中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)含答案
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一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线223432333yxx与其“衍生直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2323y=x+33；（-2，23）；（1,0）；
（2）N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；
（3）E（-1，-433）、F（0，233）或E（-1，43-3），F（-4，1033）
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可
【详解】
（1）∵223432333yxx，a=233，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+33；
联立两解析式求交点2234323332323y=x+33yxx，解得x=-2y=23或x=1y=0，
∴A（-2，23），B（1,0）；
（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，
在223432333yxx中，令y=0可求得x= -3或x=1，
∴C（-3,0），且A（-2，23），
∴AC=22-++2133=（23）（）
由翻折的性质可知AN=AC=13，
∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，
∴N在y轴上，且AD=2，
在Rt△AND中，由勾股定理可得
DN=22AN-AD=13-4=3，
∵OD=23，
∴ON=23-3或ON=23+3，
∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；
（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，
∴∠ ACK=∠ EFH，
在△ ACK和△ EFH中
ACK=EFHAKC=EHFAC=EF
∴△ ACK≌△ EFH， ∴FH=CK=1，HE=AK=23，
∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴ F点的横坐标为0或-2，
∵点F在直线AB上，
∴当F点的横坐标为0时，则F（0，233），此时点E在直线AB下方，
∴E到y轴的距离为EH-OF=23-233=433，即E的纵坐标为-433，
∴ E（-1，-433）；
当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形的对角线时，
∵ C（-3,0），且A（-2，23），
∴线段AC的中点坐标为（-2.5， 3），
设E（-1，t），F（x，y），
则x-1=2×（-2.5），y+t=23，
∴x= -4，y=23-t，
23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，
∴E（-1，43-3），F（-4，1033）；
综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-433）、（0，233）或E（-1，43-3），F（-4，1033）
【点睛】
本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题
2．如图，已知顶点为(0,3)C的抛物线2(0)yaxba与x轴交于A，B两点，直线yxm过顶点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数2(0)yaxba的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得15MCB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）﹣3；（2）y13x2﹣3；（3）M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．
【解析】
【分析】
（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；
（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；
（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．
【详解】
（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：
m＝﹣3；
（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：
x＝3，
所以点B的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：
390bab，
解得：133ab，
所以二次函数的解析式为：y13x2﹣3；
（3）存在，分以下两种情况：
①若M在B上方，设MC交x轴于点D，
则∠ODC＝45°+15°＝60°，
∴OD＝OC•tan30°3，
设DC为y＝kx﹣3，代入（3，0），可得：k3，
联立两个方程可得：233133yxyx，
解得：121203336xxyy，，
所以M1（33，6）；
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，
则∠OEC＝45°-15°＝30°，
∴OE＝OC•tan60°＝33，
设EC为y＝kx﹣3，代入（33，0）可得：k33，
联立两个方程可得：2333133yxyx，
解得：12120332xxyy，，
所以M2（3，﹣2）．
综上所述M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．
【点睛】
此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．
3．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？
【答案】（1）w=﹣2x2+480x﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元
【解析】
【分析】
（1）用每件的利润80x乘以销售量即可得到每天的销售利润，即80802320wxyxx， 然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式221203200wx，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）求2400w所对应的自变量的值，即解方程2212032002400x．然后检验即可.
【详解】
（1）80802320wxyxx，
2248025600xx，
w与x的函数关系式为：2248025600wxx；
（2）2224802560021203200wxxx，
2080160x，，
∴当120x时，w有最大值．w最大值为3200．
答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元．
（3）当2400w时，2212032002400x．
解得：12100140xx，．
∵想卖得快，
2140x不符合题意，应舍去．
答：销售单价应定为100元．
4．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.
(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元? (2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?
【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【解析】
【分析】
（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
【详解】
解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，
解得：x＝40，
60﹣40＝20元，
答：这一星期中每件童装降价20元；
（2）设利润为w，
根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．
5．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
