图在直线I上求作一点P,使得PA+PB勺值最小，则下列作法正确的是（）【答案】D【解析】根据作图的方法即可得到结论.解：作B关于直线I的对称点，连接这个对称点和A交直线I于P,则PA+PB勺值最小，••• D的作法正确，故选：D.讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称-最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键. 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站, 向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）【答案】D【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离.解：作点P关于直线L的对称点P',连接QP交直线L于M根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短.故选：D.讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了最短路径的数学问题.这类问题的解答依据是“两点之间, 线段最短”.由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别.教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习1.2 ］如图，A、B在直线I的两侧，在直线I上求一点P,使|PA-PB|的值最大.B【答案］见解析【解析］作点A关于直线I的对称点A'，则PA=PA，因而|PA- PB|=|PA'-PB|，则当A', B、P在一条直线上时，|PA- PB |的值最大.解：作点A关于直线I的对称点A'，连A B并延长交直线I于P.讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是作图-轴对称变换，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键.教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题•难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】如图，A、B在直线I的同侧，在直线I上求一点巳使厶PAB的周长最小.【答案】【解析】由于△ PAB的周长=PA+AB+P，而AB是定值，故只需在直线I上找一点P,使PA+PB最小.如果设A关于I的对称点为A',使PA+PB最小就是使PA +PB最小. 解：作法：作A关于I的对称点A'，连接A B交I于点P.则点P就是所要求作的点；理由：在I上取不同于P的点P',连接AP、BP .••• A和A关于直线I对称，••• PA=PA，P' A=P A，而 A ' P+BP^ A P' +BP••• PA+B R AP' +BP••• AB+AP+B R AB+AP +BP即厶ABP周长小于△ ABP周长.讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称-最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决.教学建议：把三角形的周长用线段表示出来，通过转化成一条线段利用两点之间线段最短进行解题•难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1 ］(I)如图①，点A、B在直线I两侧，请你在直线I上画出一点P,使得PA+PB 的值最小；(U)如图②，点E、F在直线I同侧，请你在直线I上画出一点P,使得PE+PF 的值最小；(川)如图③，点MN在直线I同侧，请你在直线I上画出两点OP,使得0P=1cm 且MO+OP+P的值最小.(保留作图痕迹，不写作法)【答案］见解析【解析］(I )图①，显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点；(II )图2,作E关于直线的对称点，连接FE'即可；(III )图③，画出图形，作N的对称点N',作NQ/直线I ， NQ=1cm连接MQ得出点0即可.解：（I）如图①，连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点P,这样PA+PB 最小，理由是：两点之间，线段最短；（II ）如图②，先作点E关于直线I的对称点E'，再连接E' F交I于点P,则PE+PF=E P+PF=E F,由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点；作N关于直线I的对称点N',过N'作线段N Q//直线I，且线段N Q=1cm连接MQ交直线I于O,在直线I上截取0P=1cm如图，连接NP,则此时MO+OP+PN值最小.讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称-最短路线问题的应用, 题目比较典型，第三小题有一定的难度，主要考查学生的理解能力和动手操作能力.教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题• 难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC, AB边于E, F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，求△ CDM周长的最小值.【答案】10【解析】连接AC ，由于△ ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD 丄BC ，再根据三角形的面积公式求出 AD 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可 知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ,故AD 的长为CM+M 的最小值，由此即可 得出结论.解：连接AD •••△ ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点,• ADL BC,• - S A AB =j-BC?AD=- ••• EF 是线段AC 的垂直平分线,•••点C 关于直线EF 的对称点为点A,••• AD 的长为CM+M 的最小值，解题思路：本题考查的是轴对称-最短路线问题， 熟知等腰三角形三线合一的性 质是解答此题的关键.教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段， 利用垂线段最短 进行解题.难度：4适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018【练习3.1 ]如图，已知点D 点E 分别是等边三角形 ABC 中BC AB 边的中点，AD=5点F 是AD 边上的动点，求BF+EF 的最小值.【答案】5X 4X AD=16 解得AD=8X4=8+2=10.【解析】 过C 作CEL AB 于E ,交AD 于F ,连接BF,贝U BF+EF 最小，证△ ADB ◎ △ CEB 得 CE=AD=,即 BF+EF=5解：过C 作CEL AB 于E ,交AD 于 F ,连接BF,则BF+EF 最小（根据两点之间线 段最短；点到直线垂直距离最短），由于C 和B 关于AD 对称，则BF+EF=CF •••等边△ ABC 中, BD=CD••• ACL BC,••• AD 是 BC 的垂直平分线（三线合一）,••• C 和B 关于直线AD 对称，••• CF=BF即 BF+EF=CF+EF=CE••• AD L BC, CEL AB•••/ ADB 2 CEB=90 ,在厶 ADB?3 CEB 中,ZADB=ZCEBZABD=ZCBE ,AB=CB•••△ ADB^A CEB （AAS ,CE=AD=5即 BF+EF=5讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是轴对称-最短路线问题， 涉及到等边三角形的性质，轴 对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用.教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段， 利用垂线段最短 进行解题•难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018[【例题4】如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？【答案】见解析【解析】虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸•关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的.解：如图，作BB'垂直于河岸GH使BB等于河宽，连接AB，与河岸EF相交于P,作PDL GH贝U PD// BB且PD=BB，于是PDBB为平行四边形，故PB =BD根据“两点之间线段最短” ，AB最短，即AP+BD最短.讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了轴对称 —— 最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”， 但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线 段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题•目前，往往利用对称性、平行四 边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法.教学建议：将3条线段进行转化成一条线段•难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018【练习4.1 ］作图题(1) 如图1, 一个牧童从P 点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮 水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线.(2) 如图2,在一条河的两岸有A ，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥 的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段 CD 表示•试问：桥CD 建在何处， 才能使A 至U B 的路程最短呢？请在图中画出桥CD 的位【答案］见解析【解析］(1)把河岸看做一条直线, 段最短的性质即可解决问题.(2)先确定AA =CD 且AA // CD 连接BA ，与河岸的交点就是点 C,过点 C 作CD 垂直河岸，交另一河岸于点 D, CD 就是所求的桥的位置.解：(1)根据垂直线段最短的性质，即可画出这条从草地到河边最近的线路，如 图1所示：利用点到直线的所有连接线段中，垂直线(2)先确定AA =CD且AA // CD连接BA，与河岸的交点就是点C,过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D, CD就是所求的桥的位置•如图2,讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用，解题的关键是灵活运用垂直线段最短的性质作图.教学建议：掌握求最短路径的几种基本题型和方法.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，/ PCD勺度数是多少？【答案】30°【解析】由于点C关于直线MN勺对称点是B,所以当B P、D三点在同一直线上时，PC+PD勺值最小解：连接PB.由题意知，••• B、C关于直线MN对称，••• PB=PC••• PC+PD=PB+PD当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PDR最小值，连接BD交MN于P,•••△ ABC是等边三角形，D为AC的中点，••• BDL AC,••• PA=PC•••/ PCD M PAD=30讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了线路最短的问题、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型.教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题•难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1 ］已知，如图△ ABC为等边三角形，高AH=10cmP为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB勺最小值为多少？【答案］10cm【解析］连接PC,根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BP PD+PB要取最小值，应使 D P、C三点一线.解：连接PC，•••△ ABC为等边三角形，D为AB的中点，••• PD+PB勺最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm解题思路：此题主要考查有关轴对称--最短路线的问题， 注意灵活应用等边三 角形的性质.教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018【例题6】如图，/ AOB 勺内部有一点P ,在射线OA OB 边上各取一点P i , B ，使得△ PRB，保留作图痕迹.【解析】作点P 关于直线OA 的对称点E ,点P 关于直线OB 的对称点F ，连接理由：••• RP=PE , RP=PF,EF 交OA 于P i ，交OB 于P 2, 连接PP , PR , △ PPP 2即为所求.解：如图，作点P 关于直线 EF 交OA 于P i ,交OB 于P 2, OA 的对称点E, 连接PP , PR , 点P 关于直线OB 的对称点F ,连接 △ PPP 2即为所求.R,叙述作图过程（作法） 【答案】见解析:.△ PRF2 的周长=PR+PF2+PP=ER+p i p2+p2F=EF,根据两点之间线段最短，可知此时△ PPP2的周长最短.讲解用时：5分钟解题思路：本题考查轴对称-最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型.教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点• 难度：4适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1 ］知识拓展：如图2,点P在/AOB内部，试在OA 0B上分别找出两点E、F,使△ PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）【答案］见解析【解析］作P关于OA 0B的对称点C D,连接CD角OA 0B于E、F.此时△PEF周长有最小值；作图如下：解题思路：题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题关键.教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，/ AOB=30，点P是/AOB内一点，PO=8在/ AOB勺两边分别有点R、Q （均不同于O）,求厶PQF周长的最小值.【答案】【解析】根据轴对称图形的性质，作出P关于OA OB的对称点M N,连接MN 根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可.解：分别作P关于OA OB的对称点M N.连接MN交OA OB交于Q 尺则厶PQF符合条件.连接OM ON由轴对称的性质可知，OM=ON=OR=8/ MON H MOP主NOP=Z AOB=Z3O° =60°,则A MO为等边三角形，••• MN=8••• QP=QMRN=RP讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称-最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质的灵活运用.教学建议：对称之后，角度也是相同的，做定点关于动点所在直线的对称点.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1 ］如图，/ AOB=30，/ AOB内有一定点P,且OP=10 0A上有一点Q, 0B上有一定点只若厶PQR周长最小，求它的最小值.【答案］10【解析］先画出图形，作PM L 0A与0A相交于M并将PM延长一倍到E,即ME=PM作PN!0B与0B相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN连接EF与0A相交于Q,与0B相交于R,再连接PQ PR则厶PQR即为周长最短的三角形.再根据线段垂直平分线的性质得出△ PQR=EF再根据三角形各角之间的关系判断出△ E0F的形状即可求解.解：设/ P0A羽，则/ P0B=30 作PML0A与0A相交于M,并将PM延长一倍至U E, 即卩ME=P M作PN10B与0B相交于N,并将PN延长一倍到F, 即卩NF=PN连接EF与0A相交于Q,与0B相交于R,再连接PQ PR则A PQR即为周长最短的三角形.v 0A是PE的垂直平分线，••• EQ=QP同理，0B是PF的垂直平分线，••• FR=RP•••△ PQR勺周长=EF.v 0E=0F=0P=1（且/ E0F M E0P# P0F=2） +2（30°-9）=60°,•••△ EOF是正三角形，••• EF=10即在保持0P=1（的条件下△ PQR勺最小周长为10.作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答. 教学建议：做定点关于动点所在直线的对称点，利用轴对称的性质进行解题 难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2018 课后作业【作业11如图，在铁路I 的同侧有A 、B 两个工厂，要在铁路边建一个货场 C,货场应建 在什么地方，才能使A 、B 两厂到货场C 的距离之和最短？A * J«【答案1见解析【解析1作点B 关于直线I 的对称点B'，连接AB ，交I 于点C,则点C 即 为所求点.解：如图所示：A\ ・1 ■■i I—'讲解用时：3分钟【作业2】 解答此类题目的关键根据轴对称的性质难度：3 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2018故答案为：10.用三角板和直尺作图.(不写作法，保留痕迹)如图，点A, B在直线I的同侧.(1)试在直线I上取一点M使MA+M的值最小.(2)试在直线I上取一点N,使NB- NA最大.--------------------------------- 1【答案】见解析【解析】(1)作点A关于直线I的对称点，再连接解答即可；(2)连接BA延长BA交直线I于N,当N即为所求；解：(1)如图所示：「/___ 7；/M*(2)如图所示；*----- z理由：••• NB- NAC AB•••当A、B、N共线时，BN- NA的值最大.讲解用时：3分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】如图，已知点D点E分别是等边三角形ABC中BC AB边的中点，AD=6点F 是AD 边上的动点，求BF+EF的最小值.【答案】6【解析】过C作CEL AB于E,交AD于F,连接BF,贝U BF+EF最小，证△ ADB ◎△ CEB得CE=AD=,即BF+EF=6解：过C作CEL AB于E,交AD于F,连接BF,则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF•••等边△ ABC中, BD=CD••• ADL BC,••• AD是BC的垂直平分线（三线合一）,••• C和B关于直线AD对称，••• CF=BF即BF+EF=CF+EF=CE••• ADL BC, CEL AB•••/ ADB2 CEB=90 ,在厶ADB?3 CEB中,fZAEB=ZCEB••• Z 阳XZCBE,I AB=CB•••△ ADB^A CEB（AAS ,••• CE=AD=6即BF+EF=6.讲解用时：3分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，点P是/ AOB内部的一点，/ AOB=30 , 0P=8cm M N是OA OB上的两个动点，则求△ MPN周长的最小值？【答案】8【解析】设点P关于0A的对称点为C,关于0B的对称点为D,当点M N在CD 上时，△ PMN勺周长最小.解：分别作点P关于OA 0B的对称点C D,连接CD分别交OA 0B于点M N, 连接OR OC OD PM PN•••点P关于0A的对称点为C,关于0B的对称点为D,••• PM=CMOP=OC / COA N POA•••点P关于0B的对称点为D,••• PN=DN OP=OD / DOB N POB••• OC=OD=OP=8cmZ COD N COA+Z POA+N POB+N DOB=N POA+2/ POB=2/ AOB=60 ,•••△ COD!等边三角形，CD=OC=OD=8cm•••△ PMN勺周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MNCD=8cm故答案为：8.讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。