市高三一模试题

2024届广东省深圳市高三第一次调研考试（一模）英语试题一、听力选择题1. What are the speakers talking about?A．Income.B．Future job.C．A trip.2. What do we know about Andrew?A．He’s optimistic.B．He’s active.C．He’s shy.3. What does the man probably mean?A．He wants to have a rest.B．He agrees to go to the cinema.C．He will have a basketball game.4. Why does the woman want new clothes?A．For a new job.B．For a wedding.C．For the hotter weather.5. What surprises the man about the cat?A．That it can eat lots of cat food.B．That it can lock a door with a key.C．That it can open the kitchen door.二、听力选择题6. 听下面一段较长对话，回答以下小题。

1. Where did the man probably work in Paris?A．At a school.B．At a bank.C．At a restaurant.2. What did the man think of French?A．He could never learn to speak it.B．He enjoyed studying it.C．He was tired of it.3. In which city does the man plan to stay now?A．New York.B．Chicago.C．Los Angeles.7. 听下面一段较长对话，回答以下小题。

2024届浙江省杭州市高三上学期一模英语试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、阅读理解1．Who is this article mainly intended for?A．Students in all grades.B．Students in 6th or 8th grades.C．Parents of children in 6th or 8th grades.D．Parents of children in 7th to 9th grades. 2．What do we know about Ravenna?A．It deals with entry applications.B．It promotes school management.C．It is accessible the whole school year.D．It monitors the admissions process. 3．Which can be a possible date for applicants to submit teacher evaluations?A．August 30, 2023.B．January 26, 2024.C．February 3, 2024.D．March 30, 2024.In 1959, Handler changed how toy dolls were made when she introduced “Barbie” to the world. With her mature figure, Barbie was one of the first “grown-up” dolls to hit the retail market.Handler wanted to create a toy that was different from the baby dolls that dominated little girls’ toy boxes. She wanted a doll that girls could project their future dreams upon and allowed for limitless clothing and career choices. Inspired by paper dolls of the time, Handler, to much disagreement, made sure Barbie had the body of a grown woman.“My own philosophy of Barbie,” Handler wrote in her autobiography, “was that through the doll, the little girl could be anything she wanted to be. Barbie always represented the fact that a woman had choices.”There’s even a Barbie for cancer patients — Brave Barbie — a partnership between Mattel and CureSearch that sends a bald (光头的) Barbie to families affected by cancer. “Gifting my daughter a Barbie who suffered from cancer was tremendous,” Michelle, a cancer survivor said, “We would play with that Barbie together and I’d heartbreakingly watch her pretend to take the doll to the hospital for chemo (化疗), or place its long wig on top of its head and tell the doll ‘It’s time to be beautiful again.’”Bald Barbie was super brave and went on awesome adventures after chemo. Sometimes she felt sick and needed to sleep, but would feel much better after a rest. Bald Barbie always beat the cancer and went on to live a long and happy life with her family. That Barbie became so much more than a plastic doll — she was a means of communication and a coping mechanism during an extremely distressing time for little families.4．Why did Handler create Barbie?A．To make a hit in the retail market.B．To appeal to girls with her diverse outfits.C．To do a project on women’s career choices.D．To inspire girls to make choices as they wish.5．How might Michelle feel when watching her daughter with Brave Barbie?A．Sad yet comforted.B．Envious yet proud.C．Overwhelmed and ashamed.D．Heartbroken and regretful.6．What does Brave Barbie mean to Michelle’s family?A．A reliable emotional support.B．A glue for broken relationships.C．An effective practical treatment.D．A secret medium of negotiation. 7．Where is the text probably taken from?A．A medical journal.B．A charity brochure.C．A financial report.D．A story collection.That dinosaurs ate the mammals (哺乳动物) that ran beneath their feet is not in doubt. Now an extraordinary fossil newly described in Scientific Reports, unearthed by a team led by Gang Han at Hainan V ocational University of Science and Technology in China, shows that sometimes the tables were turned.The fossil -dated to about 125 million years ago, during the Cretaceous period-was formed when a flow of boiling volcanic mud swallowed two animals seemingly locked in a life-and-death fight. The one on top is a mammal. This animal is a herbivorous species closely related to the Triceratops (三角恐龙). Animal interactions such as this are exceptionally cam e in the fossil record.One possibility is that the mammal was eating something already dead, other than hunting live prey. These days it is uncommon for small mammals to attack much larger animals. But it is not unheard of. And Dr. Han and his colleagues point out that those mammals which eat dead bodies typically leave tooth marks all over the bones of the animals.The dinosaur’s remains show no such marks. There is also a chance the fossil could be a fake. More and more convincing fake s have emerged, as this one did -though Dr. Han and his colleagues argue that the complexly connected nature of the skeletons (骨骼) makes that unlikely, too.Assuming it is genuine, the discovery serves as a reminder that not all dinosaurs were enormous during the Cretaceous and not all mammals were tiny. From nose to tail, the dinosaur is just 1.2 meters long. The mammal is a bit under half a meter in length. Despite being half the size, the mammal has one paw firmly wrapped around one of its prey’s limbs, and another pulling on its jaw. It is biting down on the dinosaur’s chest, and has ripped off two of its ribs. Before they were interrupted, it seems that the mammal was winning. 8．Which idiom is closest in meaning to underlined part “the tables were turned” in paragraph 1?A．The fittest survives.B．The hunters become hunted.C．Fortune always favors the brave.D．The truth will always come to light. 9．Why does the author mention the “tooth mark” in paragraph 3?A．To prove the fossil was fake.B．To show the forming of the fossil.C．To illustrate the process of hunting.D．To suggest the dinosaur was hunted alive.10．What makes Dr. Han think the fossil is genuine?A．The size of the fossil.B．The absence of fake fossils.C．The complexity of the skeletons.D．The consistency of the opinions. 11．What is the function of the last paragraph?A．It offers a cause.B．It highlights a solution.C．It justifies the conclusion.D．It provides a new discovery.Philosophers have a bad reputation for expressing themselves in a dry and boring way. The ideals for most philosophical writing are precision, clarity, and the sort of conceptual analysis that leaves no hair un-split.There is nothing wrong with clarity, precision, and the like — but this isn’t the only way to do philosophy. Outside academic journals, abstract philosophical ideas are often expressed through literature, cinema, and song. There’s nothing that grabs attention like a good story, and there are some great philosophical stories that delight and engage, rather than putting thereader to sleep.One of the great things about this is that, unlike formal philosophy, which tries to be very clear, stories don’t wear their meanings on their sleeve — they require interpretation, and often express conflicting ideas for the reader to wrestle with.Consider what philosophers call the metaphysics (形而上学) of race — an area of philosophy that explorers the question of whether or not race is real. There are three main positions that you can take on these questions. You might think that a person’s race is written in their genes (a position known as “biological realism”). Or you might think of race as socially real, like days of the week or currencies (“social constructionism”). Finally, you might think that races are unreal — that they’re more like leprechauns (一种魔法精灵) than they are like Thursdays or dollars (“anti-realism”).A great example of a story with social constructionist taking on race is George Schuyler’s novel Black No More. In the book, a Black scientist named Crookman invents a procedure that makes Black people visually indistinguishable from Whites. Thousands of African Americans flock to Crookman’s Black No More clinics and pay him their hard-earned cash to undergo the procedure. White racists can no longer distinguish those people who are “really” White from those who merely appear to be White. In a final episode, Crookman discovers that new Whites are actually a whiter shade of pale than those who were born that way, which kicks off a trend of sunbathing to darken one’s skin-darkening it so as to look more While.Philosophically rich stories like this bring more technical works to life. They are stories to think with.12．What does the author think of philosophical stories?A．The meaning behind is very obvious.B．They am extremely precise and formal.C．They often cause conflicts among readers.D．They are engaging and inspire critical thinking.13．Which category might “Christmas” fall into according to paragraph 4?A．Social constructionism.B．Anti-realism.C．Biological realism.D．Literary realism.14．What is Black No More in paragraph 5 mainly about?A．Racial issues caused by skin colors.B．A society view on race and self-image.C．Black people accepted by the white society.D．The origin of sun bathing among white people.15．What is the best title of the text?A．Stories Made Easy B．Stories to Think withC．Positions in Philosophy D．Nature of Philosophical Writing二、七选五In a world that often feels fast-paced and restrained to routines, the desire for van (房车)From the freedom to explore new horizons to fostering a minimalist mindset, here are some captivating advantages of embracing van life.Liberation from MaterialismThe confined space of a van encourages a minimalist lifestyle, where experiences are valued over possessions. 17 With minimal monthly expenses, such as parking fees and fuel costs, van dwellers can allocate resources to experiences rather than high rent or house payments. This mobile living is supported by the degrowth movement, which believes that economies should focus on securing the minimal basic needs instead of consumption and consumerism.Exploration and FlexibilityThe ability to follow adventure wherever it takes you is one of the most amazing aspects of living in a van. You can choose to wake up at dawn over the ocean one day and find yourself in a forested mountainside the next. Living in a van frequently involves being close to the outdoors surrounded by the beauty of nature. 18Minimal Ecological Footprint19 They adopt solar panels and efficient water systems , further minimizing their impact on the environment. People who choose to live in mobile homes believe that eventually, global warming and extreme weather might bring an end to sedentary (定居的) living patterns.Through the open road, the beauty of nature, and the friendship of fellow adventurers, van life presents a unique avenue for enriching the human experience. 20A．It’s thrilling to travel the world.B．Many van lifers tend to go green.C．Living in a van can often be more cost-effective.D．They’ll find a sense of freedom of constant exploration.E．The natural world becomes an essential part of your daily lifeF．Better yet, it offers a way to reconnect with the essence of living.G．The concept of van life offers benefits beyond just a change of scenery.三、完形填空Gang (团伙) tensions were rising at Southwood High School. Some community activists24．A．safe B．hardworking C．healthy D．equal 25．A．practiced B．started C．gathered D．prepared 26．A．check B．maintain C．sacrifice D．arrange 27．A．large B．wild C．entire D．local 28．A．confusion B．anger C．fright D．shock 29．A．tricked B．persuaded C．forced D．scared 30．A．never B．unexpectedly C．further D．dramatically 31．A．happy B．curious C．cautious D．innovative 32．A．yell at B．interact with C．make fun of D．look up to 33．A．change B．post C．replace D．criticize 34．A．debate B．theft C．fight D．instance. 35．A．practical B．extraordinary C．temporary D．preventive四、用单词的适当形式完成短文阅读下面短文，在空白处填入1个适当的单词或括号内单词的正确形式。

山东省潍坊市2024届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，若a b ⊥ ，则实数λ=（）A ．12B ．12-C ．2-D ．22．已知抛物线:C 2x y =上点M 的纵坐标为1，则M 到C 的焦点的距离为（）A ．1B ．54C ．32D ．23．已知集合(){}3log 212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ⋃=，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知等差数列{}n a 的前n 项和为174,1,510n S a S a =-=+，则4S =（）A ．6B ．7C ．8D ．105．12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：I V X L C D M 1510501005001000例如：58LVIII =，464CCCCLXIIII =．依据此记数方法，MMXXXV =（）A ．2025B ．2035C ．2050D ．20556．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为截面11A C B 上的动点，若1DP AC ⊥，则点P 的轨迹长度是（）17．已知数列{}n a 满足10a =，21a =．若数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则2024a =（）A ．2023213+B ．2024213+C ．101221-D ．101121-8．已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，且AB BC ⊥，2BC =，则该棱柱体积的最大值为（）A ．8B ．12C ．16D ．24二、多选题9．某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这6人年龄的极差为14，则（）A ．8a =B ．6人年龄的平均数为35C ．6人年龄的75%分位数为36D ．6人年龄的方差为64310．函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．)3π(2y f x =+是奇函数C ．π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D ．若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,)66t ∈11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，且()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=，则（）A ．()01g =B ．()f x y x=的图象关于点()0,1对称C ．()()20f x f x +-=D ．()212nk n n g k =-=∑（*N n ∈）三、填空题12．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()2i i z +=，则i2z =-．13．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种．（结果用数值表示）14．已知平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x =，2l ：2y x =-，点P 为平面内一动点，过P 作2//DP l 交1l 于D ，作1//EP l 交2l 于E ，得到的平行四边形ODPE 面积为1，记点P 的轨迹为曲线Γ．若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则实数t 的取值范围是．四、解答题15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos a B B c +=．(1)求A ；(2)若c =a =D 为BC 的中点，求AD ．16．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）中，点A ，C 分别是E 的左、上顶点，AC =且E的焦距为(1)求E 的方程和离心率；(2)过点()1,0且斜率不为零的直线交椭圆于R ，S 两点，设直线RS ，CR ，CS 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k +=-，求k 的值．17．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，下底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1122AB A B ==，8BC =，1A A =1DD DC ⊥，M 为BC的中点．(1)求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ；(2)若14D D =，求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值．18．若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(,)ξη是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(,)ξη的一切可能取值为(,)i j a b ，,1,2,i j =⋅⋅⋅，记ij p 表示(,)i j a b 在Ω中出现的概率，其中(,)[()()]ij i j i j p P a b P a b ξηξη====== ．(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量．①写出该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值；②若(,)m n 是①中的值，求(,)P m n ξη==（结果用m ，n 表示）；(2)()i P a ξ=称为二维离散型随机变量(,)ξη关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：1()i ij j P a p ξ+∞===∑．19．已知函数1()2ln f x m x x x=-+（0m >）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：2322221111(1)(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<（*n ∈N ，2n ≥）；(3)若函数221()ln 2g x m x x x=--+有三个不同的零点，求m 的取值范围．参考答案：1．A【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，由a b ⊥，得120a b λ⋅=-+= ，所以12λ=.故选：A 2．B【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.【详解】抛物线:C 2x y =的准线方程为14y =-，又点M 在抛物线上且纵坐标为1，所以点M 到C 的焦点的距离为41154⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故选：B 3．D【分析】首先求出集合A ，依题意可得A B ⊆，即可求出a 的值.【详解】由()3log 212x +=，则2213x +=，解得4x =，所以(){}{}3log 2124A x x =+==，又{}2,B a =，A B B ⋃=，即A B ⊆，所以4a =.故选：D 4．C【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式即可得到45a =，再由等差数列的求和公式即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则()17474772722a a a S a +⨯===，又74510S a =+，则447510a a =+，即45a =，则()()1444415822a a S +-+===.故选：C 5．B【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.【详解】依题意，每个M 表示1000，左起两个M 就表示2000，每个X 表示10，中间3个X 就表示30，最后一个V 表示5，因此MMXXXV 表示的数是20003052035++=所以2035MMXXXV =.故选：B 6．B【分析】连接1,DC BD ，利用线面垂直的判定推理证得1AC 平面1BC D 即可确定点P 的轨迹得解.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，连接1,,DC BD AC ，由1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得1BD AA ⊥，而BD AC ⊥，11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面1AA C ，则BD ⊥平面1AA C ，又1AC ⊂平面1AA C ，于是1BD AC ⊥，同理11BC A C ^，而11,,BC BD B BC BD =⊂ 平面1BC D ，因此1A C ⊥平面1BC D ，因为1DP A C ⊥，则DP ⊂平面1BC D ，而点P 为截面11A C B 上的动点，平面11AC B ⋂平面11BC D BC =，所以点P 的轨迹是线段1BC .故选：B 7．A 【分析】利用等比数列求出112n n n a a -++=，进而求得2112(2)n n n a a n -+--=≥，再利用累加法求通项得解.【详解】依题意，121a a +=，112n n n a a -++=，当2n ≥时，212n n n a a --+=，则2112n n n a a -+--=，所以35202120242426420242022()()()12222a a a a a a a a =+-+-++-=+++++101120232(14)211143-+=+=-.故选：A 8．C【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设(06)AB x x =<<，把棱锥体积用含有x 的代数式表示，再由基本不等式求最值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中AB BC ⊥，所以ABC 为直角三角形，则ABC 外接圆的圆心为斜边AC 的中点，同理111A B C △外接圆的圆心为斜边11A C 的中点，如图，直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，∴外接球的半径3R =，设上下底面的中心分别为1O ，O ，连接1O O ，则外接球的球心G 为1O O 的中点，连接GC ，则3GC =，设(06)AB x x =<<，所以AC =，则OC =，在Rt COG 中，OG =1OO =∴该棱柱的体积12162V x =⨯=≤=．当且仅当2232x x =-，即4x =时等号成立．故选：C ．9．ACD 【分析】根据极差求出a ，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.【详解】因为这6人年龄的极差为14，即()422014a -+=，解得8a =，故A 正确；所以这6人年龄分别为28、30、32、36、36、42，则6人年龄的平均数为()1283032363642346+++++=，故B 错误；又675% 4.5⨯=，所以6人年龄的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C 正确；又6人年龄的方差()()()()()()222222216428343034323436343634423463S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故D 正确.故选：ACD 10．ACD【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(2)6f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<，解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确；π(22sin(22co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ(cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin()cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[(2sin()cos ()626233g x x x x x x x g x -=--=-+=+=，π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,)66t ∈，D 正确.故选：ACD 11．ABD【分析】对于A ，对条件()()2f x f x x --=，求导可得；对于B ，对条件()()2f x f x x --=，两边同时除以x 可得；对于C ，反证法，假设C 正确，求导，结合条件()(2)0g x g x +-=，可得(0)0g =与(0)1g =矛盾，可判断C ；对于D ，求出()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，()()211g g -=-，*N n ∈，得出数列{()}g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．【详解】因为()()2f x f x x --=，所以()()2f x f x '+-='，即()()2g x g x +-=，令0x =，得(0)1g =，故A 正确；因为()()2f x f x x --=，当0x ≠时，()()2f x f x x x-+=-，所以()f x y x=的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C ，假设()(2)0f x f x +-=成立，求导得()(2)0f x f x ''--=，即()(2)0g x g x --=，又()(2)0g x g x +-=，所以()0g x =，所以(0)0g =与(0)1g =矛盾，故C 错误；对于D ，因为()()2g x g x +-=，()(2)0g x g x +-=，所以(2)()2g x g x ---=-，(0)1g =，()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，所以数列{}()g n 的奇数项是以0为首项，2-为公差的等差数列，数列{}()g n 的偶数项是以1-为首项，2-为公差的等差数列，又()()211g g -=-，*N n ∈，所以数列{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，所以()1g n n =-，所以21()2nk n n g k =-=∑，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=的应用，D 选项关键是推出{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列.12．i 5【分析】利用复数除法法则进行计算出答案..【详解】()i 2i i 2iz z +=⇒=+，故()()2i i i i i i i 22245z ===-+--.故答案为：i 513．120【分析】首先考虑甲连续2天的情况，再其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】在6天里，连续2天的情况，一共有5种，则剩下的4人全排列有44A 种排法，故一共有445A 120⨯=种排法．故答案为：120．14．()1,4【分析】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =再联立直线PD 与2y x =的方程，求出点D 的坐标，进而表达出平行四边形ODPE 面积，再结合平行四边形ODPE 面积为1求出点P 的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解．【详解】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =，直线PD 方程为0022y x x y =-++，联立00222y x x y y x =-++⎧⎨=⎩，解得0024D x y x +=，所以OD =所以1ODPE S OD d ===平行四边形，所以22014y x -=±，所以点P 的轨迹Γ为两个双曲线2214y x -=、2214y x -=，因为双曲线2214y x -=的实半轴长为1，双曲线2214y x -=的实半轴长为2，若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则12<，即14t <<，所以实数t 的取值范围是(1,4)．故答案为：()1,4．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点P 的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出t 的取值范围.15．(1)π42【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到sin cos A A =，即可得解；（2）由余弦定理求出b ，再由()12AD AB AC =+，根据数量积的运算律计算可得.【详解】（1）因为()sin cos a B B c +=，由正弦定理得sin (sin cos )sin A B B C +=，在ABC 中，sin sin()C A B =+，则有sin (sin cos )sin()A B B A B +=+，sin sin sin cos sin cos cos sin A B A B A B A B ∴+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=，又()0,πB ∈，sin 0B ∴>，sin cos A A ∴=，tan 1A ∴=，又()0,πA ∈，π4A ∴=；（2）根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，则有2522b b =+-，解得3b =或1b =-（舍去），D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+，()222111722923444AD AB AC AB AC ⎛∴=++⋅=⨯++= ⎝⎭，AD ∴=16．(1)2214x y +=，2e =(2)3【分析】（1）由||AC 的值，可得a ，b 的关系，再由焦距可得c 的值，又可得a ，b 的关系，两式联立，可得a ，b 的值，即求出椭圆的方程；（2）设直线RS 的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线CR ，CS 的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线RS 的斜率的大小．【详解】（1）由题意可得(,0)A a -，(0,)C b ，可得AC ==2c =c =可得2223a b c -==，225a b +=，解得24a =，21b =，所以离心率c e a ==所以椭圆的方程为2214x y +=，离心率2e =；（2）由（1）可得(0,1)C ，（3）（4）由题意设直线RS 的方程为1x my =+()0m ≠，则1k m=，设()11,R x y ，()22,S x y ()120x x ≠，联立22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得22(4)230m y my ++-=，显然0∆>，且12224my y m +=-+，12234y y m =-+，直线CR ，CS 的斜率1111y k x -=，2221y k x -=，则12211212121211(1)(1)(1)(1)(1)(1)y y my y my y k k x x my my --+-++-+=+=++1212212122(1)()2()1my y m y y m y y m y y +-+-=+++22222322(1)2244321144mm m m m m m m m m m --⋅+-⋅-++==---⋅+⋅+++，因为123k k +=-，即231m -=-，解得13m =，所以直线RS 的斜率13k m==．即k 的值为3．17．(1)证明见解析；(2)67.【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出DM ，进而证得DM CD ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.（2）由已知证得1D D ⊥平面ABCD ，再以D 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）在ABCD Y 中，由120ABC ∠=︒，得60DCM ∠=︒，而2,4DC CM ==，在DCM △中，由余弦定理，得DM =则222DM CD CM +=，即DM CD ⊥，又1CD D D ⊥，1DD DM D = ，1,DD DM ⊂平面1D DM ，因此CD ⊥平面1D DM ，而CD ⊂平面11CDD C ，所以平面11CDD C ⊥平面1D DM .（2）在四棱台1111ABCD A B C D -中，由112AB A B =，得1128AD A D ==，有114A D =，在梯形11ADD A 中，18,4AD DD ==，过1A 作11//A E D D 交AD 于点E ，则14,4AE A E ==，又1AA =22211AE A E AA +=，则1A E AD ⊥，即1D D AD ⊥，又1,,,D D CD AD CD D AD CD ⊥=⊂ 平面ABCD ，于是1D D ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以1,,DM DC DD的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，1(0,0,0),(0,2,0),(0,1,4),D C C M，1(2,0),(0,1,4)MC CC =-=- ，设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则12040MC n y CC n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令z =，得(4,n =，而DM =，设DM 与平面11BCC B 所成角大小为θ，因此||4sin |cos ,|67||||DM n DM n DM n θ⋅=〈〉==，所以直线DM 与平面11BCC B18．(1)①(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)；②9!!(3)!2m n m n ⋅--；(2)证明见解析.【分析】（1）①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简即得.（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.【详解】（1）①该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值为：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).②依题意，03m n ≤+≤，(,)(|)()P m n P m n P n ξηξηη=====⋅=，显然3312()C ()(33n n n P n η-==，则3333111(|)C ()(C (222m m n m mn n n P m n ξη-----====，所以3333112(,)C ()C (()233mn n n n n P m n ξη---===⋅331C C 279!!(3)!2n m n m n m n -==⋅--.（2）由定义及全概率公式知，12({([(]})))()()i i j P a P a b b b ξξηηη====== 12{[([(([(})()]))])()]i i i j P a b a b a b ξηξηξη======= 12[([(()()]))]))][((i i i j P a b P a b Pa b ξηξηξη===+==++==+ 11[))](((,)i j i j j j P a b P a b ξηξη+∞+∞========∑∑ 1ij j p +∞==∑.【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B 的概率问题，把事件B 分拆成两个互斥事件AB 与AB 的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.19．(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)(1,)+∞.【分析】（1）求出函数()f x 的导数，按01m <≤与1m >分类讨论求出()f x 的单调区间.（2）利用（1）中1m =时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.（3）变形函数()g x ，将()g x 的零点个数问题转化为()f t 的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解.【详解】（1）函数()f x 定义域为(0,)+∞，求导得2222121()1m x mx f x x x x -+-'=--=，设2()21k x x mx =-+-，则24(1)m ∆=-，①当01m <≤时，0,()0f x ∆'≤≤恒成立，且至多一点处为0，函数()f x 在(0,)+∞上递减；②当1m >时，0,()k x ∆>有两个零点120,0x m x m =->=+>，则当10x x <<或2x x >时，()0k x <，即()0f x '<；当12x x x <<时，()0k x >，即()0f x '>，即函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增，所以当01m <≤时，()f x 的递减区间为(0,)+∞；当1m >时，()f x的递减区间为(0,)m m +∞，递增区间为(m m .（2）由（1）知，当1m =时，(1,)x ∈+∞时，1()2ln (1)0f x x x f x=-+<=，则1ln 22x x x<-，令*211(,2)x n n n =+∈≥N ，于是2222222111111111ln(1)(1()112212(1)4n n n n n n n +<+-=+<<++-111122n n =--+，22221111ln(1)ln(1)ln(1ln(1234n ++++++++ 111111212()(()11111113322332222222n n n <-+-++-=-<-+-+-++ ，所以2322221111(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<.（3）函数222221(1)()ln 2ln (ln )(ln )x g x m x x m x m x m x x x -=--+=-=，由于ln x 与1x -同号，则ln y m x =+1x =，令t =(1)0f =，则()g x 有三个不同的零点等价于函数()f t 有三个不同的零点，由（1）知，当01m <≤时，()f t 在(0,)+∞上单调递减，不合题意；当1m >时，由（1）知，()f x 的两极值点12,x x 满足121=x x ，所以121t t =，得121t t <<，由(1)0f =，则12)((1)(0)f t f f t <=<，由（2）知，当1t >时，1ln 22t t t<-，则<，即ln t <因此2222222211114(42ln(442(2)40)4)424m f m m m m m m m m m m m -=-+<--+=<，由零点存在性定理知，()f t 在区间()22,4t m 上有唯一的一个零点0t ，显然000000001111(()2ln 2ln 0)f t f m t t m t t t t t +=-++-+=，而0()0f t =，则0)(10f t =，于是当1m >时，()f t 存在三个不同的零点001,1,t t ，所以m 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.。

广安市高2021级第一次诊断性考试数学（理科）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}232,450A x xB x x x =-<<=+-≤，则A B = （）A.∅ B.(]3,1- C.[)1,2- D.()3,2-【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{}245051B x x x x x =+-≤=-≤≤，则(]3,1A B =- .故选：B.2.复数1ii 1iz +=+-，则z =（）A.1B.C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算和复数模的定义即可得到答案.【详解】()()()21i 1i 2ii i i 2i 1i 1i 1i 2z ++=+=+=+=--+，则2z ==，故选：C.3.执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2023，则输出的y 值为（）A.116B.18C.14D.12【答案】D 【解析】【分析】根据程序框图的循环结构可知每循环一次x 值减少4，当0x <时，得到2x y =.【详解】第1次循环：20234x =-；第2次循环：()202344202342x =--=-⨯；第3次循环：()2023424202343x =-⨯-=-⨯；由以上可知，第()N n n *∈次循环：()20234N x n n *=-∈；当0x ≥时，一直循环，所以由202340x n =-≥，且N n *∈，解得()505N n n *≤∈；因此，第506次循环：202345061x =-⨯=-，即=1x -，则1122y -==，输出12.故选：D.4.甲、乙两个口袋中均装有1个黑球和2个白球，现分别从甲、乙两口袋中随机取一个球交换放入另一口袋，则甲口袋的三个球中恰有两个白球的概率为（）A.23B.59 C.49D.13【答案】B 【解析】【分析】利用互斥事件以及独立事件概率乘法公式运算求解即可.【详解】由题意可知：若甲口袋的三个球中恰有两个白球，则从甲袋中取出的球为黑球，乙袋中取出的球为黑球，或从甲袋中取出的球为白球，乙袋中取出的球为白球，所以甲口袋的三个球中恰有两个白球的概率为1122533339=⨯+⨯=P .故选：B.5.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，若1592589,a a a b b b ++==，则28281a a b b +=+（）A.2B.C.32D.33【答案】C 【解析】【分析】根据等差、等比数列的性质分析求解.【详解】由题意可得15953258539a a a a b b b b ++==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得553a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以528228526311132+===+++a a a b b b .故选：C.6.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 的中点，F 为CD 边上一点，若2||AF AE AE ⋅=，则AF =（）A.B.C. D.5【答案】D 【解析】【分析】建系，设[]0,4DF a =∈，根据题意结合向量的坐标运算求得3a =，即可得结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设[]0,4DF a =∈，则()()()0,0,4,2,,4A E F a ，可得()(),4,4,2AF a AE ==，因为2||AF AE AE ⋅= ，即4820a +=，解得3a =，即()3,4AF = ，所以22345AF AF ==+= .故选：D.7.“π6ϕ=-”是“函数()sin 2y x ϕ=-的图象关于直线π6x =对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的对称性结合充分、必要条件分析判断.【详解】若π6ϕ=-，则当π6x =，可得πππsin 2sin 1662⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭y ，为最大值，所以函数()sin 2y x ϕ=-的图象关于直线π6x =对称，即充分性成立；若函数()sin 2y x ϕ=-的图象关于直线π6x =对称，则ππ2π,62ϕ⨯-=+∈k k Z ，解得ππ,6ϕ=--∈k k Z ，π6ϕ=-不一定成立，即必要性不成立；综上所述：“π6ϕ=-”是“函数()sin 2y x ϕ=-的图象关于直线π6x =对称”的充分不必要条件.故选：A.8.已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点A 在C 上，若122F A F A =，121230,AF F AF F ∠=︒△的面积为63C 的方程为（）A.22196x y -= B.22136x y -=C.22169x y -= D.22163x y -=【答案】B 【解析】【分析】先根据双曲线的定义求出21,F A F A ，在12AF F △中，利用正弦定理求出21AF F ，再根据三角形的面积公式求出2a ，利用勾股定理可求得2c ，进而可求出答案.【详解】因为122F A F A =，所以12F A F A >，又因为点A 在C 上，所以122F A F A a -=，即2222F A F A a -=，所以212,4F A a F A a ==，在12AF F △中，由正弦定理得211221AF AF =∠∠，所以1212sin 30sin 1AF AF F AF ︒∠==，又210180AF F ︒<∠<︒，所以2190AF F ∠=︒，故1260F AF ∠=︒，则122121sin 602AF F S AF AF =︒== 23a =，则()2222222121221641236F F c AF AF a a a ==-=-==，所以29c =，所以2226b c a =-=，所以C 的方程为22136x y -=.故选：B.9.甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有,,,,A B C D E 五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（）A.420B.460C.480D.520【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用两个原理结合排列、组合应用列式计算即得.【详解】求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有2345C A 种方法，4个学校所选研学基地都不相同有45A 种方法，所以不相同的选择种数有234455C A A 660120480+=⨯+=（种）.故选：C10.若点P 是函数()sin cos xf x x x=+图象上任意一点，直线l 为点P 处的切线，则直线l 倾斜角的取值范围是（）A.π[0,3B.ππ[,)32C.π2π(,]23D.2π[,π)3【答案】C 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率的范围即可得解.【详解】函数23cos ()sin cos xf x x x=+中，sin cos 0x x +≠，即sin 21x >-，设点00(,)P x y ，求导得2sin (sin cos )cos (cos sin )]()(sin cos )x x x x x x f x x x -+--'=+22sin )12sin cos 1sin 2x x x x x+=-=-++，由1sin 21x -<≤，得01sin 22x <+≤，即111sin 22x ≥+，因此函数()f x 的图象在点P 处的切线l 斜率()00231sin 2f x x =-≤+'l 的倾斜角为钝角，所以直线l 的倾斜角的取值范围是π2π(,23.故选：C11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1AB 上的动点（含端点），点Q 是线段AC 的中点，设PQ 与平面1ACD 所成角为θ，则cos θ的最小值是（）A.13B.3C.3D.3【答案】A 【解析】【分析】以点D 为原点建立空间直角坐标系，设[]1,0,1AP AB λλ=∈，利用向量法求解即可.【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设[]1,0,1AP AB λλ=∈，不妨设2AB =，则()()()()()112,0,0,0,2,0,1,1,0,0,0,2,2,2,2A C Q D B ，故()()12,2,0,2,0,2AC AD =-=-，()()()11,1,00,2,21,12,2PQ AQ AP AQ AB λλλλ=-=-=--=---，设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，则1220220n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，可取()1,1,1n = ，则sin cos ,PQ n PQ n PQ n θ⋅===所以cosθ===当0λ=时，cos1θ=，当(]0,1λ∈时，cosθ==当11λ=，即1λ=时，()min1cos3θ=，综上所述，cosθ的最小值是13.故选：A.12.已知O为坐标原点，12,F F是椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点，,A B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且2PF x⊥轴，直线AP与y轴交于点M，直线BM与2PF交于点Q，直线1FQ与y 轴交于点N．若14ON OM=，则C的离心率为（）A.13 B.12C.23D.34【答案】B【解析】【分析】根据2//OM PF，分别在2PAF△，OBM和12QF F中，利用相似比求出,OM ON，再根据14ON OM=即可得解.【详解】不妨令点P在第一象限，设()()11,0P c y y>，因为2//OM PF，在2PAF△中，则22OM OAPF AF=，即1My ay a c=+，所以1May ya c=+，在OBM中，则22QF BFOM OB=，即Q My a c y a -=，所以11Q M a c a c a a cy y y y a a a c a c---==⋅=++，在12QF F 中，则121212ON OF QF F F ==，所以12N Q y y =，所以()1122N Qa cy y y a c -==+，因为14ON OM =，所以()11124a c ay y a c a c -=⋅++，所以12c a =，即C 的离心率为12.故选：B.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足4202y xy y x ≤-⎧⎪+≥⎨⎪≤+⎩，则23x y +的最大值为________．【答案】11【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得到答案.【详解】由约束条件4202y x y y x ≤-⎧⎪+≥⎨⎪≤+⎩，画出可行域，如图：令23z x y =+，化为斜截式方程得233zy x =-+，由图可知，当直线233zy x =-+过点B 时，直线在y 轴上的截距最大.由42y x y x =-⎧⎨=+⎩得13x y =⎧⎨=⎩，即()1,3B .所以点()1,3B 代入目标函数可得最大值，即最大值为213311z =⨯+⨯=.故答案为：11.14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数：________．①偶函数；②最大值为2；③最小正周期是π．【答案】()2cos 2f x x =（答案不唯一）【解析】【分析】根据的奇偶性、最值以及周期性分析判断.【详解】例如()2cos 2f x x =，可知其定义域为R ，则()()()2cos 22cos 2f x x x f x -=-==，即()f x 为偶函数；显然()f x 的最大值为2；且()f x 的最小正周期为2ππ2T ==；所以()2cos 2f x x =符合题意.故答案为：()2cos 2f x x =（答案不唯一）.15.在正四棱台1111ABCD A B C D -内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的内切球），若112,4A B AB ==，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为________．【答案】654【解析】【分析】利用正棱台的性质，分别求出内切球与外接球的半径即可得解.【详解】根据题意，该正棱台的轴截面，如图：由题意，由112,4A B AB ==知1,2HM KF ==，由圆的切线长性质可知1,2MQ HM FQ KF ====，所以3MF =，所以HK ===所以该四棱台的内切球的半径为21r HK =，下面画出正四棱台1111ABCD A B C D -，连接11A C ,11B D ，交于点1O ,连接AC,BD ，交于点2O ，如图，由112,4A B AB==可得11AO=12O O HK==，2AO =设外接球的半径为R ，(10OO t t =<<，则2OO t =，由22211122222R A O OO R AO OO ⎧=+⎨=++⎩(()222t t +=+，解得t =，于是224965288R t =+=+=，则R =.所以654R r ==.故答案为：4.16.若点P 为ABC 的重心，35sin 21sin 15sin 0A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅= ，则cos BAC ∠=________．【答案】1314【解析】【分析】由点P 为ABC 的重心，可得0PB PC PA ++= ，再结合题意可得35sin 21sin 15sin A B C ==，再利用余弦定理即可得解.【详解】设点D 为BC 边上的中点，因为点P 为ABC 的重心，所以2AP PD =，则2PB PC PD PA +==- ，所以0PB PC PA ++= ，所以PA PB PC =-- ，因为35sin 21sin 15sin 0A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅=，所以()35sin 21sin 15sin 0A PB PC B PB C PC ⋅--+⋅+⋅= ，即()()21sin 35sin 35sin 15sin B A PB A C PC -=- ，因为,PB PC 不共线且0,0PB PC ≠≠ ，所以21sin 35sin 0,35sin 15sin 0B A A C -=-=，所以35sin 21sin 15sin A B C ==，由正弦定理可得352115a b c ==，不妨设3,5,7a b c ===，则2222549913cos 225714b c a BAC bc +-+-∠===⨯⨯.故答案为：1314.【点睛】关键点点睛：根据重心的性质结合已知得出35sin 21sin 15sin A B C ==，是解决本题的关键.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：良优合计甲生产线4080120乙生产线80100180合计120180300（1）通过计算判断，是否有90%的把握认为产品质量与生产线有关系？（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．若在这6件产品中随机抽取3件，求这3件产品中产自于甲生产线的件数X 的分布列和数学期望．附表及公式：()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635其中()()()()22(),n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．【答案】17.有90%的把握认为产品质量与生产线有关系18.X 的分布列见解析，数学期望为1【解析】【分析】（1）根据22⨯列联表,求得2K ,即可判断；（2）用分层抽样的方法抽取6件产品，从甲、乙生产线分别抽取2,4件，结合超几何分布求分布列和期望.【小问1详解】()()()()()222300*********() 3.704 2.706120180180120n ad bc K a b c d a c b d ⨯⨯-⨯-==≈>++++⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为产品质量与生产线有关系.【小问2详解】在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取6件产品，则应在甲生产线抽取4062120⨯=件产品，在乙生产线抽取8064120⨯=件产品，由题意可知：0,1,2X =，则：()()()031221242424333666C C C C C C 41123410,1,2C 205C 205C 205P X P X P X ============，可得X 的分布列为X012P 153515所以X 的数学期望()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.18.已知数列{}n a 与正项等比数列{}n b 满足()*2log n n a b n =∈N，且________．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．从①3616,128b b ==；②15134,0b b b b =-=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）()1*,12++==∈n n n n b a n N （2）22n n S n +=⋅【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为0q >，对于①②：根据等比数列的通项公式运算求解；（2）由（1）可得：()()12112212+++=+⋅=⋅--⋅n n n n c n n n ，利用裂项相消法运算求解.【小问1详解】设等比数列的公比为0q >，若选①：因为3616,128b b ==，则251116,128==b b q q ，解得14,2b q ==，所以()11*2422,lo 1g -+=+==∈=⨯n n n n n n b a b n N ；若选②：因为15134,0b b b b =-=，则424440-⨯=q q ，解得2q =，所以()11*2422,lo 1g -+=+==∈=⨯n n n n n n b a b n N .【小问2详解】由（1）可得：()()12112212+++=⋅=+⋅=⋅--⋅n n n n n n c a b n n n ，所以()3243542121202221232222122+++=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+⋅--⋅=⋅n n n n n n n S .19.已知O 为坐标原点，过点()2,0P 的动直线l 与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点．（1）求OA OB ⋅ ；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在不同于点P 的定点Q ，使得AQP BQP ∠=∠恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4-；（2）存在，(2,0)-.【解析】【分析】（1）设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合数量积的坐标表示计算即得.（2）利用（1）中信息，结合斜率坐标公式列式求解即得.【小问1详解】显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为2x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由224x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 并整理得2480y ty --=，显然0∆>，于是128y y =-，所以221212128444y y OA OB x x y y ⋅=+=⋅-=- .【小问2详解】由（1）知12124,8y y t y y +==-，假定存在不同于点P 的定点Q ，使得AQP BQP ∠=∠恒成立，由抛物线对称性知，点Q 在x 轴上，设(,0)Q m ，则直线,QA QB 的斜率互为相反数，即12120y y x m x m+=--，即1221(2)(2)0y ty m y ty m +-++-=，整理得12122(2)()0ty y m y y +-+=，即164(2)0t t m -+-=，亦即4(2)0t m --=，而t 不恒为0，则2m =-，所以存在不同于点P 的定点Q ，使得AQP BQP ∠=∠恒成立，点Q 的坐标为(2,0)-.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，直线1C B ⊥平面ABC ，平面11AA C C ⊥平面11BB C C．（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12AC BC BC ===，在棱11A B 上是否存在一点P ，使二面角1P BC C --的余弦值为31010？若存在，求111B P A B 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，13.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理即得.（2）作1//Cz C B ，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】在三棱柱111ABC A B C -中，由1C B ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ，得11,C B BC C B AC ⊥⊥，在平面11BB C C 内过B 作1BO CC ⊥于O ，由平面11AA C C ⊥平面11BB C C ，平面11AA C C 平面111BB C C CC =，得BO ⊥平面11AA C C ，而AC ⊂平面11AA C C ，则有BO AC ⊥，显然11,,BO C B B BO C B =⊂ 平面11BB C C ，因此AC ⊥平面11BB C C ，又1BB ⊂平面11BB C C ，所以1AC BB ⊥.【小问2详解】过点C 作1//Cz C B ，由11,C B BC C B AC ⊥⊥，得,Cz CA Cz CB ⊥⊥，由（1）知AC ⊥平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ，则CA CB ⊥，即直线,,CA CB Cz 两两垂直，以点C 为原点，直线,,CA CB Cz 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由12AC BC BC ===，得11(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,4,2)A B C B ，(0,2,0),(2,2,0)CB BA ==- ，假定在棱11A B 上存在一点P ，使二面角1P BC C --的余弦值为31010，令111(2,2,0),01B P B A BA λλλλλ===-<< ，则(2,42,2)P λλ-，(2,42,2)CP λλ=- ，设平面PBC 的一个法向量(,,)n x y z = ，则2(42)2020n CP x y z n CB y λλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，得(1,0,)n λ=- ，显然平面1BCC 的一个法向量(1,0,0)m = ，依题意，21310cos ,1011m n λ〈〉=+⨯ ，解得13λ=，即11113B P A B λ==，所以在棱11A B 上存在一点P ，使二面角1P BC C --的余弦值为31010，11113B P A B =.21.已知函数()32sin cos f x ax x x x =+-（其中a 为实数）．（1）若1π,0,22a x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，证明：()0f x ≥；（2）探究()f x 在()π,π-上的极值点个数．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，证明()min 0f x ≥即可；（2）求导()23cos sin f x ax x x x =+'+，()f x 在()π,π-上的极值点个数即为函数()f x '在()π,π-上零点的个数，当0x ≠时，令()0f x '=，分离参数可得2cos sin 3x x x a x+-=，构造函数()()()2cos sin ,π,00,πx x x h x x x +=∈-⋃，利用导数求出函数()h x 的单调区间，画出其大致图象，结合图象即可得出答案.【小问1详解】若12a =-，()312sin cos 2f x x x x x =-+-，则()23cos sin 2f x x x x x =-+'+，令()23cos sin 2g x x x x x =-++，则()()3cos 3cos g x x x x x x =-+=-+'，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1x ∈，所以()()3cos 0g x x x =-+<'，所以函数()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，即函数()23cos sin 2f x x x x x =-+'+在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()()2π43ππ3ππ010,02828g g -⎛⎫=>=-+=< ⎪⎝⎭，故存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g x =，则当()00,x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x <，即()0f x '<，所以函数()f x 在()00,x 上单调递增，在0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()333ππ32π32 3.14200,202161616f f --⎛⎫==-+=>> ⎪⎝⎭，所以()0f x ≥；【小问2详解】()23cos sin f x ax x x x =+'+，()f x 在()π,π-上的极值点个数，即为函数()f x '在()π,π-上零点的个数（零点两边异号），因为()010f '=≠，所以0不是函数()f x '的零点，当0x ≠时，令()23cos sin 0f x ax x x x =+'+=，则2cos sin 3x x x a x +-=，令()()()2cos sin ,π,00,πx x x h x x x +=∈-⋃，因为()()()()()22cos sin cos sin x x x x x x h x h x x x ---+-===-，所以函数()h x 为偶函数，()23cos 2sin 2cos x x x x x h x x--='，令()()2cos 2sin 2cos ,0,πx x x x x x x ϕ=--∈，则()()2sin 0,0,πx x x x ϕ=-<∈'，所以函数()x ϕ在()0,π上单调递减，所以()()()020,0,πx x ϕϕ<=-<∈，即()()23cos 2sin 2cos 0,0,πx x x x x h x x x-'-=<∈，所以函数()h x 在()0,π上单调递减，又()0,πx ∈，当0x →时，()h x ∞→+，()21ππh =-，如图，作出函数()()()2cos sin ,π,00,πx x x h x x x +=∈-⋃的大致图象，由图可知，当213πa -≤-，即213πa ≥时，函数()23cos sin f x ax x x x =+'+无零点，所以函数()f x 在()π,π-上没有极值点，当213πa ->-，即213πa <时，函数()23cos sin f x ax x x x =+'+有2个不同的零点，且零点两边异号，所以函数()f x 在()π,π-上有2个极值点，综上所述，当213πa ≥时，函数()f x 在()π,π-上没有极值点；当213πa <时，函数()f x 在()π,π-上有2个极值点.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，已知曲线22:C x y x y +=+（其中0y >），曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t >），曲线2sin :cos x t C y t αα=-⎧⎨=⎩（t 为参数，π0,02α><<t ）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 的极坐标方程；（2）若曲线C 与12,C C 分别交于,A B 两点，求OAB 面积的最大值．【答案】（1）()cos sin ,0,πρθθθ=+∈（2）1【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的关系分析求解；（2）将曲线12,C C 化为极坐标，结合极坐标的几何意义分析求解.【小问1详解】因为曲线22:C x y x y +=+（其中0y >），且cos ,sin x y ρθρθ==，所以C 的极坐标方程为()2cos sin ,0,πρρθρθθ=+∈，即()cos sin ,0,πρθθθ=+∈.【小问2详解】由题意可知：曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t >）表示过坐标原点，倾斜角为α的直线，所以曲线1C 的极坐标方程为θα=；曲线2sin :cos x t C y t αα=-⎧⎨=⎩（t 为参数，π0,02α><<t ），即2πcos 2:πsin 2x t C y t αα⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，表示过坐标原点，倾斜角为π2α+的直线，所以曲线2C 的极坐标方程为π2θα=+；可得πππcos sin ,cos sin sin cos ,222OA OB AOB αααααα⎛⎫⎛⎫=+=+++=-+∠=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，注意到π02α<<，则sin cos OA OB αα==+，可得OAB 面积()2111sin 2sin cos 1222OAB S OA OB ααα+=⋅=+=≤ ，当且仅当π22α=，即π4α=时，等号成立，所以OAB 面积的最大值为1.[选修4-5：不等式选讲]23.设函数()|22||2|f x x x =-++．（1）解不等式()52f x x ≤-；（2）令()f x 的最小值为T ，正数,a b 满足222a b b T ++=，证明：1a b +≤-．【答案】（1）[5,1]-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）把函数()f x 分段表示出，再分段解不等式即得.（2）求出函数()f x 的最小值T ，再变形并利用基本不等式推理即得.【小问1详解】依题意，函数3,2()2224,213,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=-++=-+-<≤⎨⎪>⎩，当2x ≤-时，()52f x x ≤-化为352x x -≤-，解得5x ≥-，因此52x -≤≤-，当21x -<≤时，()52f x x ≤-化为452x x -+≤-，解得1x ≤，因此21x -<≤，当1x >时，()52f x x ≤-化为352x x ≤-，解得1x ≤，无解，所以不等式()52f x x ≤-的解集为[5,1]-.【小问2详解】由（1）知，当2x ≤-时，()6f x ≥，当21x -<≤时，3()6f x ≤<，当1x >时，()3f x >，因此min ()(1)3T f x f ===，则0,0a b >>，2223a b b ++=，即有22(1)4a b ++=，显然22222(1)(1)2(1)4(1)8a b a b a b a b ++=++++≤+++=，当且仅当1a b =+=因此1a b ++≤1a b +≤-，所以1a b +≤-.23。