第六章(二) 常用离散型随机变量的理论分布

(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．
【精彩点拨】利用随机变量的定义判断．
【自主解答】(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
X
0
1
…
m
P
…
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
练习：
1．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ＝________.
【解析】设二级品有k个，∴一级品有2k个，三级品有 个，总数为 个．∴分布列为
ξ
1
2
3
P
P ＝P(ξ＝1)＝ .【答案】
2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.【解析】P(X＝3)＝ ＝ .【答案】
分布列及其性质的应用
设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ (i＝1,2,3,4)，求：(1)P(X＝1或X＝2)；(2)P .
因此随机变量Y的分布列为
Y
0
10
20
50
60
P
1．两点分布的几个特点
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．

T 70 65 60 56
正态分布表的应用
①将原始数据整理为次数 分布表； ②计算各组上限以下累加 次数； ③计算各组中点以下累加 次数； ④计算各组中点以下累积 比率； ⑤查正态分布表，将概率 转化为Z分数； ⑥将正态化以后的Z值进行 线性转换：T=10Z+50
140135130125-
120115110105100959085807570-
122
117 112 107 102 97 92 87 82 77 72
28
16 16 8 9 8 7 6 6 5 5
0.14
-0.17 -0.40 -0.59 -0.73 -0.90 -1.06 -1.25 -1.46 -1.70 -2.12
51
48 46 44 43 41 39 38 35 33 29

分析：包括两种情况：先抽一黑球、后抽一白球；
先抽一白球、后抽一黑球。
3 2 2 3 P 0.48 5 5 5 5
例4
一枚硬币掷3次，或三枚硬币各掷一次，问出现两
次或两次以上H的概率是多少？
解：可能出现的情况有：HHH HHT HTH THH TTH
THT HTT TTT共8种。每种情况出现的概率，为

根据随机变量的取值是否连续，可将随机变量分为
离散型随机变量与连续型随机变量。

当随机变量只取孤立的数值，这种随机变量称为离
散型随机变量。如投掷一枚硬币4次，几次正面朝上？因 取值只能为0、1、2、3、4，故为离散型随机变量。
离散分布与连续分布

离散型随机变量的概率分布称作离散分布。连续分
布是指连续型随机变量的概率分布，即测量数据的概率 分布。心理统计学中最常用的连续型分布是正态分布。

大学文科数学（）第5章 概率论初步第5讲离散型随机变量主讲教师 |引 言生活有很多随机变量地例子,例如:•对某产品进行抽样时不合格品地个数;•某城市3月1日至6月1日期间所查地酒驾数;•首都机场候机室某一天地旅客数量;•对N件产品进行检验时不合格品地个数等.它们有一个同点,即随机变量地取值为有限个或可列个,这样地随机变量称为离散型随机变量．￿本节主要讨论如何描述这类随机变量,并给出常见地类型。

本节内容01 离散型随机变量及其分布02 常用地离散型随机变量Ὅ 定义5.12若随机变量所有可能地取值为有限个或者可列个,则称这样地随机变量为离散型随机变量．下列随机变量哪些是离散型,哪些不是离散型思 考地？（1）某电视闯关节目地过关数;（2）某工厂加工一批钢管地外径与规定地外径尺寸之差;发 现对于（1）与（3）,随机变量地取值均为有限个值,它们是离散型随机变量;对于（2）与（4）,随机变量地取值不是有限个值或者可列个值,而是某个范围,故它们不是离散型随机变量。

（这种类型地随机变量将在下一节介绍）问 题:如何描述离散型随机变量地统计规律呢？（4）长江某水位监测站所测水位在(0,29]地范围内变化,该监测站在一年内所测地水位数据．一般来说,如果知道了离散型随机变量地取值及相应地概率,也就把握了随机变量地统计规律．Ὅ 定义5.13设为离散型随机变量,所有可能地取值为,称为随机变量地概率分布,也称为分布律或分布列．￿￿概率分布也可以用以下形式表示:…………或者记为以下形式:所有可能取值取得相应值地概率分布律￿:￿￿￿离散型随机变量分布地性质由概率地性质可知,任意一个离散型随机变量地概率分布都具有以下两个基本性质.（1）非负性:.（2）正则性:前面已学,可以用分布函数来表示随机变量地统计规律,这里又用分布律来描述离散型随机变量地统计规律,它们即:分布函数是分布律在一定范围内地累积．离散型随机变量落在任何一个范围内地概率,均可以用累积概率地形式表示,即若离散型随机变量地分布律为,则地分布函数为Ὅ 例1解￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿已知盒有10件产品,其8件正品,2件次品.￿现不放回地从抽取产品检验,每次取1件,直到取出2件正品为止.￿设为抽取地次数,求:（1）地分布律;（2）地分布函数;（3）概率￿.￿￿￿（1）容易知道,￿￿地可能取值为￿2,￿3,￿4.234因此,地分布律为P（2）当时,当时,当时,当时,综上所述,地分布函数为（3）注解由本例可知,对于离散型随机变量,虽然也可以运用分布函数描述其统计规律,但是分布律使用起来更为简便。

专项-离散型随机变量及其分布列知识点1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．(2)分布列的性质：① p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；① 11=∑=ni ip3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ①N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．题型一离散型随机变量的理解【例1】下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数XB ．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度XC ．某超市一天中来购物的顾客数XD ．小马登录QQ 找小胡聊天，设X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，小胡在线0，小胡不在线【例2】写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和X ；(2)某汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y 表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数．【例3】袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是( ) A ．ξ＝4 B ．ξ＝5 C ．ξ＝6D ．ξ≤5【例4】袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是 ( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25【过关练习】1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． ①掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数； ②掷一枚质地均匀的骰子，向上一面出现的点数； ③某个人的属相随年龄的变化； ④在标准状态下，水结冰的温度．2.某人射击的命中率为p (0<p <1)，他向一目标射击，若第一次射中目标，则停止射击，射击次数的取值是( ) A ．1,2,3，…，n B ．1,2,3，…，n ，… C ．0,1,2，…，nD ．0,1,2，…，n ，…3.同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________．4.一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．5．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ， (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．题型二 离散型随机变量分布列的求法及性质【例1】某一随机变量ξ的概率分布列如表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )A.－0.2 C ．0.1D ．－0.1【例2】已知离散型随机变量X 的分布列如下：则P (X ＝10)A.239 B.2310 C.139 D.1109 【例3】已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________．【过关练习】1.随机变量ξ的分布列如下：则ξ为奇数的概率为2.若离散型随机变量X 的分布列为：则常数c 的值为( ) A.23或13 B.23 C.13D ．13.由于电脑故障，随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下： 0.50.1根据该表可知题型三 两种特殊分布的应用【例1】某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则P (X ＝3)＝( ) A.421 B.921 C.621 D.521【例2】一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．【过关练习】1.从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下：则x 1，x 2，x 3的值分别为________．2.在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列．课后练习【补救练习】1．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X ，则X 所有可能值的个数是( ) A ．6 B ．7 C ．10D ．252.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．3.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列．【巩固练习】1.设实数x ∈R ，记随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈(0，＋∞)，0，x ＝0，－1，x ∈(－∞，0).则不等式1x≥1的解集所对应的ξ的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．1或02.若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤ξ≤n )等于( ) A ．(1－a )(1－b ) B ．1－a (1－b ) C ．1－(a ＋b )D ．1－b (1－a )3.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)4.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员投中3分的概率是________5.在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场． (1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和； (2)若胜场次数为X ，求X 的分布列．【拔高练习】1.随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝an (n ＋1)，n ＝1,2,3,4，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52的值为( ) A.23 B.34 C.45D.562.小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复设奖)，每个问题回答正确与否相互之间没有影响，用X 表示小王所获奖品的价值，写出X 的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果．。