一. 教学内容：
方程、方程组及不等式、不等式组
学习目标：
1. 掌握一元一次、一元二次方程的概念、解法及应用；能解二元一次、二元二次、三元一次方程组，会简单应用。
2. 类比方程（组）的知识点，掌握不等式（组）的知识点。
二. 重点、难点
1. 方程的有关概念，同解原理①②
2. 方程的分类
代数方程有理方程整式方程一元一次方程一元二次方程分式方程无理方程 ⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪
⎪
⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
3. 一元一次方程
①ax b a +=≠00，，a 一次项系数，b 常数项 ②求根公式：
x b
a =-
唯一实根
4. 一元二次方程
①
ax bx c a 200++=≠， a 二次项系数；b 一次项系数；c 常数项 ②根的判别式：∆=-b ac 2
4
∆>=<⎧⎨⎪
⎩⎪000有两个不等实根有两个相等实根无实根 ③当∆≥0时，求根公式
x b b ac a b a 12
2422,=-±--±，即
∆
④解法：
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 ⑤当∆≥0时，根x x 12，与系数a 、b 、c 关系
x x b a 12+=-
，x x c
a 12= ⑥构造以x x 12，为根的方程
有无数个，构造以1为二次项系数的
x x x x x x 212120-++=() 5. 分式方程
①定义；②解法：分式化整式，注意验根；③解的个数 6. 方程组的有关概念
7. 二元一次方程组，二元二次方程组，三元一次方程组 ①解法思路：消元、降次 ②方法：代入法、加减法 8. 解的情况：个数
9. 不等式的概念：ax b +>0，a ≠0或ax b +<0，a ≠0 10. 不等式的基本性质①②③及同解原理 11. 不等式的解集及解法，解的个数
12. 利用数轴确定一元一次不等式组的解集 13. 注意类比的方法
14. 绝对值不等式、分式不等式要转化成不等式组来解，可看作不等式组的应用。
【典型例题】
例1. 已知关于x 的方程422x m x m +=-()与234321()()x m m x +=+-的解相同，求m 的值。
解：422x m x m -=-()的解为
x m =-
32 234321()()x m m x +=+-的解为
x m =-
+524 两个方程的解相同，
∴-=-
+32524m m ∴=m 2
说明：若要求x 的值是多少，不必将m ＝2代入原方程，只需代入
x m =-
32或
x m =-
+52
4，得x =-3
例2. 解下列方程
（1）21225367
41
x x x --+=--
（2）
010203100701004......--=-x x
解：（1）方程两边同乘12，得
62142536712()()()x x x --+=--
去括号，得126820182112x x x ---=-- 移项，得128182112620x x x --=--++ 合并同类项，得-=-147x
∴=
x 12
说明：解一元一次方程是解其它方程的基础，基本思路是把方程变形为最简方程
ax b a =≠()0，再求解。
（2）利用公式的基本性质，原方程化为：
12317104--=-x x
去分母，得48122130--=-x x
∴=
x 2922 说明：注意不要将分式的性质和等式的性质相混淆。
例3. 解下列方程
（1）241
22122
x x x x ++
++=- （2）6151
380
22()()x x x x +++-=
解：（1）设x x y 222++=，则
1221
2
x x y ++= 原方程可化为22241
221
22()x x x x ++-+++=-
则有21
30
y y +-=
整理，得
23102y y -+= 解得
y y 1212==
1
，
当x x 2
221++=时，x x 2
210++= ∴==-x x 121
当
x x 22212++=
时，x x 223
20++=
∆<0，∴此方程无实根
经检验，x =-1是原方程的根。
（2）设x x y +
=1，则x x y 22212+=- 原方程化为
6253802()y y -+-= 整理得
655002
y y +-=
解得
y y 1210352=-
=， 当
y 1103=-时，x x +=-
1103 整理得310302
x x ++=
解得x x 121
33
=-=-， 当
y 252=时，x x +=
152 整理得25202
x x -+=
解得x x 341
22=
=，
经检验，x x x x 12341331
22
=-=-==，，，都是原方程的根。
例4. 不解方程，判断关于x 的方程
x x k k 22
23--+=-()的根的情况。 解：原方程整理为x x k k 22
2230-+++= ∆=--++()()24232
2
k k
=-+++=-+-=-+-442124418
414222
[()]()()k k k k
()()k k +≥∴-+≤10
41022
∴-+-<41402
()k 即∆<0，故原方程没有实数根。
例5. m 为何值时，方程()m x mx m -+++=12302
（1）无实根；（2）有实根；（3）只有
一个实根；（4）有两个实根；（5）有两个不等实根；（6）有两个相等实根。
解：（1）分两种情况：
①当m ＝1时，方程为240x +=，它有一个实根，不符合题意，舍去；
②当m ≠1时，
∆=--+=-+44138122
m m m m ()() 只需∆<0，即
-+<>
81203
2m m ，时无实根
