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《高等数学（工本）》公式
第一章 空间解析几何与向量代数
1. 空间两点间的距离公式21221221221)()()(z z y y x x p p -+-+-=
2. 向量的投影
3. 数量积与向量积：
向量的数量积公式：设},,{},,,{z y x z y x b b b a a a == .1︒z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅
.2︒⊥的充要条件是：0=⋅
'
.3
︒=∧
)cos(向量的数量积公式：
.1︒b a b a b a b a b a b a b b b a a a i
x y y x z x x z y z z y z
y x
z y x
)()()(-+-+-==⨯
.2
︒=
ϕsin
.3︒//的充要条件是0=⨯
4. 空间的曲面和曲线以及空间中平面与直线
平面方程公式： ),,(o o o o z y x M },,{C B A n =
点法式：0)()()(=-+-+-o o o z z C y y B x x A
"
直线方程公式： },,{n m l S = ，),,(o o o o z y x M 点向式：
n
z z m y y l x x o
o o -=-=-
5. 二次曲面
第二章 多元函数微分学
6. 多元函数的基本概念，偏导数和全微分 偏导数公式：
.1︒),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===
!
x v
v z x u u z x z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=∂∂ y
v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ .2︒设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===
dx
dv
v z dx du u z dx dz ∂∂+
∂∂=
.3︒设0),,(=z y x F
Fz
Fy
y z Fz
Fx x z -=∂∂-=∂∂ 全微分公式：设),,(y x f z =dy y
z dx x z dz ∂∂+∂∂= 7. 复合函数与隐函数的偏导数 8. 偏导数的应用：二元函数极值 9. 高阶导数
\
第三章 重积分
10. 二重积分计算公式：.
1︒⎰⎰=D
kA kd σ（A 为D 的面积）
.
2︒⎰
⎰⎰⎰⎰⎰==)
()
()
()
(1212),(),(),(y y c
d
D
x x b
a
dx y x f dy dy y x f dx d y x f ϕϕϕϕ
σ
.
3︒⎰⎰
⎰
⎰=D
rdr r r f d d y x f )
()
(12)sin ,cos (),(θϕθϕβ
α
ϑϑϑσ
11. 三重积分计算公式：
.1︒利用直角坐标系计算，Ω为⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤≤≤≤b x a x y y x y y x z z y x z )
()()
,(),(2121
⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
=Ω
)
,()
,()
()
(2121),,(),,(y x z y x z x y x y b
a
dz z y x f dy dx d z y x f σ
…
.2︒利用柱面坐标计算：Ω为⎪⎩
⎪
⎨⎧===z y r y r x ϑϑsin cos
⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰=Ω
)
,()
,()
()
(21212
1
),sin ,cos (),,(ϑϑϑϑϑϑ
ϑϑr z r z r r dz z r r f rdr dx dv z y x f
.3︒利用球面坐标计算：Ω为⎪⎩
⎪
⎨⎧===ϕϕϑϕϑcos sin sin sin cos r y r y r x
⎰⎰⎰Ω
dv z y x f ),,(⎰
⎰⎰=)
,()
,(2)
()
(
2121sin )cos ,sin sin ,sin cos (ϑϕϑϕϑϕϑ
ϕβ
αϕϕϕϑϕϑϕϑr r dr r r r r f d d
12. 重积分的应用公式：
.1︒曲顶柱体的体积：⎰⎰=D
dxdy y x f V ,),(曲面),(:y x f z =∑
.2︒设V 为Ω的体积：⎰⎰⎰Ω
=dv V
》
.3︒设∑为曲面),(y x f z =
曲面的面积为σd f f S D
y x ⎰⎰
++=
221
第四章 曲线积分与曲面积分
13. 对弧长的曲线积分
（1）若L ：b x a x f y ≤≤=),(，则
⎰⎰
+=b
a
L
dx x x x f dl y x f )(1)](,[),(2ϕϕ
（2）若L ：βαψϕ≤≤⎩
⎨⎧==t t y t x ,)()
(
则⎰⎰
'
+'=βα
ψϕψϕdx t t t t f dl y x f L
)()()](),([),(22
。
（3）当1),(=y x f 时，曲线L 由B 的弧长为⎰
=L
dl S 。
14. 对坐标的曲线积分
