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北京理工大学珠海学院质点动能定理

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作者：黄运开 第 1 页 共 4 页 109460533.doc
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机械功、质点动能定理

一，机械功
1，恒力的功
ΔsF
cossFA

显然：)2(0)00(0)20(0sA或
2，变力的功
在任意线元Δsi 作用力为Fi ,作元功

ΔsF
i
iA

在整个路程ab 中的总功为

iiiiab
AAΔsFi


11
极限情况下：


babaabddA

rFsF

3，合力的功
如果 n21.......FFFF 则合力的功为




niinAAAAA1
21
.......
....

drFdrFdrFdrF

n21

4，示功图

badsFAcos

F m F
α m α

Δs

a
F
1

F
i

Δs
i

α
i

b

Fcosα
a
b

s
A

基本概念：机械功 动能 基本规律：动能定理
教学基本要求：
1，掌握功的概念，能计算变力的功。
2，掌握动能定理，掌握运用定理分析问题的思路和方法。
复习：p51-56
预习：p67-73
作业：p62 2-19# 2-22# 2-23
作者：黄运开 第 2 页 共 4 页 109460533.doc

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【例】求图示力所做功
解：)(5.111212)13(21JA

5，功率
Δt时间内的平均功率：)/(sJWtAP

t时刻的瞬时功率：vFrFdtddtdAP

二，力学中常见力的功
1， 万有引力的功






abrrrrrrbarMmGrMmG

r
MmGdrrMm
G

drrMmG-dAbababa22)(
rrrF

引力做功与路径无关。
2， 重力的功

)())((abhhhhybayxbamghmghmgdydyFdydxFFdAbaba





jiji
sF

重力做功与路径无关。
3， 弹性力的功




222212121abxxxxbakxkxkxdxkx

drFA
b
a
b

a
ii

弹性力做功与路径无关。

2
-1
1
3

o
x/m

F/N

r ra rb dr
F
M

m

b

a

x
F
ds
y
0
h
a

b
h

b

a
m

x
k
0
xa xb x
F

a
b
作者：黄运开 第 3 页 共 4 页 109460533.doc

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【例】：试证明力做功与路径无关可表述为：Ld0rF
证：0babaabLbadddddrFrFrFrFrF
【例】：质量m=2kg的质点在力F=6ti (N)的作用下，由静止出发作直线运动，求：
（1）头2秒该力所作的功，（2）第2秒内的平均功率，（3）2秒末的瞬
时功率。
解：(1) 由功的定义


dttdA6
rF
需要统一变量。

dttvdtdxttdtadtdvvttmFattv232/3332/6/22000






202043202)(36499)23(6JtdttdtttA
（2）)(5.331249361212WttAAPtt
（3）)(72)23(6222Wtt)(PttvF
【例】：有人从10m深的井中把10kg的水匀速提上来，每升高1m水桶漏水0.2kg
试求提水过程中人做功多少
解：以水桶（含水）为研究对象，提升过程中受力为：
提升力F，重力Mg
由动能定理：对作匀速运动的水桶有：


0)(KEdyMgF


dyMgdyF
注意其中M是变质量，由题意知：

)2.010()(2.02.0010yyMdydMdydMyM



)(900)2.010()(100JdygydygyMdyFAF


M
Mg

F
y
10

0
作者：黄运开 第 4 页 共 4 页 109460533.doc

- 4 -
二，质点动能定理
在功的定义中应用牛顿第二定律可以得到质点动能定理：

KKaKbab
v
v

babab
a

EEEmvmvdvmvdmddtdmdAba






22
212

1

vvrvrF

说明 （1）221mvEK——质点的动能，是描述质点运动状态的物理量。
（2）质点动能定理指出：质点所受合外力的功等于质点动能的增量。
它表明功与动能是两个不同的物理量：功是过程量，动能是状态
量，具有时刻性和相对性。
（3）动能定理只适用于惯性参考系。

【例】：铁锤以同样速度两次击钉，铁钉受阻力与击入深度成正比，若第一击入
木1cm，试问第二击入木多深？
解：以铁钉为研究对象，建图示坐标。
铁钉入木过程中受力为：
阻力： f =－kx
重力： mg （<由于两次打击铁钉获得的速度相同，
由动能定理可得：

第一击：KEdxf10.

第二击：KxEdxf1.
)(2101cmxkxdxkxdxx

所以第二击入木深度为: )(41.012cmx

【例】：质量为m的汽车，沿x轴正方向运动，初始位置x0=0，从静止开始加速，
设其发动机的功率P不变，且不计阻力，试求：
（1）汽车任意时刻的速度；（2）汽车任意时刻的位置。

解：

23
000

00
2322)2(2)1(tmPxdtmPtvdtdxdtdx
vmPtvdtmPvdvdtdvmvPFFvPttxtv






x
0
1cm

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质点的动能定理

质点的动能定理

即
dT Wi
— 微分形式的质点系动能定理
质点系动能的微分，等于作用于质点系上所有力的元功 之和。 ⒉ 质点系动能定理的积分形式 将上式沿路径 M1M 2 积分，可得
T2 T1 W — 积分形式的质点系动能定理
质点系在某一段路程中始末位置动能的改变量等于作用于
质点系上所有的力在相应路程中所作功的和。
1 2 1 2
N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。 ⑵ 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功
正压力 N ，摩擦力 F 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移
dr vC dt 0
W F dr F vC dt 0
s W m m R
10
⑶ 滚动摩擦阻力偶m的功 若m = 常量则
动能定理
功率 ·功率方程
§13–5
§13–6
势力场 ·势能 ·机械能守恒定理
动力学普遍定理的综合应用
3
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功 之间的联系，这是一种能量传递的规律。
1 2 T mi vi 2
14
⒈ 柯尼希定理
对于任一质点系：（ vi ' 为第i个质点相对质心的速度） 1 1 2 T M vC mi vi '2 — 柯尼希定理 2 2 质点系的动能等于随同质心平动的动能与相对于质心运 动的动能之和。 ⒉ 刚体的动能 ⑴ 平动刚体的动能
⑵ 定轴转动刚体的动能
d mv v dt F dr dt d m 1 2 而 (mv )v dt d (v v ) d ( mv ) dt 2 2 因此 d ( 1 mv2 ) W —微分形式的质点动能定理
质点系的动能定理⒈质点系动能定理的微分形式

质点系的动能定理⒈质点系动能定理的微分形式

M1
M2
（矢量式）
（直角坐标表达式）

M2
M1
Xdx Ydy Zdz
三．合力的功 质点M 受n个力 F1 ,F2 ,,Fn 作用合力为 R Fi 则合力 R 的功
W R dr ( F1 F2 Fn )dr
M1 M1
M2
M2
F1 dr F2 dr Fn dr W1 W2 Wn
第十四章 动 能 定 理
本章重点、难点
⒈重点
力的功和物体动能的计算。 质点系的动能定理和机械能守恒定律的应用。
⒉难点
动力学普遍定理的综合应用。
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功 之间的联系，这是一种能量传递的规律。
作纯滚动，初始时系统静止) 解：① 取系统为研究对象； ② 计算主动力的功；
Байду номын сангаас
W
(F )
m Qh ( h / R)
③ 运动分析计算动能；
T1 0
1 1Q 2 1 2 2 T2 J O A v J C B 2 2g 2 1 P 2 2 1Q 2 1 3P 2 2 R A v R B 2 2g 2g 2 2g v2 (8Q 7 P) 16 g
W k ( r l0 )dr
r 1 r2 r2 r 1
k d ( r l0 ) 2 2
k [( r1 l0 ) 2 ( r2 l0 ) 2 ] 令 1 r1 l0 , 2 r2 l0 2 k 即 W ( 1 2 2 2 ) 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 2 变形有关，而与质点运动的路径无关。
第11章 质点系动能定理——【理论力学课件】

第11章 质点系动能定理——【理论力学课件】


⋅
(
mvr )
T
=
1 2
MvC 2
+ TC r
——柯尼希定理
注意：这一结论仅以质心为基点时正确。 12
质点系动能定理
三、刚体的动能
1. 平移刚体
∑ T =
1 2
mv2
=
1 2
MvC2
2. 定轴转动刚体
∑ ∑ T =
1 mv2 = 2
1 m(ωr)2
2
=
1 2
J
zω
2
3. 平面运动刚体T=Fra bibliotek1 2
MvC 2 +
(Fx
d
x
+
Fy
d
y
+
Fz
d z（) 直角坐标形式）
——解析表达式 4
质点系动能定理
三、几种常见力作的功
1. 重力的功 质点
W12 = mg ( z1 − z2 )
质点系
∑ W12 = mg(z1 − z2 )
Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg
= Mg (zC1 − zC 2 )
二、质点系的动能
z
z′
？ ∑ T =
1mv 2 2
=
1 2
Mv
2 C
C y′
rC x′ r′
v m
r
v2 = v ⋅ v = vC2 + vr2 + 2vC ⋅ vr x
O
y
∑ T =
1 2
m(vC2
+
vr2
+
2vC
⋅vr )
v = vC + vr
∑ ∑ =
质点动力学知识点总结

质点动力学知识点总结

质点动力学知识点总结1. 引言质点动力学是物理学中研究质点运动规律的分支，它是经典力学的基础。

本文档旨在总结质点动力学的核心知识点，包括牛顿运动定律、动量、动能、势能、功以及守恒定律等。

2. 牛顿运动定律2.1 牛顿第一定律（惯性定律）一个质点若未受外力，将保持静止状态或匀速直线运动。

2.2 牛顿第二定律（动力定律）质点的加速度与作用在其上的合外力成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。

2.3 牛顿第三定律（作用与反作用定律）两个相互作用的质点之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反。

3. 动量3.1 定义动量是质点的质量与其速度的乘积，是矢量量，表示为\( \vec{p} = m\vec{v} \)。

3.2 动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力作用，系统内所有质点的动量之和保持不变。

4. 动能4.1 定义动能是质点由于运动而具有的能量，计算公式为\( K =\frac{1}{2}mv^2 \)。

4.2 动能定理合外力对质点所做的功等于质点动能的变化量。

5. 势能5.1 定义势能是质点由于位置或状态而具有的能量，与参考点的选择有关。

5.2 重力势能在重力场中，质点的重力势能计算公式为\( U = mgh \)，其中\( h \)是质点相对于参考点的高度。

6. 功6.1 定义功是力在物体上作用时，由于物体的位移而对物体所做的工作，计算公式为\( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \)，其中\( \vec{F} \)是力，\( \vec{d} \)是在力的方向上的位移。

6.2 功的守恒在一个封闭系统中，若没有非保守力做功，系统内所有质点的机械能（动能与势能之和）保持不变。

7. 守恒定律7.1 机械能守恒定律在没有非保守力作用的封闭系统中，机械能守恒。

7.2 角动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力矩作用，系统内所有质点的角动量之和保持不变。

8. 结论质点动力学是理解和描述宏观物体运动的基础。