2016届高考数学理一轮复习(山东专版)课后作业第2章函数、导数及其应用第11节导数与函数的单调性

课后限时自测

[A级 基础达标练]

一、选择题

1．函数f(x)＝xln x，则( )

A．在(0，＋∞)上递增 B．在(0，＋∞)上递减

C．在0，1e上递增 D．在0，1e上递减

[解析] 因为函数f(x)＝xln x，所以f′(x)＝ln x＋1，当f′(x)>0时，解得x>1e，则函数的单调递增区间为1e，＋∞；

又f′(x)<0时，解得0

[答案] D

2．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f12，c＝f(3)，则( )

A．a

C．c

[解析] 依题意得，当x<1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<12<1，因此f(－1)

[答案] C

3．(2015·潍坊质检)设函数f(x)＝12x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )

A．1

C．a≤2 D．0

[解析] ∵f(x)＝12x2－9ln x，

∴f′(x)＝x－9x(x>0)，

当x－9x≤0时，有0

即在(0，3]上原函数是减函数，

∴a－1>0且a＋1≤3，解得1

[答案] A

4．已知函数f(x)＝x2－cos x，则f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小关系是( )

A．f(0)

B．f(0)

C．f(0.6)

D．f(－0.5)

[解析] f′(x)＝2x＋sin x，当00恒成立，所以f(x)＝x2－cos x在[0，1]上是单调递增的．

所以f(0)

又f(x)＝x2－cos x是偶函数，所以f(0.5)＝f(－0.5)，

故f(0)

[答案] B 5．(2015·济南模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )

A．(－1，1) B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)

[解析] 设F(x)＝f(x)－(2x＋4)，则F(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝2－2＝0，

F′(x)＝f′(x)－2，对任意x∈R，有F′(x)＝f′(x)－2>0，即函数F(x)在R上单调递增，则F(x)>0的解集为(－1，＋∞)，

故f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．

[答案] B

二、填空题

6．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是增函数，则b的取值范围是________．

[解析] y′＝x2＋2bx＋b＋2，由题意知Δ＝4b2－4(b＋2)>0，

解得b>2或b<－1.

[答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞)

7．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(x)＝axg(x)(a>0，且a≠1)，f（1）g（1）＋f（－1）g（－1）＝52，则实数a的值为________．

[解析] f（x）g（x）＝ax，且f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2>0，因此f（x）g（x）是增函数，从而a>1，

又f（1）g（1）＋f（－1）g（－1）＝a＋a－1＝52，解得a＝2.

[答案] 2

8．(2015·临沂调研)已知f(x)＝sin x＋2x，x∈R，且f(1－a)＋f(2a)<0，则a的取值范围是________．

[解析] 由f(x)＝sin x＋2x，x∈R，得f′(x)＝cos x＋2>0，

∴f(x)在(－∞，＋∞)上递增且是奇函数，

由f(1－a)＋f(2a)<0，得f(2a)

∴2a

[答案] (－∞，－1)

三、解答题

9．已知函数f(x)＝－aln x＋2a2x＋x(a≠0)，讨论f(x)的单调性．

[解] 依题意得函数的定义域为(0，＋∞)，

因为f′(x)＝－ax－2a2x2＋1＝x2－ax－2a2x2

＝（x＋a）（x－2a）x2(x>0)．

①当a>0时，

由f′(x)>0，及x>0得x>2a；

由f′(x)<0，及x>0得0

所以当a>0时，函数f(x)在(2a，＋∞)上单调递增，在(0，2a)上单调递减． ②当a<0时，由f′(x)>0及x>0得x>－a；

由f′(x)<0及x>0得0

所以当a<0时，函数f(x)在(0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增．

综上所述，当a<0时，函数f(x)在(0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增．

当a>0时，函数f(x)在(2a，＋∞)上单调递增，在(0，2a)上单调递减．

10．已知函数f(x)＝ln x＋a，g(x)＝x－a.

(1)当直线y＝g(x)恰好为曲线y＝f(x)的切线时，求a的值；

(2)当a>0时，若函数F(x)＝f(x)·g(x)在区间[e－12，1]上不单调，求a的取值范围．

[解] (1)设切点为(x0，y0)，由f(x)＝ln x＋a，

∴f′(x)＝1x，

由题意，f′(x0)＝1x0＝1，∴x0＝1，

∴切点为(1，a)，又切点在直线y＝g(x)上，∴1－a＝a，∴a＝12.

(2)F(x)＝f(x)·g(x)＝(ln x＋a)(x－a)，

F′(x)＝1＋a＋ln x－ax.

∵a>0，∴函数y＝－ax在(0，＋∞)上单调递增， 又∵y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，

∴F′(x)＝1＋a＋ln x－ax在(0，＋∞)上单调递增，

∵F′(1)＝1＋a＋ln 1－a>0，

∴要使F(x)＝(ln x＋a)(x－a)在e－12，1上不单调，

只需满足F′(e－12)＝1＋a＋ln e－12－ae－12<0，

解得a>12e－2＝e＋12（e－1）.

[B级 能力提升练]

1．(2014·湖南高考)若0

A．ex2－ex1>ln x2－ln x1

B．ex1－ex2

C．x2ex1>x1ex2

D．x2ex1

[解析] 设f(x)＝ex－ln x(0

则f′(x)＝ex－1x＝xex－1x.

令f′(x)＝0，得xex－1＝0.

根据函数y＝ex与y＝1x的图象可知两函数图象交点x0∈(0，1)，因此函数f(x)在(0，1)上不是单调函数，故A，B选项不正确． 设g(x)＝exx(0

又0

∴函数g(x)在(0，1)上是减函数．

又0g(x2)，∴x2ex1>x1ex2.

[答案] C

2．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．

[解析] 由题意知f′(x)＝－x＋4－3x＝－x2＋4x－3x＝－（x－1）（x－3）x，

由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1，3，

则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，

函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，

由t<1

[答案] (0，1)∪(2，3)

3．已知函数f(x)＝x2＋2aln x.

(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)若函数g(x)＝2x＋f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

[解] (1)由题意知，f′(x)＝2x＋2ax＝2x2＋2ax， 由f′(2)＝1，解得a＝－3.

(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

①当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；

②当a＜0时，f′(x)＝2（x＋－a）（x－－a）x.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：

x (0，－a) －a (－a，＋∞)

f′(x) － 0 ＋

f(x) 极小值

由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，－a)；

单调递增区间是(－a，＋∞)．

(3)由g(x)＝2x＋x2＋2aln x得，g′(x)＝－2x2＋2x＋2ax，

由已知函数g(x)为[1，2]上的单调减函数，

则g′(x)≤0在[1，2]上恒成立，

即－2x2＋2x＋2ax≤0在[1，2]上恒成立．

即a≤1x－x2在[1，2]上恒成立．

令h(x)＝1x－x2，在[1，2]上h′(x)＝－1x2－2x＝－1x2＋2x＜0，

所以h(x)在[1，2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－72，

所以a≤－72. 故实数a的取值范围为aa≤－72.