北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析
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B
A O
D C E
图8 七年级下三角形综合题归类
一、 双等边三角形模型
1. （1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；
（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.
2. 已知:点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O.
① 求证：AN=BM
② 求 ∠AOB的度数。
③ 若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，求证：PQ∥AB。
（湘潭·中考题）
C B
O D
图7 A E
A B C M N
O
P Q
同类变式：已知，如图①所示，在ABC△和ADE△中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点BAD，，在一条直线上，连接BECDMN，，，分别为BECD，的中点．
（1）求证：①BECD；②ANAM；
（2）在图①的基础上，将ADE△绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.
4. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．
（1）证明：△ABG ≌△ADE ；
（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；
（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜BAE ＜180°），设△ABE的面积
为1S，△ADG的面积为2S，判断1S与2S的大小关系，并给予证明．
C
F G
E D
B A
H C
E N
D A B M
图① C
A
E M B D N
图②
5.已知：如图，ABC△是等边三角形，过AB边上的点D作DGBC∥，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDB，连接AECD，．
（1）求证：AGEDAC△≌△；
（2）过点E作EFDC∥，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF△是怎样的三角形，试证明你的结论．
C G A
E D
B F
二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）
考点1：利用垂直证明角相等
1. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
求证：（1）AE＝CD； （2）若AC＝12 cm，求BD的长．
考点2：利用角相等证明垂直
1. 已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系
2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：CD=BF；
(2)求证：AD⊥CF；
(3)连接AF，试判断△ACF的形状.
拓展巩固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
BACEFQPDA B C
D
E F
图9 （提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？）
3. 如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.
（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
4.如图1，ABC的边BC在直线l上，,ACBC且,ACBCEFP的边FP也
在直线l 上，边EF与边AC重合，且EFFP
（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的
数量关系和位置关系；
（2） 将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接
,APBQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长
线于点Q,连结,APBQ,你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
l
(1) A
B (F) (E)
C P A
B E
C F P Q
(2) l
三、 等腰三角形（中考重难点之一）
考点1：等腰三角形性质的应用
1. 如图，ABC中，ABAC，90BAC，D是BC中点，EDFD，ED与AB交于E，FD与AC 交于F．求证：BEAF，AECF．
ABCDEF
2. 两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，,,EAC三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结,MEMC．试判断EMC的形状，并说明理由．
MEDCBA 压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知RtABC中，ACBC，90C，D为AB边的中点，90EDF，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证12DEFCEFABCSSS．当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEFS，CEFS，ABCS又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． A
B E
C F P l
(3) Q FEDCBA图1AECFBD图2AECFBD图3
提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。
3. 已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1) BF=AC (2) CE=12BF (3)CE与BC的大小关系如何。
考点2：等腰直角三角形（45度的联想）
1. 如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边
经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM
的平分线BF相交于点F.
⑴ 如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：
① 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
② 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；
③ 请证明你的上述两猜想.
⑵ 如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,
使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明
2. 在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．
①求证：DG=DC
②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）
ADBCGE图2 GHFEDCBA图1 同类变式：（期末考试原题哦） 已知：△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60º角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边与∠ACM的平分线CF交于点F
（1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时
○1猜想AE与EF满足的数量关系是 .
○2连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是
.
○3请证明你的上述猜想；
（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？
四、 角平分线问题
1.
如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA, ∠AEB=90°,设AD＝x,
BC＝y，且,xy满足2268250xyxy
（1）求AD和BC的长；（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；
（3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.
2. 如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、图（1）NFMCBAE图（2）FMCBAA C
B D E
