第1部分 第1章 1.1 1.1.2 应用创新演练
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一、填空题
1．下列命题中，正确的序号是________．
①1弧度是长度为半径的弧
②大圆中1弧度角比小圆中1弧度的角大
③1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
④圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
⑤长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度
解析：由弧度的概念知，①⑤错误，③正确；角的大小与圆的半径无关，∴②不正确；
∵弧长l＝α·r，∴当α＝1时，l扇＝ r(半径)．
∴④不正确．
答案：③
2．若α＝－4，则α是第________象限角．[来源: ]
解析：∵－4×(180π)°≈－229°∴在第二象限．
答案：二[来源: ]
3．半径为12 cm，弧长为8π cm的弧所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合
为________．
解析：圆心角α＝lr＝8π12＝2π3，
∴与α终边相同的角的集合为{β|β＝2kπ＋2π3，k∈Z}．
答案：{β|β＝2kπ＋2π3，k∈Z}
4．设0≤α<2π，将－1 485°表示成2kπ＋α，k∈Z的形式是________．
解析：∵－1485°＝－5×360°＋315°，[来源: ]
而315°＝7π4，
∴－1485°＝2×(－5)π＋7π4.
答案：2×(－5)π＋
7
4
π
5．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，
集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.
解析：如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．
答案：[－4，－π]∪[0，π]
二、解答题[来源: ][来源: ]
6．设角α＝－570°，β＝3π5.
(1)将α用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；
(2)将β用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它有相同终边的所有角．
解：(1)∵180°＝π rad，
[来源: ]
∴－570°＝－570×π180＝－19π6.[来源:数理化网 ]
∴α＝－19π6＝－2×2π＋5π6.
∴α在第二象限．[来源: ]
(2)∵β＝3π5＝3π5×180°π＝108°，
设θ＝k·360°＋β(k∈Z)．
由－720°≤θ<0°，
∴－720°≤k·360°＋108°<0°.
∴k＝－2或k＝－1.
∴在－720°～0°间与β有相同终边的角是－612°和－252°.[来源: ]
7．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影
部分内的角的集合(不包括边界)．
解：(1)如图(1)所示，以OB为终边的角为330°，
可看作－30°，∵－30°＝－π6，75°＝5π12，[来源: ]
∴{θ|－π6＋2kπ<θ<5π12＋2kπ，k∈Z}．
(1)如图(2)所示，以OB为终边的角为225°，可看作－135°，∵－135°＝－3π4，135°＝3π4，
∴{θ|－3π4＋2kπ<θ<3π4＋2kπ，k∈Z}．
(3)如图(3)所示，∵30°＝π6，210°＝7π6，
∴{θ|π6＋2kπ<θ<π2＋2kπ，k∈Z}∪{θ|7π6＋2kπ<θ<3π2＋2kπ，k∈Z}＝{θ|π6＋2kπ<θ<π2＋2kπ，
k∈Z}∪
{θ|π6＋(2k＋1)π<θ<π2＋(2k＋1)π，k∈Z}
＝{θ|π6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z}．
∴{θ|π6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z}即为所求．
8．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积
最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r，
∴S＝12lr＝12×(40－2r)r＝20r－r2
＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm2，这时θ＝lr＝
40－2×10
10
＝2(rad)．
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