高二年级数学选修课精英班讲义---函数

函数的最值、零点以及导数的应用 教学重点 利用导数求函数的最值、零点的判断 、证明可以转化为函数的不等式

教学难点 含参函数最值的求解、含参函数零点的位置。

一、函数在ba,上最小值与最大值 观察图中一个定义在闭区间ba,上的函数)(xf的图象．指出函数极小值，极大值，最小值，最大值。 结论：一般地，在闭区间ba,上函数()yfx的

图像是一条连续不断的曲线，那么函数()yfx在ba,上必有最大值与最小值． 思考 1. 在开区间(,)ab内连续的函数)(xf一定有最大值与最小值吗？． 2. 闭区间ba,上极大值一定是最大值，极小值一定是最小值吗？ 3. “最值”与“极值”的区别和联系是什么？ （1）最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． （2）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 （3）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 概念辨析 1．下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能

典型题一求函数在ba,上最小值与最大值 例1．求31443fxxx在0,3的最大值与最小值

求最值的步骤 （1）求()fx的极值 （2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值

x3x

2

x

1b

axO

yA变式1 函数3239yxxx在[-4，4]上的最大值 最小值 在2,2上的最大值为 最小值为 在0,4上的最大值为 最小值为

答 ( 5 ) y 案 co (y s 6 x ) 22 0 0 (0 0 y 7 7 8 ) 1x (y 8 5 x ) l5 n x l2 n
四、课堂练习
1、利用幂函数的求导公式,求下列函数的导数:
(1)y x1.8
(2)y x3
(3)y 1 x
(4)yx34 x
解 (1 )y： 1 .8x1 .8 11 .8x0 .8 (2)y3x313x4
(1)(x)' x1(为常数）
(2)a (x)'axlna 0 (且 a ,a1)
(3 )l(o ax)g '1 xlo aeg x1l(a n0 a ,且 a1)
(4)(ex)' ex (5)(lnx') 1
x
(6)(sinx)' cosx
(7)(cos' x)sinx
一、幂函数求导法则
对幂函y数xa求导公式:为 y axa1 口诀为 :求导幂减一，原幂 数.作乘
二、正、余函数求导法则
(1)(sinx)' cosx (2()cosx' ) sinx
三、对数函数与指数函数的求导法则
1、对数函数的导数
1 (lnx)' 1
x
2 (loaxg )'1 xloag exl1na
2、指数函数的导数
1 (ax)'axln a 2 (ex)'ex
巩固1求下列函数的导数：
求函数的导数的方法是:（三步法）
步骤: (1 )求 增 yf(量 x x )f(x );
(2)算 比 y值 f(x x)f(x);
x
x
(3)当 x 0时 ,则 y f(x); x

答疑解惑
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D当堂检测 ANGTANGJIANCE
变式训练 2 若函数 f(x)=xx2++1a在 x=2 处取得极值,则实数
a=
.
解析
f'(x)=2x
(x +1)-(x 2 (x +1)2
+a
)
=
x(2x++21x)2-a,
由已知得 f'(2)=0,
所以22
+2× 9
2-a
=0,解得
f
-
2 3
=
130 27
.
-17-
3.3.2 函数的极值与导数
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探究一
探究二
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思维辨析
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做一做2 函数f(x)=x3-3x的极大值等于
,极小值等
于
.
解析f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,
解析从图象上可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0, 于是f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,①正确; 当x<-1时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0. 当-1<x<0时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0. 故函数f(x)在x=-1处取得极大值.②正确; 当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-1,1)上是单调递减函 数,③错; 当0<x<1时,xf'(x)<0,于是f'(x)<0,故f(x)在区间(0,1)上是减函数,而 在区间(1,+∞)上是增函数,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,故④正 确. 答案①②④

基本初等函数一、二次函数1、解析式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ 2、求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．3、二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a =-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba -+∞上递增，当2b x a =-时，2min4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2b x a =-时，2max4()4ac b f x a-=． ③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a ∆=-． 二次函数的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--4、韦达定理 设一元二次方程 中两根x ₁、x ，则有如下关系：，5、二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． １）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。