新人教版九年级数学上册《一元二次方程》课件PPT
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人教版九年级数学上册《用因式分解法解一元二次方程》课件(共16张PPT)
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You made my day!
我们，还在路上……
方法归纳 ☞
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程， 它们的根就是原方程的根.
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
例题欣赏 ☞
例2 解下列方程:
（ 1）x（x2） x20；
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了 “二次”转化为“一次”的过程.
独立 作业
1 .4 x 1 (5 x 7 ) 0 ; 2 .3 x x 1 2 2 x ;
3.2 (x3)24(2x3); 4.2(x3)2x29;
解下列方程
参考答案：
12..xx1114;32x;2x2 175.. 34 ..xx113 ;23x2 ;x 29 .12.
5.5(x2x)3(x2x); 5.x10 ;x24.
6 .x (2 )22x 3 2;
6.x1
5;x2
1. 3
7 .x ( 2 )x 3 1;2 7 .x 1 1 ,x26 .
8.x252x80.
8 .x142;x22 .
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程重 要方法,要作为一种基本技能来掌握. 而某些方程可以用分解因式法简便快 捷地求解.
例1、解下列方程
1、 2x26 3x0 2、(x+3)(x－1)=5
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x2)0 x10,x22
(2)y (2)y (3)0y12,y23
(3 )3 (x2 )2 (x 1 )0x1
You made my day!
我们，还在路上……
方法归纳 ☞
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程， 它们的根就是原方程的根.
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
例题欣赏 ☞
例2 解下列方程:
（ 1）x（x2） x20；
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了 “二次”转化为“一次”的过程.
独立 作业
1 .4 x 1 (5 x 7 ) 0 ; 2 .3 x x 1 2 2 x ;
3.2 (x3)24(2x3); 4.2(x3)2x29;
解下列方程
参考答案：
12..xx1114;32x;2x2 175.. 34 ..xx113 ;23x2 ;x 29 .12.
5.5(x2x)3(x2x); 5.x10 ;x24.
6 .x (2 )22x 3 2;
6.x1
5;x2
1. 3
7 .x ( 2 )x 3 1;2 7 .x 1 1 ,x26 .
8.x252x80.
8 .x142;x22 .
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程重 要方法,要作为一种基本技能来掌握. 而某些方程可以用分解因式法简便快 捷地求解.
例1、解下列方程
1、 2x26 3x0 2、(x+3)(x－1)=5
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x2)0 x10,x22
(2)y (2)y (3)0y12,y23
(3 )3 (x2 )2 (x 1 )0x1
(最新)人教版九年级数学上册《降次—解一元二次方程》优质课课件(共15张PPT)
课堂小结，归纳提 1、用直接开平方法 高
（1）定义：一般地,对于形如 x2=p(p≥0)的 方程,根据平方根的定义,可解得
x1 p , x2 p
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平 方法.
2
(m x n) p( p 0)的形式， （2）拓展 如果方程能化成 ： 那么可得m x n p .
整理得：X2+6X－16 = 0
x 6 x 16 0
2
变形为
(mx n) p 的形式.（p为非负常数）
2
• 通过配成完全平方式的
形式解一元二次方程的 方法，叫做配方法。
学科网 zxxk
16 4 • (1)x2＋8x＋ =(x ＋ )2 4 2 2 2 • (2)x －4x＋ =(x－ ) 6 3 2 2 • (3)x －___x＋ 9 =(x－ )
降次—解一元二次 方程
（配方法）
一般地,对于形如
x得
x1 p , x2 p
这种解一元二次方程的方法，叫做 直接开平方法.
解下列方程： （1）9x² -16=0
（2）(x+3)² =3
（3）x² +6x+9=2
如果方程能化成x p或 p的形式， （mx n）
课堂小结，归纳提高
2、配方法 （1）定义： 通过配成完全平方式的形式解一元二次方 程的方法，叫做配方法； （2）步骤：移、配、开、解
作业布 置
课本P45页 §习题22.2 1、第1题，第2题； 2、第3题的(1)、(2).
2 2
那么可得x p或m x n p .
化成两个一 元一次方程
合作探究，深入辨 析
问题2：要使一块矩形场地
人教版九年级数学上册 《一元二次方程》PPT课件3
x2 2 0
2x2 19x 24 0
x2 x 72 0
5x2 10x 2.2 0
这三个方程是不是一元一次方程？有何特点？
第六页，共三十一页。
特点:
x2 2 0
2x2 19x 24 0
x2 x 72 0
5x2 10x 2.2 0
①都是整式方程;
②只含一个未知数;
由题意得 x(x 1) 72
化简得:x2 x 72 0
第四页，共三十一页。
问题情境 （4）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2 万册，平均每年增长的百分率是多少？
解： 设平均每年增长的百分 率是x.
根据题意，得 5(1 x)2 7.2
化简得5x2 10x 2.2 0
第五页，共三十一页。
2x2+x+4=0
2
1
4
-4y2+2y=0 3x2-x-1=0 4x2-5=0
(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m≠3)
3x(x-1)=5(x+2)
-4
2
0
3
-1
-1
4
0
-5
m-3 1-m -m
第十八页，共三十一页。
例题例讲题解讲解
• 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次 项和常数项及它们的系数：
项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x
的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
一元二次方程：a≠0
一般形式： “＝”的右边必须为0
第二十页，共三十一页。
课堂练习
完成《时》P1的2、5两题
第二十一页，共三十一页。
练习巩固
若关于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化成一般 形式后为4x2-2x-1=0，求m、n的值。
人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT优秀课件
函数
与一元二次方程
人教版九年级上册数学
回顾旧知
二次函数的一般式：
y ax2 bx c （a≠0）
___x___是自变量，__y__是__x__的函数。
当 y = 0 时， ax²+ bx + c = 0
ax²+ bx + c = 0
这是什么方程？ 一元二次方程与二次函数 有什么关系？
上一章中我们学习了“一元二次方程”
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
探究
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.
（1） y = 2x2＋x－3
y
（2） y = 4x2 －4x +1
（3） y = x2 – x+ 1
o
x
令 y= 0，解一元二次方程的根
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的 飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
探究
（1） y = 2x2＋x－3 y
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
3
o
x 1 =－ ，x 2 = 1
x
2
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
人教版初中数学人教版九年级上册.一元二次方程 课件(张PPT)
bx+c=0
ax2+c=0 ax2+bx=0
ax2=0
探索新知
一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0中
二次项系数 a
ax2 二次项
一次项系数 b
bx 一次项
c
常数项
说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须 先将方程化为一般形式。
探索新知
一元一次方程与一元二次方程有什么区别
与联系？
一元一次方程
分析: 全部比赛共 4×7=28(场)
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1)个队各
赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
1 2
x(
x
1)
2场8 .
即 x2 x 56
探索新知
x2 2x 4 0
x2 75x 350 0
x2 x 56
这三个方程都不是一元一次方程.那么这三个方程
③未知数的最高次数是2次
探索新知 一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化 为ax2+bx+c=0的形式,我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常 数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
为什么要限制a≠0，b,c可以 为零吗？
当a=0时
当a≠0，b=0时 当a≠0，c=0时 当a≠0，b=0,c=0时
与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点
呢？
特点: ①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
探索新知
一元二次方程的定义
等号的两边都是整式，只含有一个未知数（一 元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程， 叫做一元二次方程。
人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程因式分解法 课件(共19张PPT)
新知探究
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.” （2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程. （3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
随堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 3x2-12x＝-12；
x1=x2=2.
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). x1=1 x2=2/3.
新知探究
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0. 解： 因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0. 于是得
x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元 一次方程
新知探究
例2 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
新知探究
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项：将方程化为一般形式； 2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3.转化：令每一个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》PPT课件
感悟新知
知4－练
1 一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若 把这两个数字调换位置，所得的两位数与原两 位数的乘积等于765，求原两位数． 15
2 两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数．
12和14
课堂小结
一元二次方程
1. 列一元二次方程解实际应用问题有哪些步骤? 2. 列方程解实际问题时要注意以下两点：
感悟新知
乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较
两种药品成本的年平均下降率．
知1－练
解：设乙种药品的年平均下降率为y，列方程得
6000（1 － y ）2=3600.
解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率
约为22.5%. 综上所述，甲乙两种药品成本的年平均
感悟新知
知2－练
解：(1) 设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌， 根据题意，得 60(1＋x)2＝24 000. 解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)． 答：每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌．
(2) 60×(1＋19)3＝60×203＝480 000(个)． 答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌．
知识点 2 营销策划问题
知2－练
例2 某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元， 按每
千克60元出售,平均每天可售出100千克, 后来经过市 场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增 加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获 利2240元,请回答:
在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客, 赢得市场, 该店应按原售价的几折出售?
是否正确、作答前验根是否符合实际.
感悟新知
人教版九年级数学上册《21一元二次方程 公式法 课件
将a，b，c 代入式子
x b
b2 4ac .
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公
式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式
可知，一元二次方程最多有两个实数根.
注意 用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
探究新知
求根公式的推导
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
典例精析
例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，
则b2-(4a2c)>20，4同k 时0要求二次项系数不为0，
即
，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
∴方程有两个相等的实数根．
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况．
(3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程有两个相等的实数根．
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3.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边_相__等__的未知数的值.
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1. 1 +2x-77=0是一元二次方程.( × )
2x 2
2.x2=0是一元二次方程.( √ )
3.x2-3y+2=0是一元二次方程.( × )
4.x2-4x-5=0的二次项系数是0,一次项系数是-4,常数项是-5.
【解析】(1)把x=1代入方程,得1-(2m+1)-(2m-1)=0,即1m. =
4
答案: 1
4
(2)把x=n代入方程得n2+mn+2n=0,即n(n+m+2)=0,
因为n≠0,所以n+m+2=0,即n+m=-2.
答案:-2
(3)把x=p代入方程,得p2-4p-p2+2p+2=0,整理得-2p+2=0, 所以p=1. 答案:1 (4)把x=a代入方程得a2-a-1=0,即a2-a=1,a2=a+1,所以a32a+3=a·a2-2a+3=a(a+1)-2a+3=a2+a-2a+3=a2a+3=1+3=4.
知识点二 一元二次方程的根的判断及应用
【示范题2】(2013·黑龙江中考)若x=1是关于x的一元二次方程
x2+3mx+n=0的解,则6m+2n=
.
【教你解题】
【想一想】 若x=-1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求 代数式2014(a-b+c)的值. 提示:把x=-1代入方程得:a-b+c=0,所以2014(a-b+c) =2014×0=0.
(×)5.x2-2x-源自=0的解是3或1.( × )知识点一 一元二次方程的概念及一般形式
【示范题1】下列方程中:① 2 =4;②2x2-3x=5+2x2;③x2=7;
x2
④2x2-y=0;⑤-3x2=0;⑥t2-4t-1=0,哪些是一元二次方程?
【思路点拨】
解题关键点 看分母
看未知数个数 看含未知数的 项的最高次数
特点 含未知数 不含未知数
一个 二个 一次 二次
结论 分式方程 整式方程 一元方程 二元方程 一次方程 二次方程
【自主解答】①分母中含有未知数,不是整式方程.②整理后方 程为-3x-5=0是一元一次方程,④中含有两个未知数,所以①② ④均不是一元二次方程.是一元二次方程的有:③⑤⑥.
【想一想】 方程ax2+bx+c=0是一元二次方程吗? 提示:不一定.当a≠0时,方程是一元二次方程;当a=0时,方程不 是一元二次方程.
第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程
1.定义 等号两边都是_整__式__,只含有_一__个__未知数(一元),并且未知数的 最高次数是_2_(二次)的方程. 2.一般形式 _a_x_2+_b_x_+_c_=_0_(a≠0)其中_a_x_2 是二次项,_a_是二次项系数;_b_x_是一 次项,_b_是一次项系数;_c_是常数项.
【微点拨】 1.一元二次方程重实质不重形式,判断一个方程是不是一元二次 方程,以化简后的结果为准. 2.一个一元二次方程需满足以下三点:(1)只含有一个未知数.(2) 未知数的最高次数是2.(3)整式方程.
【方法一点通】 判别一元二次方程的“两方法”
方法一:根据定义: (1)整式方程, (2)只含有一个未知数,含未知数的项的最高次数是2. 方法二:化成最简:能化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.
【方法一点通】 一元二次方程的根及应用
1.判断根的方法:分别将未知数的值代入原方程,看左右两边是 否相等,相等则是,否则不是. 2.根据方程根的定义,将方程的根代入原方程求解,从而确定某 些字母的取值或求出给定代数式的值.
【备选例题】(1)已知关于x的方程x2-(2m+1)x-(2m-1)=0有一
个解是1,则m=
.
(2)若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,则m+n=
.
(3)已知关于x的方程x2-4x-p2+2p+2=0的一个根为p,则p=
.
(4)若a是方程x2-x-1=0的一个根,求代数式a3-2a+3的值.