《量子力学》基础习题
1．在0K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布洛意波长。 2．氦原子的动能是
kT
E 23
=
（k 为玻耳兹曼常数），求K T 1=时，氦原
子的德布洛意波长。
3．设质量为m 的粒子在谐振子势
2221
)(x m x V ω=
中运动，用量子化条件
求粒子能量E 的可能取值。
4．两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？
5．证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。
6．由下列两定态波函数计算几率流密度；
（1）
ikr
e r
1
1=ψ， （2）
ikr
e r
-=12ψ
7．求粒子在一维无限深势阱
⎩⎨
⎧≥≤∞<<=a x x a
x x V 或0,0,
0)(中运动的能
级和波函数。
8．证明（2.6-14）式中的归一化常数是
a A 1
=
'。
9．求一维线性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。 10．一维运动的粒子处于如下状态：
⎩⎨
⎧=-0)(x
Axe x λψ 00<≥x x 其中0>λ，
(1) (1) 将此波函数归一化，
(2) (2) 问在何处找到粒子的几率最大？ 11．设在球坐标系中，粒子的波函数为),,(ϕθψr ， 求 (1)在球壳)(dr r r +→中找到粒子的几率， (2)在),(ϕθ方向，立体角元Ωd 中找到粒子的几率。 12． 求三维各向同性谐掁子
)(21
2222z y x U ++=
μω的能级和波函数。
13．设1ψ和2ψ都是一维定态薛定谔方程的解，而且它们属于同一能级E ，试证明：
=-1221
ψψψψdx d
dx d constant.
14．上题中，若1ψ和2ψ描述的都是束缚态，试证明1ψ和2ψ只相差一个常数因子。(提示：所谓束缚态，即当∞→x 时有0=ψ) 15．一维线性谐振子处于基态
t
i x e ωαπ
αψ2
21
02
2--=
，求
（1）势能的平均值
>=<
2221
x U μω
（2）动能的平均值>
=<μ22
p T
（3）动量的几率分布函数。
16．氢原子处于基态
1
),,(a r
e a r -
=πϕθψ，求：
（1）r 的平均值；
（2）势能r e 2-
的平均值；
（3）最可几半径； （4）动能的平均值；
（5）动量的几率分布函数。
17．一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是
I L H 22 =
。L 为角动量。求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：
（1）转子绕一固定轴转动； （2）转子绕一固定点转动。 18．一维运动的粒子的状态是
⎩⎨
⎧=-0)(x
Axe x λψ 00<≥x x 其中0>λ，求
（1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子的平均动量。
19．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数)(x a Ax -=ψ描写，A 为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。 20．设氢原子处于状态
),()(23
),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=
Y r R Y r R r
求氢原子的能量，角动量平方及角动量z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
21．求（3.7）题中粒子位置和动量的测不准关系()2x ∆()?2
=∆p
22．已知F
ˆ和G ˆ是二个厄密算符，试证明： (1) (1) G F K
ˆˆˆ+=也是厄密算符 (2) (2) )ˆ
ˆˆˆ(ˆF G G F i M -=也是厄密算符
23．求解算符x dx d i F
+-= ˆ的本征值和本征函数。
24．令y x iL L L +=+ˆˆ和y x iL L L -=-ˆ
ˆ，试证明
(1) []++=L L L z ˆˆ,ˆ ，(2) []z L L L ˆ2ˆ,ˆ =-+
25．求动量表象中角动量x L ˆ的矩阵元和2ˆx L 的矩阵元。
26．求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。 27．求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 28．求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
29．设已知在2ˆL
和z L ˆ
表象中，算符x L ˆ和y L ˆ
和矩阵分别为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*******ˆ x L ，
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛--=000002ˆi i i i L y
求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵x L ˆ和y L ˆ
对角化。 30．求下面四个矩阵元：x x x '，p p x '，x x p '和p p p '。
31．已知某表象的三个基矢为：{}321,,φφφ，有两个算符A
ˆ和B ˆ，它们有如下性质：11ˆφφ=A ，0ˆ2=φA ，33ˆ
φφ-=A ，
31ˆφφ=B ，22ˆφφ=B ，13ˆφφ=A ，
试写出算符
A
ˆ，2ˆA ，B ˆ和2ˆB 的矩阵。 32．实际原子核不是一个点电荷，它具有一定大小，可近似视为半径为R 的均匀分 球体它产生的电势为
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=a r r Ze R r R r R Ze r ,,212322φ
