弦切角的逆定理的证明

〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。

集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。

和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

圆锥侧面展开图是一个扇形。

这个扇形的半径成为圆锥的母线。

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。

两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。

弦切角定理证明方法篇一：弦切角定理及推论弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线切圆于点，、为圆的弦，∠，∠，∠，∠都为弦切角。

弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半弦切角定理证明：证明一：设圆心为，连接，,。

∵∠=90-∠∵∠=180-2∠∴,∠=2∠（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠=2∠（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠=∠（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：是⊙的弦，是⊙的切线，为切点，弧是弦切角∠所夹的弧求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心在∠的一边上∵为直径，切⊙于，∴弧=弧∵为半圆,∴∠=90=弦所对的圆周角点应在点左侧（2）圆心在∠的内部过作直径交⊙于,若在优弧所对的劣弧上有一点那么，连接、、则有：∠=∠、∠=∠∴∠=∠∴（弦切角定理）（3）圆心在∠的外部,过作直径交⊙于那么∠+∠=∠+∠=90∴∠=∠∴（弦切角定理）弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在△中，∠=90，以为弦的⊙与相切于点，∠=60°,=求长解：连结，∵在△中,∠=90∴∠=30°∴=12(△中30°角所对边等于斜边的一半）例2：如图，是Δ中∠的平分线，经过点的⊙与切于点，与，分别相交于，求证：∥证明：连是∠的平分线∠=∠∠=∠∠=∠⊙切于∠=∠∠=∠∥例3：如图，Δ内接于⊙，是⊙直径，⊥于，切⊙于，求证：平分∠，平分∠证明：∵是⊙直径∴∠=90∵⊥∴∠=∠，∵切⊙于∴∠=∠，∴∠=∠，即平分∠，同理：平分∠篇二：弦切角定理导学案弦切角定理导学案【学习目标】：1理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，能运用它们解决有关问题。

2通过弦切角定理的证明，了解分情况证明数学命题的思想和方法。

弦切角定理证明方法(1)连OC、OA，则有OC⊥CD于点C。

得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。

而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。

进而有∠OAC=∠BAC。

由此可知，0A与AB重合，即AB为⊙O的直径。

(2)连接BC，且作CE⊥AB于点E。

立即可得△ABC为Rt△，且∠ACB=Rt∠。

由射影定理有AC²=AE*AB。

又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC²=AB*AD。

第一题重新证明如下：首先证明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA 。

连接OA、OC、BC，则有∠ACD+∠ACO=90°=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)=∠ACO+(1/2)∠AOC,所以∠ACD=(1/2)∠AOC，而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，得∠ACD=∠CBA 。

另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CA B，所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，进而AB为⊙O的直径。

2证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 (2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴ ∠CEA=∠CAB∴ (弦切角定理)(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中, ∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.。

弦切角定理怎么证弦切角定理是圆周角定理的一个应用，一般用于二次函数的相关知识中。

在学习二次函数过程中，我们会接触到弧度制和角度制，并且也需要掌握几何平面上角的各种性质。

本文将介绍如何证明弦切角定理。

证明过程如下：首先，我们知道圆周角定理是在一个圆上两个弧之所对的圆周角是相等的。

而弦切角定理中所涉及到的弦，则是两点之间的线段，靠这条弦将圆分成两个弧，本文以被弦分割出的小弧 AB 和弦段 AC 为例，其余部分同理。

接下来，我们需要将弧 AB 延长至圆周上的任意点 D，使得弦段AC 与弧 BD 不相交。

这样，我们就得到了三角形 ADC 和三角形 ADB，它们的底为同一弦段 AC。

再来看弧 AB，我们可以得到圆周角 ACB = ADB。

由于弦段 AC与弧 BD 不相交，因此有弧 AB > 弦段 AC。

对于三角形 ADC，我们可以利用正弦定理计算出 sin ACD。

sin ACD = AC / D = 2r / AD对于三角形 ADB，我们可以利用三角函数的相似关系计算出 sin ABD。

sin ABD = BD / D = AB / AD接着运用三角函数的商角公式，我们可以将其化简为 sin ACD / sin ABD，从而推出弦切角定理：sin ACD / sin ABD = 2r / AB其中，2r 为圆的直径。

因此，我们可以翻转等式，得出弦切角定理的另外一种表达形式：AB / 2r = sin ABD / sin ACD结论：我们从弧 AB 推出了圆周角 ACB = ADB，再通过正弦定理和三角函数的相似关系，推导出弦切角定理：AB / 2r = sin ABD / sin ACD 或者 sin ACD / sin ABD = 2r / AB。

经过证明，我们可以得知，弦切角定理是建立在圆周角定理的基础上的，并且在计算过程中需要利用三角函数的知识。

有了这条定理，我们可以更轻松地解决与二次函数相关的各种问题，更好地理解和掌握相关知识。