初升高数学衔接课程

初升高中衔接教程

数 学

第 1 页 共 92 页 第1讲 数与式

教学目标 1、理解并掌握乘法公式与因式分解

2、理解并掌握二次根式的运算与化简

3、理解并掌握繁分式的化简

重点、难点 乘法公式与因式分解

二次根式与分式

考点及考试要求 1、理解并掌握乘法公式与因式分解

2、理解并掌握二次根式的运算与化简

3、理解并掌握繁分式的化简

教学内容

知识框架

其它的因式分解方法十字相乘法分组分解法公式法分解因式分式根式乘法公式数与式数与式

知识点一：乘法公式

【内容概述】

【公式1】cabcabcbacba222)(2222

【公式2】3322))((babababa(立方和公式)

【公式3】3322))((babababa(立方差公式)

【公式4】33322()33abababab（请同学证明）

【公式5】33223()33abaababb（请同学证明）

【典型例题—1】：

例1.计算： 22)312(xx 例2.计算：222(42)abaabb

第 2 页 共 92 页 例3.计算(1)2232(964)xyxxyy (2)223(469)xxxy

变式1：利用公式计算

（1） )916141(31212mmm (2) 2222()()abaabbabaabb

变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解

（1） 3327mn （2）331278mn （3）3125x （4） 66mn

【典型例题—2】：

例4.计算：（1）)41101251)(2151(22nmnmnm

例5.已知2310xx，求331xx的值．

例6.已知0cba，求111111()()()abcbccaab的值．

变式1:计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx．

第 3 页 共 92 页 变式2:已知4abc，4abbcac，求222abc的值．

知识点二、根式

【内容概述】

式子(0)aa叫做二次根式，其性质如下：

(1) 2()(0)aaa (2) 2||aa

(3) (0,0)ababab (4) (0,0)bbabaa

【典型例题—1】：基本的化简、求值

例7.化简下列各式：(1)22(32)(31) (2) 22(1)(2) (1)xxx

例8. 计算423

变式1:二次根式2aa成立的条件是( )

A．0a B．0a C．0a D．a是任意实数

变式2:若3x，则296|6|xxx的值是( )

A．－３ B．３ C．－９ D．９

变式3：计算743

【说明】

1、二次根式的化简结果应满足：

①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

2、二次根式的化简常见类型有下列两种：

第 4 页 共 92 页 ①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；

②分母中有根式(如323)，或被开方数有分母(如2x)．这时可将其化为ab形式(如2x可化为2x) ，转化为 “分母中有根式”的情况．

化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如323化为3(23)(23)(23)，其中23与23叫做互为有理化因式)．

【典型例题—2】：有理化因式和分母有理化

有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。如a与a；ybxa与ybxa互为有理化因式。

分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。

例9.计算：（1）2(1)(1)()ababab (2) aaaabaab

例10.设2323,2323xy，求33xy的值

知识点三、分式

【典型例题—1】：分式的化简

例11.化简233396162279xxxxxxxx 例12.化简11xxxxx

【典型例题—2】：分式的证明

第 5 页 共 92 页 例13. （1）试证：111(1)1nnnn（其中n是正整数）；

（2）计算：1111223910；

（3）证明：对任意大于1的正整数n ，有11112334(1)2nn．

【典型例题—3】：分式的运用

例14. 设cea，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．

变式1：对任意的正整数n，1(2)nn______________-

变式2:选择题：若223xyxy，则xy =（ ）

（A）１ （B）54 （C）45 （D）65

变式3:计算1111...12233499100．

知识点四、因式分解

【内容概述】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。

第 6 页 共 92 页 【典型例题—1】：公式法(立方和、立方差公式)

【内容概述】

我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

2233()()abaabbab (立方和公式)

2233()()abaabbab (立方差公式)

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

3322()()ababaabb 3322()()ababaabb

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)。运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。

例15.用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

(1) 38x (2) 30.12527b

变式： 分解因式：(1) 34381abb (2) 76aab

【典型例题—2】：分组分解法

【内容概述】

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．

分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：

（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式

（1）分组后能提取公因式

例16.把2105axaybybx分解因式。 变式：把2222()()abcdabcd分解因式。

（2）分组后能直接运用公式

例17.把22xyaxay分解因式。 变式：把2222428xxyyz分解因式。

【典型例题—3】：十字相乘法

第 7 页 共 92 页 【内容概述】

（1）2()xpqxpq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③

一次项系数是常数项的两个因数之和．

∵2()xpqxpq2()()()()xpxqxpqxxpqxpxpxq，

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

（2）一般二次三项式2axbxc型的因式分解

由2121221121122()()()aaxacacxccaxcaxc，我们发现，二次项系数a分解成12aa，常数项c分解成12cc，把1212,,,aacc写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221acac。

如果它正好等于2axbxc的一次项系数b，那么2axbxc就可以分解成1122()()axcaxc，其中11,ac位于上一行，22,ac位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

（1）2()xpqxpq型的因式分解

例18.把下列各式因式分解：

(1) 276xx (2) 21336xx

例19.把下列各式因式分解：

(1) 2524xx (2) 2215xx

例20.把下列各式因式分解：

(1) 226xxyy (2) 222()8()12xxxx

（2）一般二次三项式2axbxc型的因式分解