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高数学习资料(含讲义及全部内容)(二)

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第二章 导数与微分 导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。它从根本上反映了函数的变化情况，我们将陆续介绍倒数和微分的用途。

§2、1 导数的概念 一、 引例 1、 线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在

该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点P的切线是割线PQ当Q沿该曲线无限地接近于P点的极限位置。

设曲线方程为)(xfy，设P点的坐标为),(00yxp，动点Q的坐标为),(yxQ，要求出曲线在P点的切线，只须求出P点切线的斜率k。由上知，k恰好为割线PQ的斜率的极限。我们不难求得PQ的斜率为：00)()(xxxfxf；因此，当QP时，其极限存在的话，

其值就是k，即00)()(lim0xxxfxfkxx。 若设为切线的倾角，则有tank。 2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(tss（t表示时刻），又设当t为0t时刻时，位置在)(0tss处，问：质点在0tt时刻的瞬时速度是多少？

为此，可取0t近邻的时刻t，0tt，也可取0tt，在由0t到t这一段时间内，质点的

平均速度为00)()(tttsts,显然当t与0t越近，用00)()(tttsts代替0t的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0tt时，00)()(tttsts某常值0v，那么0v必为0t点的瞬时速度，此时， 000)()(lim0tttstsvtt 3、同理可讨论质量非均匀分布的细杆的线密度问题，设细杆分布在],0[x上的质量m是x的函数)(xmm，那么在0x处的线密度为

000)()(lim0xxxmxmxx

二、 导数的定义 综合上几个问题，它们均归纳为这一极限00)()(lim0xxxfxfxx（其中0xx为自变量x在0x的

增量，)()(0xfxf为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。 定义：设)(xfy在0x点的某邻域内有定义，且当自变量在0x点有一增量x（xx0仍在该邻域中）时，函数相应地有增量y，若增量比极限：xyx0lim即00)()(lim0xxxfxfxx存在，就称其值为)(xfy在0xx点的导数，记为)(0xf，0xxy，0xxdxdy或0xxdxdf。 即000)()(lim)(0xxxfxfxfxx等等，这时，也称)(xfy在0xx点可导或有导数，导数存在。

注 1：导数的常见形式还有：xxfxxfxfx)()(lim)(0000； hxfhxfxfh)()(lim)(0000； hhxfxfxfh)()(lim)(0000； 2：xy反映的是曲线在],[0xx上的平均变化率，而0)(xxdxdyxf是在点0x的变化率，它反映了函数)(xfy随0xx而变化的快慢程度。 3：这里0xxdxdy与0xxdxdf中的dxdy与dxdf是一个整体记号，而不能视为分子dy或df与分母dx，待到后面再讨论。

4：若极限xyx0lim即00)()(lim0xxxfxfxx不存在，就称)(xfy在0xx点不可导。特别

地，若xyx0lim，也可称)(xfy在0xx的导数为，因为此时)(xfy在0x点的切线存在，它是垂直于x轴的直线0xx。

若)(xfy在开区间I内的每一点处均可导，就称)(xfy在I内可导，且对Ix，均有一导数值)(xf，这时就构造了一新的函数，称之为)(xfy在I内的导函数，记为)(xfy，或y，dxdy，dxxdf)(等。 事实上， xxfxxfyx)()(lim0 或hxfhxfyh)()(lim0

注 5：上两式中，x为I内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而x与h是变量。但在导函数中，x是变量。

6：)(xfy在0xx的导数)(0xf就是导函数)(xfy在0xx点的值，不要认为是

])([0xf； 7：为方便起见，导函数就称为导数，而)(0xf是在0x点的导数。

【例1】 设0)0(f，证明欲Axxfx)(lim0，那么)0(fA。 证明：因为Axfxfxxfxfxfx0)0()(lim)(0)0()(0 所以)0(fA。 【例2】 若)(xf在0x点可导，问：hhxfhxf)()(00？ 解： hhxfxfhxfhxfhhxfhxf)()()()()()(000000 )(2)()(000xfxfxf。

反过来，亦证明：)(2)()(000xfhhxfhxf。

三、 求导数举例 【例3】 求函数cxf)(（c为常数）的导数。 解：在cxf)(中，不论x取何值，起其函数值总为c，所以，对应于自变量的增量x，有0y 0lim00xyxyx，即0)(c。

注：这里是指cxf)(在任一点的导数均为0，即导函数为0。 【例4】 求nxxf)(（n为正整数）在ax点的导数。 解：11221)(limlim)(nnnnnaxnnaxnaaxaaxxaxaxaf即1)(nnaaf， 亦即1)(naxnnax，若将a视为任一点，并用x代换，即得1)()(nnnxxxf

注：更一般地，xxf)(（为常数）的导数为1)(xxf，由此可见， xx121)(, )0(1)1(2xxx。

【例5】 求xxfsin)(在ax点的导数。 解： aaxaxafaxcossinsinlim)(,即axaxcos)(sin 同理：若视a为任意值，并用x代换，使得xxfcos)(，即xxcos)(sin。

注：同理可证：xxsin)(cos。 【例6】 求)1,0()(aaaxfx的导数。 解：haahaahxfhxfxfhhxxhxhh1limlim)()(lim)(000 aaeaaaxaxaxaxahlnlog1)1(log1lim)1(loglim1001

令

所以aaaxxln)(。

注：特别地，xxee)(。 【例7】 求)1,0(log)(aaxxfa的导数。 解：hxhhxhxhxfhxfxfahaahh)1(loglimlog)(loglim)()(lim)(000 axexxhxahxahln1log1)1(log1lim0

。

注 1：等最后讲到反函数求导时，可将xalog作为xa的反函数来求导； 2：一般地说，求导有四步： 一、给出x； 二、算出y； 三、求增量比xy； 四、求极限。 3、xx1)(ln。

【例8】 讨论xxf)(在0x处的导数。 解：考虑hhhhfhfhhhsgnlimlim)0()0(lim000，由§1.4例4知hhsgnlim0不存在，故x在0x点不可导。 然而，1sgnlim00hh及1sgnlim00hh，这就提出了一个单侧导数的问题，一般地，

若hxfhxfh)()(lim0000，即000)()(lim0xxxfxfxx[hxfhxfh)()(lim0000即

000)()(lim0xxxfxfxx]存在，就称其值为)(xf在0xx点的右（左）导数，并记为

))(()(00xfxf，即00000000)()(lim)()(lim)(0xxxfxfhxfhxfxfxxh

[00000000)()(lim)()(lim)(0xxxfxfhxfhxfxfxxh]。 定理1：)(xf在0xx点可导)(xf在0xx点的左导数和右导数均存在，且相等，即 )()(00xfxf。

注1：[例8])(xf的左导数为-1，右导数为1。因为11，所以在0x点不可导； 2：[例8]也说明左可导又右可导，也不能保证可导； 3：左、右导数统称为单侧导数；

4：若)(xf在),(ba内可导，且在ax点右可导，在bx点左可导，即),(af)(bf存在，就称)(xf在],[ba上可导。 四、 导数的几何意义 由前面的讨论知：：函数)(xfy在0xx的导数)(0xf就是该曲线在0xx点处的切线斜率k，即)(0xfk，或,tan)(0xf为切线的倾角。从而，得切线方程为))((000xxxfyy。若)(0xf，2或2 切线方程为：

0xx。过切点),(00yxP，且与P点切线垂直的直线称为)(xfy在0P点的法线。

如果)(0xf0，法线的斜率为)(10xf，此时，法线的方程为：

)()(1000xxxfyy。 如果)(0xf=0，法线方程为0xx。 【例9】 求曲线3xy在点),(00yxP处的切线与法线方程。 解：由于202333)(00xxxxxxx，所以3xy在),(00yxP处的切线方程为： )(30200xxxyy 当00x时，法线方程为： )(310200xxxyy 当00x时，法线方程为： 0x。 五、 函数的可导性与连续性之间的关系 定理2：如果函数)(xfy在0xx点可导，那么在该点必连续。

证明：由条件知：)(lim00xfxyx是存在的，其中)()(,00xfxfyxxx， 由§1、5定理1(i))(0xfxy （为无穷小）xxxfy)(0 显然当0x时，有0y，所以由§1、9定义1＂，即得函数)(xfy在0xx

点连续，证毕。

注 1：本定理的逆定理不成立，即连续未必可导。 反例：xy在0x点连续，但不可导。

【例10】 求常数ba,使得00)(xbaxxexfx在0x点可导。

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《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）第八讲线性代数一、理论要求1.行列式会用按行（列）展开计算行列式2.矩阵几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3.向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲概率统计初步一、理论要求1.随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2.随机变量与分布理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数3.二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望5.大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理。

考研高数讲义新高等数学上册辅导讲义——第二章上课资料

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第二章导数与微分第一节导数概念一、导数的定义 定义：若极限()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，此极限值称为函数()y f x =在点0x 处的导数。

记为： ()0f x '、0x x y ='、0x x dy dx =、()0x x df x dx = （或极限()()lim 000x x f x f x x x →--存在也可）()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆单侧导数：左导数：()()lim 000x f x x f x x-∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x -→--存在，则称左导数存在，记为：()0f x -'。

右导数：()()lim 000x f x x f x x+∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x +→--存在，则称右导数存在，记为：()0f x +'。

【例1】（89一）已知()32f '=，则【例2】（87二）设()f x 在x a =处可导，则（A ）()f a '. （B ）()2f a '.（C ）0. （D ）()2f a '.【例3】（89二）设()()()()12f x x x x x n =+++，则()0f '= .（C）可导，但导数不连续. （D）可导，但导数连续.处的（A）左、右导数都存在. （B）左导数存在，但右导数不存在.（C）左导数不存在，但右导数存在.（D）左、右导数都不存在.【例7】（96二）设函数()f x在区间(,)-δδ内有定是()f x的（A）间断点. （B）连续而不可导的点. （C）可导的点，且()00f'=.（D）可导的点，且()00f'≠.【例8】（90三）设函数()f x 对任意的x 均满足等式()()1f x af x +=，且有()0f b '=，其中a 、b 为非零常数，则（A ）()f x 在1x =处不可导.（B ）()f x 在1x =处可导，且()1f a '=.（C ）()f x 在1x =处可导，且()1f b '=.（D ）()f x 在1x =处可导，()1f ab '=.二、导数的几何意义和物理意义导数的几何意义： 切线的斜率为：()()tan lim 00x x f x f x k x x →-==-α， ()()00f x f x x x --导数的物理意义：某变量对时间t 的变化率，常见的有速度和加速度。

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高等数学复习第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达）2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

海文钻石卡讲义(高数)word资料26页

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一 函数、极限、连续 1 函数的性质 a 有界性(1) 定义：0M ∃>, x X ∀∈，有Mx f ≤)(.(2) 无界：0M ∀>, x X ∃∈，有 ()f x M >.(3) 无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷；无穷的本质是任意的子列趋向无穷。

b 奇偶性(1) 定义：偶)()(x f x f =-；奇)()(x f x f =-。

(2) 导函数：奇导偶，偶导奇.(3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数. c 周期性 (1) 定义：)()(x f T x f =+(2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 d 单调性(1) 定义：递增(递减) 当12x x <时，均有()1212()()()()f x f x f x f x <>或(2) 导函数：'()()0()f x f x ≠−−→><←−−单增(减)；'()()0()f x f x ≠−−→≥≤←−−单增(减). 一 函数、极限、连续 1 函数的性质 a 有界性(1) 定义：0M ∃>, x X ∀∈，有Mx f ≤)(.(2) 无界：0M ∀>, x X ∃∈，有 ()f x M >.(3) 无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷；无穷的本质是任意的子列趋向无穷。

b 奇偶性(1) 定义：偶)()(x f x f =-；奇)()(x f x f =-。

(2) 导函数：奇导偶，偶导奇.(3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数. c 周期性 (1) 定义：)()(x f T x f =+(2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 d 单调性(1) 定义：递增(递减) 当12x x <时，均有()1212()()()()f x f x f x f x <>或(2) 导函数：'()()0()f x f x ≠−−→><←−−单增(减)；'()()0()f x f x ≠−−→≥≤←−−单增(减). 例1 设2()tan ,()x f x x xe f x =则是（A ）（A ） 偶函数 （B ）有界函数 （C ） 周期函数 （D ）单调函数 分析：(A) 22()()tan()tan ()x x f x x x e x xe f x -=--==则()f x 是偶函数. (B) 取4n x n ππ=+, 则22()tan nnx x n n n n f x x x ex e ==→∞, 故无界.(C) 若为周期函数,设周期为T , ()(0)0f T f ==, 故而tan 0T =, 从而.T k π= 显然22()()()()tan()()tan x k x k f x k x k x k e x k xe ππππππ+++=++=+,当0tan 0x x >≠且, 显然()()f x k f x π+≠, 故而()f x 不是周期函数. (D) 设(0)()0f f π==, 故而()f x 不是单调函数.例2 设()f x 是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是( )（A ）()0()()x f t f t dt +-⎰ （B ）()0()()xf t f t dt --⎰（C ）'()f x （D ）根据上面条件无法判断分析: 0()()()xx g t dt x ⎧=⎨⎩⎰奇, g 为偶函数偶, g 为奇函数(A) ()()f t f t +-是偶函数, 从而(A)是奇函数. (B) ()()f t f t --是奇函数, 从而(B)是偶函数. (C) ()f x 是奇函数, '()f x 偶函数.例3 设函数()f x 具有二阶导数，并满足()(),f x f x =--且()(1).f x f x =+若'(1)0,f > 则（ B ）(A)''(5)'(5)(5).f f f -≤-≤- (B)(5)''(5)'(5).f f f =-<- (C) '(5)(5)''(5).f f f -≤-≤- (D) (5)'(5)''(5).f f f -<-=- 分析: 显然(),''()f x f x 是奇函数, 故而(0)''(0)0.f f =='()f x 是偶函数且(),'(),''()f x f x f x 为周期为1的函数, 则 (5)(5)(0)0,'(5)'(1)0,''(5)''(0)0f f f f f f f =-==-=>-==. 2 极限的定义和性质 a 一元函数的极限与性质(1) 0lim ()x xf x A →=:0ε∀>,0δ∃>，当00||x x δ<-<时，有|()|f x A ε-<. (2) 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A →→+→-=⇔== 推论: 若0lim()lim ()x x x x f x f x →+→-≠, 则0lim ()x xf x →不存在. (3) 0lim ()00,xxf x δ→>⇒∃>当00||,x x δ<-<有()0f x > (4) 四则运算(略). 它的一个重要推论如下: 若0()lim()x xf x Ag x →=，则① 0lim ()0lim ()0;x x x x g x f x →→=⇒= ② 0lim ()0,0lim g()0x x x xf x A x →→=≠⇒=.b 二元函数 (1)00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=:0ε∀>,0δ∃>，当0δ<<时，有|(,)|f x y A ε-<.(2)0000(,)(,)lim(,)(,)(,),x y x y f x y A x y x y →=⇔以任意路径趋向(,)f x y A →推论：若(,)x y 按两路径趋向于()00,x y 所得极限不同，则()()()00,,lim,x y x y f x y →不存在.(3) 0lim ()00,x xf x δ→>⇒∃>当00||,x x δ<-<有()0f x > 例4 设()221lim 3sin 1x x ax bx →++=-，求a 和b 。