大学物理：统计物理学基础

与 v 、 v 有关
f(v)
N dN 分子速率在 v 附近单位速率区 f (v) lim v 0 N v Ndv 间内的概率（概率密度），
是 v 的函数
定义速率分布函数
dN f(v ) Ndv
平衡态下，无外力场作用时，理想气体分子 按速率分布服从麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦速率分布函数
统计物理学基础
物质的微观运动 物质宏观热学性质
大数粒子无规运动
满足统计规律
布朗运动演示
应用统计规律的原则: 系统由大量微观粒子组成。
描述系统热学性质的宏观量是相应微观量的统 计平均值，而系统的微观状态或由微观状态所决 定的微观量是按一定的概率出现的。
经典统计与量子统计 涨落现象：指统计平均值与实际值的偏差
v v f (v )dv
0

v
8kT
8RT RT 1.60 M M
2. 方均根速率(root-mean-square speed )
v v f (v )dv
2 2
3kT 3RT RT v 1.73 m
2
3. 最概然速率（最可几速率) (Most Probable Speed)
二、大量分子热运动服从统计规律
每一个分子的运动 具有不可预测性， 或者说偶然性 大数分子的运动总体， 表现出确定的规律性
统计假设
1、分子数密度处处相等（均匀分布） 2、分子沿各个方向运动的概率相同 * 任一时刻向各方向运动的分子数相同
* 分子速度在各个方向分量的各种平均值相等
vx v y vz
d f (v ) 0 dv
2kT 2 RT RT vp 1.41 m
f(v )
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vp v v
2
v
vpv
v2
f(v )
T1
例 图为同一种气体，处于不同温度 状态下的速率分布曲线，试问（1） 哪一条曲线对应的温度高？（2)如果 这两条曲线分别对应的是同一温度下 氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线 对应的是氧气，哪条对应的是氢气？
§14-1 理想气体状态方程 一、宏观量与微观量
对大量粒子系统的两种描述
宏观量(macroscopic quantity)
表征系统状态和属性的物理量，如压强，温 度，体积，内能等
微观量(microscopic quantity)
表征个别粒子运动状态的物理量，如速度，质 量，位置，能量等
二、统计平均值与平衡态
(Maxwell’s Speed Distribution Function)
m f (v ) 4 ( ) e 2 kT
m 是分子的质量
mv 2 32 2 kT
v
2
R k 1.38 1023 J K 1 NA
称为玻耳兹曼常数(Boltzmann constant)
dN f (v)dv N
宏观量是大量粒子运动的集体表现， 决定于微观量的统计平均值。
统计规律
掷骰子
大量偶然事件整体所遵从的规律
掷大量次数，每点出现次数约1/6，呈现规律性。 抛硬币 抛大量次数，正反数约各1/2，呈现规律性。
数学处理
假设系统某物理量 f 有N个微观状态，{ fi , i=1,2,…N }，某一微观量取值 fi 的次数为Ni次， 则 f 的统计平均值为
称A，B处 于热平衡
B
热力学第零定律 如果系统A和系统B分别与系统C的同一状态处于热 平衡，那么A与B接触时，它们也必定处于热平衡。
温度
多个系统处于 热平衡时，它 们所具有的共 同宏观性质
温标：温度的数值表示法 摄氏温标 t（℃）和热力学温标 T （K）的关系
T t 273.15 K ℃
四、理想气体的状态方程
dN N
Av2dv
( 0 v vF )
A 为常数
0
( v vF )
（1）画出电子气速率分布曲线 （2）由 vF 定出常数 A （3）求
T2 v
v p1
v p2
解：
2kT vp M
(1) T1 < T2
(2) 绿：氧 紫：氢
例 处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于 金属中自由电子( “电子气”模型 )。设导体中自由 电子数为 N ,电子速率最大值为费米速率 vF ，且已 知电子速率在 v — v + d v 区间概率为：
f lim
N f
i
i i
N
N
Ni lim fi i fi N N i i
i
是微观量 fi 出现的概率
平衡态（Equilibrium State） 系统宏观性质不随时间改变的状态
三、热力学第零定律
温度？ A 感官感知？
经历一段 时间后
共同的 平衡态
v2
f (v )

v1
N f (v)dv N
v
o
v1
v2
在麦克斯韦速率分布曲线下的任意一块 面积等于相应速率区间内分子数占总分子数 的百分比。
归一化条件


0
f (v )dv 1
三个统计速率
1. 平均速率(mean speed)
v

0
v dN N


0
v Nf (v )dv N
状态参量（state parameter）
描述系统宏观状态的物理量
对气体，有三个重要的状态参量：
体积(V )：容器的体积
压强(P )：气体作用在器壁单位面积上的正压力 温度(T )：分子运动剧烈程度的宏观表征
理想气体的微观模型
1、分子线度与分子间距相比较可忽略。 质点 2、除碰撞外，分子间及分子与容器壁
之间均无相互作用。 3、碰撞为完全弹性碰撞。
自由质点
弹性质点
自由地无规则运动的弹性质点群
理想气体的状态方程
PV
M

-1
RT

为气体的摩尔质量
-1
R 8.31 J mol K
为气体普适常数
§14-2 麦克斯韦速率分布 一、气体分子热运动的基本特征
大数粒子的频繁碰撞，每一个粒子都在 做永不停歇、杂乱无章、无定向的运动
v v v v
2 2 x 2 y 2 z
v v v
2 x 2 y
2 x 2 y 2 z
2 z
1 2 v v v v 3
三、麦克斯韦气体分子速率分布定律
研究对象为处在平衡态的理想气体系统
设总分子数为 N
N —— 速率在 v ~ v + v 区间内分子数 与 v 、 v 有关
N —— 分子速率处在 v ~ v + v 区间的概率 N （占总分子数的百分比）