2018-2019学年最新人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》随堂检测1及答案-精品试题

第二十一章检测卷(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.若方程(m-1)x2+5x+m=0是关于x的一元二次方程,则m的取值不可能的是A.m>1B.m<1C.m=1D.m=02.已知x=2是关于x的一元二次方程ax2-3bx-5=0的一个根,则4a-6b+6的值是A.1B.6C.11D.123.某服装原价为200元,连续两次涨价a%后,售价为242元,则a的值为A.10B.9C.5D.124.将方程3x2+6x-1=0配方,变形正确的是A.(3x+1)2-1=0B.(3x+1)2-2=0C.3(x+1)2-4=0D.3(x+1)2-1=05.用因式分解法把方程6x(x-7)=7-x分解成两个一次方程,正确的是A.x-7=0,6x-1=0B.6x=0,x-7=0C.6x+1=0,x-7=0D.6x=7,x-7=7-x6.若一元二次方程(1-2k)x2+12x-10=0有实数根,则k的最大整数值为A.1B.2C.-1D.07.x1,x2是方程x2+x+k=0的两个实根,若恰好+x1x2+=2k2成立,k的值为A.-1B.或-1C.D.-或18.在一幅长80厘米,宽50厘米的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边,制成一幅矩形挂图,如图,如果要使整个挂图的面积是5400平方厘米,设金色纸边的宽为x厘米,那么满足的方程是A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=09.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AE=EB=EC=a,且a是一元二次方程x2+2x-3=0的根,则▱ABCD的周长为A.4+2B.12+6C.2+2D.2+或12+610.如图,在长为70 m,宽为40 m的长方形花园中,欲修宽度相等的观赏路(如阴影部分所示),要使观赏路面积占总面积的,则路宽x应满足的方程是A.(40-x)(70-x)=350B.(40-2x)(70-3x)=2450C.(40-2x)(70-3x)=350D.(40-x)(70-x)=2450二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.若关于x的一元二次方程4x2-2ax-ax-2a-6=0常数项为4,则一次项系数.12.已知(a-1)x2-5x+3=0是一个关于x的一元二次方程,则不等式3a+6>0的解集.13.已知a,b,c分别是三角形的三边,则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是.14.已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0,则代数式x2-x+1的值为.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.已知关于x的方程(m2-1)x2+(m-1)x-2=0.(1)当m为何值时,该方程为一元二次方程?(2)当m为何值时,该方程为一元一次方程?16.按要求解下列方程.(1)2x2-4x-5=0(公式法);(2)x2-4x+1=0(配方法);(3)(y-1)2+2y(1-y)=0(因式分解法).四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.已知关于x的方程x2-2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若x1+x2=3x1x2-6,求k的值.18.汽车产业的发展,有效促进了我国现代化建设.某汽车销售公司2014年盈利1500万元,到2016年盈利2160万元,且从2014年到2016年,每年盈利的年增长率相同.(1)求该公司2015年盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2017年盈利多少万元?五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.阅读以下材料,解答问题:例:设y=x2+6x-1,求y的最小值.解:y=x2+6x-1=x2+2·3·x+32-32-1=(x+3)2-10,∵(x+3)2≥0,∴(x+3)2-10≥-10即y的最小值是-10.问题:(1)设y=x2-4x+5,求y的最小值.(2)已知:a2+2a+b2-4b+5=0,求ab的值.20.已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)求证:无论k取任何实数值,方程总有实数根;(2)若等腰△ABC的一边长a=1,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长六、(本题满分12分)21.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.七、(本题满分12分)22.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0.(1)判断方程根的情况;(2)若方程的两根x1,x2满足(x1-1)(x2-1)=5,求k值;(3)若△ABC的两边AB,AC的长是方程的两根,第三边BC的长为5,①则k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?②k为何值时,△ABC是等腰三角形,并求出△ABC的周长.八、(本题满分14分)23.合肥市某学校搬迁,教师和学生的寝室数量在增加,若该校今年准备建造三类不同的寝室,分别为单人间(供一个人住宿),双人间(供两个人住宿),四人间(供四个人住宿).因实际需要,单人间的数量在20至30之间(包括20和30),且四人间的数量是双人间的5倍.(1)若2015年学校寝室数为64个,2017年建成后寝室数为121个,求2015至2017年的平均增长率;(2)若建成后的寝室可供600人住宿,求单人间的数量;(3)若该校今年建造三类不同的寝室的总数为180个,则该校的寝室建成后最多可供多少师生住宿?第二十一章检测卷(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.若方程(m-1)x2+5x+m=0是关于x的一元二次方程,则m的取值不可能的是A.m>1B.m<1C.m=1D.m=02.已知x=2是关于x的一元二次方程ax2-3bx-5=0的一个根,则4a-6b+6的值是A.1B.6C.11D.123.某服装原价为200元,连续两次涨价a%后,售价为242元,则a的值为A.10B.9C.5D.124.将方程3x2+6x-1=0配方,变形正确的是A.(3x+1)2-1=0B.(3x+1)2-2=0C.3(x+1)2-4=0D.3(x+1)2-1=05.用因式分解法把方程6x(x-7)=7-x分解成两个一次方程,正确的是A.x-7=0,6x-1=0B.6x=0,x-7=0C.6x+1=0,x-7=0D.6x=7,x-7=7-x6.若一元二次方程(1-2k)x2+12x-10=0有实数根,则k的最大整数值为A.1B.2C.-1D.07.x1,x2是方程x2+x+k=0的两个实根,若恰好+x1x2+=2k2成立,k的值为A.-1B.或-1C.D.-或18.在一幅长80厘米,宽50厘米的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边,制成一幅矩形挂图,如图,如果要使整个挂图的面积是5400平方厘米,设金色纸边的宽为x厘米,那么满足的方程是A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=09.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AE=EB=EC=a,且a是一元二次方程x2+2x-3=0的根,则▱ABCD的周长为A.4+2B.12+6C.2+2D.2+或12+610.如图,在长为70 m,宽为40 m的长方形花园中,欲修宽度相等的观赏路(如阴影部分所示),要使观赏路面积占总面积的,则路宽x应满足的方程是A.(40-x)(70-x)=350B.(40-2x)(70-3x)=2450C.(40-2x)(70-3x)=350D.(40-x)(70-x)=2450二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.若关于x的一元二次方程4x2-2ax-ax-2a-6=0常数项为4,则一次项系数15.12.已知(a-1)x2-5x+3=0是一个关于x的一元二次方程,则不等式3a+6>0的解集a>-2且a≠1.13.已知a,b,c分别是三角形的三边,则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是无实数根.14.已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0,则代数式x2-x+1的值为7.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.已知关于x的方程(m2-1)x2+(m-1)x-2=0.(1)当m为何值时,该方程为一元二次方程?(2)当m为何值时,该方程为一元一次方程?解:(1)∵关于x的方程(m2-1)x2+(m-1)x-2=0为一元二次方程,∴m2-1≠0,解得m≠±1,即当m≠±1时,方程为一元二次方程.(2)∵关于x的方程(m2-1)x2+(m-1)x-2=0为一元一次方程,∴m2-1=0且m-1≠0,解得m=-1,即当m为-1时,方程为一元一次方程.16.按要求解下列方程.(1)2x2-4x-5=0(公式法);解:∵a=2,b=-4,c=-5,∴Δ=(-4)2-4×2×(-5)=56,∴x=,即x1=,x2=-.(2)x2-4x+1=0(配方法);解:移项,得x2-4x=-1,配方,得x2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3,直接开平方,得x-2=±,即x1=2+,x2=2-.(3)(y-1)2+2y(1-y)=0(因式分解法).解:整理,得(y-1)2-2y(y-1)=0,因式分解,得(y-1)(y-1-2y)=0,∴y-1=0或y-1-2y=0,解得y1=1,y2=-1.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.已知关于x的方程x2-2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若x1+x2=3x1x2-6,求k的值.解:(1)∵方程x2-2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1,x2,∴Δ≥0,即4(k+1)2-4×1×k2≥0,解得k≥-,∴k的取值范围为k≥-.(2)∵方程x2-2(k+1)x+k2=0有两个实数根x1,x2,∴x1+x2=2(k+1),x1x2=k2.∵x1+x2=3x1x2-6,∴2(k+1)=3k2-6,即3k2-2k-8=0,∴k1=2,k2=-.∵k≥-,∴k=2.18.汽车产业的发展,有效促进了我国现代化建设.某汽车销售公司2014年盈利1500万元,到2016年盈利2160万元,且从2014年到2016年,每年盈利的年增长率相同.(1)求该公司2015年盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2017年盈利多少万元?解:(1)设每年盈利的年增长率为x,根据题意,得1500(1+x)2=2160,解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意,舍去),则1500×(1+0.2)=1800(万元).答:该公司2015年盈利1800万元.(2)2160×(1+0.2)=2592(万元).答:预计2017年盈利2592万元.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.阅读以下材料,解答问题:例:设y=x2+6x-1,求y的最小值.解:y=x2+6x-1=x2+2·3·x+32-32-1=(x+3)2-10,∵(x+3)2≥0,∴(x+3)2-10≥-10即y的最小值是-10.问题:(1)设y=x2-4x+5,求y的最小值.(2)已知:a2+2a+b2-4b+5=0,求ab的值.解:(1)∵y=x2-4x+5,∴y=x2-4x+4+1=(x-2)2+1.∵(x-2)2≥0,∴(x-2)2+1≥1,即y的最小值是1.(2)∵a2+2a+b2-4b+5=0,∴a2+2a+1+b2-4b+4=0,∴(a+1)2+(b-2)2=0,∵(a+1)2≥0,(b-2)2≥0,∴a+1=0,b-2=0,∴a=-1,b=2,∴ab=-1×2=-2.20.已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)求证:无论k取任何实数值,方程总有实数根;(2)若等腰△ABC的一边长a=1,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.解:(1)Δ=(k+2)2-4×2k=(k-2)2,∵(k-2)2≥0,即Δ≥0,∴无论k取任何实数值,方程总有实数根.(2)当b=c时,Δ=(k-2)2=0,则k=2,方程化为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2,∴△ABC的周长=2+2+1=5;当b=a=1或c=a=1时,把x=1代入方程得1-(k+2)+2k=0,解得k=1,方程化为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,即△ABC的另一边长为2,不合题意,此情况舍去,∴△ABC的周长为5.六、(本题满分12分)21.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.解:(1)×(40-4)=1008(元).答:商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利1008元.(2)设每件衬衫应降价x元.根据题意,得(40-x)(20+2x)=1200,整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.∵要尽量减少库存,∴x=20.答:每件衬衫应降价20元.(3)不可能.理由如下:令(40-x)(20+2x)=1600,整理得x2-30x+400=0,∵Δ=900-4×400<0,∴商场平均每天不可能盈利1600元.七、(本题满分12分)22.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0.(1)判断方程根的情况;(2)若方程的两根x1,x2满足(x1-1)(x2-1)=5,求k值;(3)若△ABC的两边AB,AC的长是方程的两根,第三边BC的长为5,①则k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?②k为何值时,△ABC是等腰三角形,并求出△ABC的周长.解:(1)∵在方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0中,Δ=b2-4ac=[-(2k+3)]2-4(k2+3k+2)=1>0,∴方程有两个不相等的实数根.(2)∵x1+x2=2k+3,x1·x2=k2+3k+2,∴由(x1-1)(x2-1)=5,得x1·x2-(x1+x2)+1=5,即k2+3k+2-2k-3+1=5,整理,得k2+k-5=0,解得k=-.(3)∵x2-(2k+3)x+k2+3k+2=(x-k-1)(x-k-2)=0,∴x1=k+1,x2=k+2.①不妨设AB=k+1,AC=k+2,∴斜边BC=5时,有AB2+AC2=BC2,即(k+1)2+(k+2)2=25,解得k1=2,k2=-5(舍去).∴当k=2时,△ABC是直角三角形.②∵AB=k+1,AC=k+2,BC=5,由(1)知AB≠AC,故有两种情况:(Ⅰ)当AC=BC=5时,k+2=5,∴k=3,AB=3+1=4,∵4,5,5满足任意两边之和大于第三边,∴此时△ABC的周长为4+5+5=14;(Ⅱ)当AB=BC=5时,k+1=5,∴k=4,AC=k+2=6,∵6,5,5满足任意两边之和大于第三边,∴此时△ABC的周长为6+5+5=16.综上可知,当k=3时,△ABC是等腰三角形,此时△ABC的周长为14;当k=4时,△ABC是等腰三角形,此时△ABC的周长为16.八、(本题满分14分)23.合肥市某学校搬迁,教师和学生的寝室数量在增加,若该校今年准备建造三类不同的寝室,分别为单人间(供一个人住宿),双人间(供两个人住宿),四人间(供四个人住宿).因实际需要,单人间的数量在20至30之间(包括20和30),且四人间的数量是双人间的5倍.(1)若2015年学校寝室数为64个,2017年建成后寝室数为121个,求2015至2017年的平均增长率;(2)若建成后的寝室可供600人住宿,求单人间的数量;(3)若该校今年建造三类不同的寝室的总数为180个,则该校的寝室建成后最多可供多少师生住宿?解:(1)设2015至2017年的平均增长率是x,依题意有64(1+x)2=121,解得x1=0.375,x2=-2.375.故2015至2017年的平均增长率为37.5%.(2)设双人间的数量为y间,则四人间的数量为5y间,依题意有20≤600-2y-4×5y≤30,解得25≤y≤26,∵y为整数,∴y=26,600-2y-4×5y=600-52-520=28.故单人间的数量是28间.(3)由于四人间的数量是双人间的5倍,则四人间和双人间的数量是5+1=6的倍数,双人间与四人间总数量在150~160之间.∵150~160间6的最大倍数是156,∴双人间156÷6=26(间),四人间的数量26×5=130(间),单人间180-156=24(间),24+26×2+130×4=596(名).答:该校的寝室建成后最多可供596名师生住宿.。

解一元二次方程一、选择题(每小题分，总计分。

请将唯一正确答案的字母填写在表格内)．一元二次方程﹣的根为（ ） ． ．﹣．或﹣ ．．将一元二次方程﹣化成（）的形式，则等于（ ）．﹣．． ．．用公式法解﹣时，先求出、、的值，则、、依次为（）．﹣，，﹣ ．，﹣，﹣ ．﹣，﹣，﹣ ．，，．一元二次方程（﹣）﹣的根是（ ） ．﹣． ．，．﹣，．已知实数，满足（）（﹣），则（ ）． ．﹣．或﹣ ．﹣或．若方程﹣有两个相等的实数根，则的值是（ ）． ．﹣． ．．关于的一元二次方程﹣的判别式为（ ） ．﹣．﹣． ．．已知α，β是一元二次方程﹣的两个实数根，则αβ﹣αβ的值是（ ） ． ． ．﹣．﹣．若﹣（），那么、的值分别是（ ） ．，．，﹣ ．﹣， ．﹣，﹣．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程﹣为例，公元世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：将原方程变形为（），然后构造如图，一方面，正方形的面积为（）；另一方面，它又等于，因此可得方程的一个根，根据阿尔•花拉子米的思路，解方程﹣﹣时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）正确的是（ ）．．﹣．．﹣二、 填空题(每题分，总计分) ．已知﹣，当时，﹣． ．方程（﹣）的解为．．三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程﹣的解，则此三角形的周长是． ．如果一元二次方程的根没有实数根，那么的取值范围是． ．已知，是方程﹣﹣的两根，则．三．解答题（共小题,总计分） ．用直接开平方法解方程：（）．用配方法解方程：﹣．．利用公式法解方程：．．用因式分解法解方程：（﹣）（﹣）．．已知关于的一元二次方程（﹣）﹣（﹣）（为常数）．（）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（）若该方程一个根为，求的值．．已知关于的一元二次方程﹣（﹣）﹣有实数根．（）求的取值范围；（）若此方程的两实数根，满足，求的值．．阅读下面的材料，回答问题：解方程﹣，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为﹣①，解得，．当时，，∴±；当时，，∴±；∴原方程有四个根：，﹣，，﹣．（）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（）解方程（）﹣（）﹣．．用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为≥，所以就有最小值，即≥，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为﹣≤，所以﹣有最大值，即﹣≤，只有在时，才能得到这个式子的最大值．（）当时，代数式（）有最（填写大或小）值为．（）当时，代数式﹣有最（填写大或小）值为．（）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？参考答案一．选择题（共小题）二．填空题（共小题）．或．．．．．．＞．．三．解答题（共小题）．解：方程两边同时除以得（），±，解得：﹣，﹣．．∵﹣∴﹣∴﹣∴﹣∴（﹣）∴∴，．．解：由原方程，得﹣，这里，﹣，，∵△﹣，∴，解得：，．．解：（﹣）（﹣），（﹣）﹣（﹣），（﹣）（﹣﹣），﹣或﹣﹣，所以，﹣．．（）证明：原方程可化为﹣（），∵，﹣（），，∴△﹣[﹣（）]﹣（）＞，∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（）解：将代入原方程，得：（﹣）﹣（﹣），解得：，．∴的值为或．．解：（）∵关于的一元二次方程﹣（﹣）﹣有实数根，∴△≥，即[﹣（﹣）]﹣××（﹣）﹣≥，解得≤．（）由根与系数的关系可得﹣，﹣，∴（）﹣（﹣）﹣（﹣）﹣，∵，∴﹣，解得，或﹣，∵≤，∴（舍去），∴﹣．．解：（）换元，降次（）设，原方程可化为﹣﹣，解得，﹣．由，得﹣，．由﹣，得方程，﹣﹣×﹣＜，此时方程无实根．所以原方程的解为﹣，．．解：（）∵（）≥，∴当﹣时，（）的最小值为，则当﹣时，代数式（）的最大值为；（）代数式﹣﹣（﹣），则当时，代数式﹣的最大值为；（）设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为（﹣），∴花园的面积为（﹣）﹣﹣（﹣）﹣（﹣），则当边长为米时，花园面积最大为．。

东城区2018-2019年初三上第21章一元二次方程检测题含解析 人教版九年级上册〔新〕第二十一章一元二次方程检测题一.填空题(每题5分，共25分)1.方程1)32)(13(=-+x x 化成一般式是﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏,其中二次项系数是﹏﹏﹏﹏,一次项系数是﹏﹏﹏﹏,常数项是﹏﹏﹏﹏﹏﹏。

2.关于x 旳方程02)1()1(22=-++-x k x k ，当k ﹏﹏﹏﹏时，它是一元二次方程；当k ﹏﹏﹏﹏时，它是一元一次方程。

3.方程)3(5)3(2-=-x x x 旳根是﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏。

4.假如方程0622=--+k kx x 旳一个根是-3，那么另一个根是﹏﹏﹏﹏，k=﹏﹏﹏﹏﹏﹏。

5.假设方程043222=-+-a x x 有两个不相等旳实数根，那么a 旳取值范围为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏，那么a a a 81622-+--旳值等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏。

二.选择题〔每题6分，共30分〕6.以下关于x 旳方程中，一定是一元二次方程旳是〔〕A .023)3(2=---x x m B.0652=++k x k C .0214222=--x x D.02132=-+x x 7.关于x 旳方程0122=---m mx x 旳根旳情况〔〕A .没有实数根B .有两个相等旳实数根C .有两个不相等旳实数根D .不能确定。

8.方程04322=-+x x 旳两根倒数之和为〔〕 A .43B .43-C .23D .以上【答案】都不对。

9.在实数范围内分解因式364-x 旳结果正确旳选项是〔〕A .)6)(6(22-+x xB .)6)(6)(6(2-++x x xC .)6)(6()6(2-++x x xD .以上【答案】都不对。

10.某厂一月份生产空调机1200台，三月份生产空调机1500台，假设【二】三月份每月平均增长旳百分率是x ，那么所列方程是〔〕A .1500)1(12002=+x B .1500)1(12002=+x C .1500)21(1200=+x D .1500)1(12002=+x x三.用适当旳方法解方程〔每题5分，共20分〕11.027)2(2=--x 12.01452=--x x13.12)3(22=+-y y 14.x x 32132=+ 四.用配方法解方程：〔此题5分〕15.05622=-+x x五.(此题6分)16.k 什么缘故数时，关于x 旳方程032)1(2=+++-k kx x k 有两个实数根？ 六.〔此题7分〕17.：关于x 旳方程02)12(22=-+++k x k x 旳两个实数根旳平方和等于11，求k 旳值。

人教版数学九年级上册 一元二次方程检测题（Word 版 含答案）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ．（1）如图①，①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值；（2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当3883a t ==，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．【答案】（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析【解析】【分析】（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；【详解】解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①5 1.54t at -=-②由①②可得 1.1a =， 2.5t =．当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③54t at -=-④，由③④可得0.5a =，2t =．综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与PCN △全等；②AP BD ⊥，90BEP ∴∠=︒，90APB CBD ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90APB BAP ∴∠+∠=︒，BAP CBD ∴∠=∠，在ABP △和BCD 中，BAP CBD AB BCABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，BP CD ∴=，即54t -=，1t ∴=；（2）当38a =，83t =时，1DN at ==，而4CD =， DN CD ∴<，∴点N 在点C 、D 之间，1.54AM t ==，4CD =，AM CD ∴=，如图②中，连接AC 交MD 于O ，90ABC BCD ∠=∠=︒，180ABC BCD ∴∠+∠=︒，//AB BC ∴，AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠，在AOM 和COD △中，AMD CDM AM CDBAC DCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOM COD ASA ∴≅△△，OA OC ∴=，ADO CDO S S ∆∆∴=，AFO CFO S S ∆∆=，ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-，ADF CDF S S ∆∆∴=．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．2．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 47758．【解析】【分析】（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，列出方程、解方程即可解答；（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝12×6×6＝18，∵AP＝t，CP＝6﹣t，∴△PBC 与△PAD 的面积和＝12t 2+12×6×（6﹣t ）， ∵△PBC 与△PAD 的面积和是△ABC 的面积的79， ∴12t 2+12×6×（6﹣t ）＝18×79， 解之，得t 1＝2，t 2＝4；（2）∵AP ＝t ，PQ ＝2AP ，∴PQ ＝2t ， ①如图1，当0≤t ≤2时，S ＝（2t ）2﹣12t 2＝72t 2＝8， 解得：t 1＝477，t 2＝﹣477（不合题意，舍去）， ②如图2，当2≤t ≤3时，S ＝12×6×6﹣12t 2﹣12（6﹣2t ）2＝12t ﹣25t 2＝8， 解得：t 1＝4（不合题意，舍去），t 2＝45（不合题意，舍去）， ③如图3，当3≤t ≤6时，S ＝12⨯ 6×6﹣12t 2＝8， 解得：t 1＝25，t 2＝﹣25（不合题意，舍去），综上，t 的值为477或25时，重叠面积为8．【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.3．已知:在平面直角坐标系xoy 中,直线k y x b =+分别交x 、y 轴于点A 、B 两点,OA=5,∠OAB=60°.(1)如图1,求直线AB 的解析式；(2)如图2,点P 为直线AB 上一点，连接OP ,点D 在OA 延长线上，分别过点P 、D 作OA 、OP 的平行线,两平行线交于点C ，连接AC,设AD=m,△ABC 的面积为S,求S 与m 的函数关系式;(3)如图3,在(2)的条件下,在PA 上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE 的周长等于22，求S 的值.【答案】(1)直线解析式为353y x =-+53253+；(3)203S =. 【解析】【分析】 (1)先求出点B 坐标，设AB 解析式为y kx b =+，把点A(5，0)，B(0，3分别代入，利用待定系数法进行求解即可；(2)由题意可得四边形ODCP 是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，则有PC=OD=5+m ，∠PCH=30°，过点C 作CH ⊥AB ，在Rt △PCH 中 利用勾股定理可求得)35m +，再由S=12AB •CH 代入相关数据进行整理即可得； (3) 先求得∠PEC=∠ADC ，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，在BA 延长线上截取AK=AD ，连接OK ，DK ，DE ，证明△ADK 是等边三角形，继而证明△PEC ≌△DKO ，通过推导可得到OP=OK=CE=CD ，再证明△CDE 是等边三角形，可得CE=CD=DE ，连接OE ，证明△OPE ≌△EDA ，继而可得△OAE 是等边三角形，得到OA=AE=5 ，根据四边形ADCE 的周长等于22，可得ED=172m -，过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=52m +，由勾股定理得222EN DN DE +=， 可得关于m 的方程，解方程求得m 的值后即可求得答案.【详解】(1)在Rt △ABO 中OA=5，∠OAB=60°，∴∠OBA=30°，AB=10 ，由勾股定理可得OB=53，∴B(0，3，设AB 解析式为y kx b =+，把点A(5，0)，B(0，53)分别代入，得0553k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴353k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴直线解析式为353y x =+(2)∵CP//OD ，OP//CD ，∴四边形ODCP 是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，∴PC=OD=5+m，∠PCH=30°，过点C作CH⊥AB，在Rt△PCH中 PH=52m+，由勾股定理得CH=()35m+，∴S=12AB•CH=135325310(5)2m m⨯⨯+=+；(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°，∴∠EAD+∠ECD=180°，∠CEA+∠ADC=180°，∴∠PEC=∠ADC，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，在BA延长线上截取AK=AD，连接OK，DK，DE，∵∠DAK=60°，∴△ADK是等边三角形，∴AD=DK=PE，∠ODK=∠APC，∵PC=OD，∴△PEC≌△DKO，∴OK=CE，∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+α，∠AKD= ∠APC=60°，∴∠OPK= ∠OKB，∴OP=OK=CE=CD，又∵∠ECD=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE=CD=DE，连接OE，∵∠ADE=∠APO，DE=CD=OP，∴△OPE≌△EDA，∴AE=OE，∠OAE=60°，∴△OAE是等边三角形，∴OA=AE=5 ，∵四边形ADCE的周长等于22，∴AD+2DE=17，∴ED=172m -， 过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=52m +， 由勾股定理得222EN DN DE +=，即22253517()()()22m m -++=， 解得13m =，221m =-(舍去)，∴S=15325322+=203.【点睛】本题考查的四边形综合题，涉及了待定系数法，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.4．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC ，AB ＝6cm ，BC ＝16cm ，动点P 从点A 出发，以3cm/s 的速度向点O 运动，直到点O 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，与点P 同时结束运动，出发 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ；（2）逆向发散:当运动时间为2s 时，P ，Q 两点的距离为多少？当运动时间为4s 时，P ，Q 两点的距离为多少？（3）拓展应用：若点P 沿着AO→OC→CB 移动，点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点Q 从点C 移动到点B 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ 的面积为12cm2？【答案】（1）85s或245s（2）62cm；213cm（3）4s或6s【解析】【分析】(1)过点P作PE⊥BC于E，得到AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，利用勾股定理得到方程，故可求解；（2）根据运动时间求出EQ、PE，利用勾股定理即可求解；(3) 分当点P在AO上时，当点P在OC上时和当点P在CB上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．【详解】解：（1）设运动时间为t秒时，如图，过点P作PE⊥BC于E，由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，∵点P和点Q之间的距离是10 cm，∴62+（16﹣5t）2＝100，解得t1=85，t2=245，∴t＝85s或245s.故答案为85s或245s（2）t=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，∴四边形APEB是矩形，∴PE＝AB＝6，BE＝6，∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6，根据勾股定理得PQ=2262PE EQ +=,∴当t ＝2 s 时，P ，Q 两点的距离为62 cm ；当t ＝4 s 时，由运动知AP ＝3×4＝12 cm ，CQ ＝2×4＝8cm ， ∴四边形APEB 是矩形，∴PE ＝AB ＝6，BQ ＝8，CE=OP=4∴EQ ＝BC ﹣CE ﹣BQ ＝16﹣4﹣8＝4，根据勾股定理得PQ=22213PE EQ +=,P ，Q 两点的距离为213cm .（3）点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ，当点P 在AO 上时，S △POQ ＝2PO CO ⋅＝(163)62t -⋅＝12， 解得t ＝4． 当点P 在OC 上时，S △POQ ＝2PO CQ ⋅＝(316)22t t -⋅＝12， 解得t ＝6或﹣23（舍弃）． 当点P 在CB 上时，S △POQ ＝2PQ CO ⋅＝(2223)62t t +-⨯＝12， 解得t ＝18＞8（不符合题意舍弃），综上所述，经过4 s 或6 s 时，△POQ 的面积为12 cm 2．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．5．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7k =±详见解析 【解析】【分析】 （1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+== 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-21430,k k ∴--=1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=7k ∴==± k ＞13-且k ≠0， 172130.21,3-≈--＞ 17.3+-∴满足条件的k 值存在，且7k =± ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．6．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2ky x=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根． （1）求k 1，k 2的值；（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．【答案】（1）k 1＝－2，k 2＝3． （2）tan∠OBA ＝6． 【解析】解：（1）∵k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根，∴解方程x 2－x －6＝0，得x 1＝3，x 2＝－2．结合图像可知：k 1＜0，k 2＞0，∴k 1＝－2，k 2＝3．（2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ．[来源:学&科&网Z&X&X&K]由（1）知，点A ，B 分别在反比例函数2y x =-（x ＜0），3y x=（x ＞0）的图象上， ∴S △ACO ＝12×2-＝1 ，S △ODB ＝12×3＝32．∵∠ AOB ＝90°， ∴∠ AOC ＋∠ BOD ＝90°，∵∠ AOC ＋∠ OAC ＝90°，∴∠ OAC ＝∠ BOD ． 又∵∠ACO ＝∠ODB ＝90°，∴△ACO ∽△ODB ．∴S S ACO ODB ∆∆＝2OA OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝23，∴OA OB 6OA OB 6∴在Rt △AOB 中，tan ∠ OBA ＝OA OB ＝63．7．如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，OA 和AB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+a=0的两个实数根． （1）求弦AB 的长度； （2）计算S △AOB ；（3）⊙O 上一动点P 从A 点出发，沿逆时针方向运动一周，当S △POA =S △AOB 时，求P 点所经过的弧长（不考虑点P 与点B 重合的情形）．【答案】（1）AB=2；（2）S △AOB 33）当S △POA =S △AOB 时，P 点所经过的弧长分别是43π、83π、103π． 【解析】试题分析：（1）OA 和AB 的长度是一元二次方程的根，所以利用一元二次方程的根与系数的关系即可求出AB 的长度；（2）作出△AOB 的高OC ，然后求出OC 的长度即可求出面积； （3）由题意知：两三角形有公共的底边，要面积相等，即高要相等． 试题解析：（1）由题意知：OA 和AB 的长度是x 2﹣4x+a=0的两个实数根， ∴OA+AB=﹣41-=4， ∵OA=2， ∴AB=2；（2）过点C 作OC⊥AB 于点C ，∵OA=AB=OB=2，∴△AOB 是等边三角形，∴AC=12AB=1， 在Rt△ACO 中，由勾股定理可得：3△AOB =12AB ﹒OC=1233； （3）延长AO 交⊙O 于点D ，由于△AOB 与△POA 有公共边OA ， 当S △POA =S △AOB 时，∴△AOB 与△POA 高相等，由（2）可知：等边△AOB 3P 到直线OA 3，这样点共有3个 ①过点B 作BP 1∥OA 交⊙O 于点P 1，∴∠BOP 1=60°， ∴此时点P 经过的弧长为：1202180π⨯=43π，②作点P 2，使得P 1与P 2关于直线OA 对称，∴∠P 2OD=60°， ∴此时点P 经过的弧长为：2402180π⨯=83π， ③作点P 3，使得B 与P 3关于直线OA 对称，∴∠P 3OP 2=60°， ∴此时P 经过的弧长为：3002180π⨯ =103π， 综上所述：当S △POA =S △AOB 时，P 点所经过的弧长分别是43π、83π、103π．【点睛】本题主要考查了一元二次方程与圆的综合知识．涉及等边三角形性质，圆的对称性等知识，能综合运用所学知识，选择恰当的方法进行解题是关键．8．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%5a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值.【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=，解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．9．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在正方形EFGH 的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD 的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 的2倍． 因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为2， 所以EF ＝FG ＝GH ＝HE 2EB ＝x ，则BF 2﹣x ， ∵Rt △AEB ≌Rt △BFC ∴BF ＝AE 2﹣x在Rt △AEB 中，由勾股定理，得 x 2+2﹣x ）2＝12 解得，x 1＝x 2＝22∴BE ＝BF ，即点B 是EF 的中点．同理，点C ，D ，A 分别是FG ，GH ，HE 的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD ， 一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+x）2=12，整理得x2x+1=0，b2﹣4ac=3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=2﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（2﹣x）2=12，整理得2x2﹣4x+3=0，b2﹣4ac=16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，故答案为不存在；探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+﹣x）2=12，整理得2x2﹣+n﹣1=0，b 2﹣4ac =8﹣4n ＜0， 此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的n 倍． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．10．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF . （1）当32BG = 时，求AE 的长； （2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.【答案】（1）92AE =；（2）62EF =3）185BG =. 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得； （2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得． 【详解】（1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-， 由勾股定理，得()(222632x x =-+，解得92x =，即92AE = （2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值， 当FG BC ⊥时，点E 与点B 重合， 此时四边形AEGF 是正方形，∴折痕226662EF =+=（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论： ①当FG=FC 时，如图2，过F 作FH ⊥CG 于H ，则有：AF=FG=FC，CH=DF=GH设AF=FG=FC=x，则DF=10-x=CH=GH 在Rt△CFH中∵CF2=CH2+FH2∴x2=62+（10-x）2解得：x=345，∴DF=CH=GH=10-165，即BG=10-165×2=185，②当FG=GC时，则有：AF=FG=GC=x，CH=DF=10-x；∴GH=x-（10-x）=2x-10，在Rt△FGH中，由勾股定理易得：x2=62+（2x-10）2，化简得：3x2-40x+136=0，∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，∴此方程没有实数根．综上可知：BG=185．【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．。