2018初三数学二次函数练习

- 1 - 典型习题

１.抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是 （ D ）

A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3）

２.已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）

Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0 Ｄ．ab＜0，c＜0

第２,３题图 第4题图

３.二次函数cbxaxy＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ）

A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0

C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0

４.如图，已知ABC中，BC=8，BC上的高h4，D为BC上一点，EFBC//，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为，则DEF的面积关于的函数的图象大致为（ Ｄ ）

DO424O424O424O424AyxBC

2482,484EFxEFxyxx

５.抛物线322xxy与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 4 ．

6.已知二次函数11)(2k2－－＋＝xkxy与x轴交点的横坐标为1x、2x（21xx＜），则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当2xx＞时，y＞0；③方程011)(22＝－＋xkkx有两个不相等的实数根1x、2x；④11＜x，12＞－x；⑤22114kxxk＋－＝，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．

7.已知直线02bbxy与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为cxbxy102.

（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线bxy2上，试确定这条抛物线的解析式；

- 2 - 第9题 （2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线bxy2的解析式.

解：（1）102xy或642xxy

将0)b（，代入，得cb.顶点坐标为21016100(,)24bbb，由题意得21016100224bbbb，解得1210,6bb.

（2）22xy

8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为2,0,1时, 相应的输出值分别为5,3,4．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.

解：（1）设所求二次函数的解析式为cbxaxy2,

则43005)2()2(22cbacbacba,即1423babac ,解得321cba

故所求的解析式为:322xxy.

（2)函数图象如图所示.

由图象可得，当输出值y为正数时，

输入值x的取值范围是1x或3x．

9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?

⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?

⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到

22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解

析式．

解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的

体温是上升的

- 3 - 它的体温从最低上升到最高需要12小时

⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃

⑶22102421612xxxy

10.已知抛物线4)334(2xaaxy与x轴交于A、

B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得

△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不

存在，请说明理由．

解：依题意，得点C的坐标为（0，4）．

设点A、B的坐标分别为（1x，0），（2x，0），

由04)334(2xaax，解得 31x，ax342．

∴ 点A、B的坐标分别为（-3，0），（a34，0）．

∴ |334|aAB，522OCAOAC，

22OCBOBC224|34|a．

∴ 9891693432916|334|2222aaaaaAB，

252AC，1691622aBC．

〈ⅰ〉当222BCACAB时，∠ACB＝90°．

由222BCACAB，

得)16916(259891622aaa．

解得 41a．

∴ 当41a时，点B的坐标为（316，0），96252AB，252AC，94002BC．

于是222BCACAB．

∴ 当41a时，△ABC为直角三角形．

〈ⅱ〉当222BCABAC时，∠ABC＝90°．

由222BCABAC，得)16916()98916(2522aaa．

- 4 - 解得 94a．

当94a时，3943434a，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．

〈ⅲ〉当222ABACBC时，∠BAC＝90°．

由222ABACBC，得)98916(251691622aaa．

解得 94a．不合题意．

综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41a时，△ABC为直角三角形．

11.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.

（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，试求m的值；

（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值.

解: (1)Ａ（x1，0）,B(x2，0) . 则x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的两根.

∵x1 ＋ x2 ＝m , x1·x2 =m－2 ＜0 即m＜2 ;

又AB＝∣x1 — x2∣＝121245xxxx2（+） ,

∴m2－4m＋3=0 .

解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m的值为1 .

（2）M(a，b)，则N(－a，－b) .

∵M、N是抛物线上的两点,

∴222,2.amambamamb①②

①＋②得：－2a2－2m＋4＝0 . ∴a2＝－m＋2 .

∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N.

∴2am .

这时M、N到y轴的距离均为2m,

又点C坐标为（0，2－m）,而S△M N C = 27 ,

∴2×12×（2－m）×2m=27 .

∴解得m=－7 .

12.已知：抛物线taxaxy＋＋＝42与x轴的一个交点为A（－1，0）． N M C

x y

O - 5 - （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解法一：

（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．

∵ 抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），

∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．

（2）∵ 抛物线taxaxy＋＋＝42与x轴的一个交点为A（－1， 0），

∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－taa．∴ t＝3a．∴ aaxaxy342＋＋＝．

∴ D（0，3a）．∴ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线aaxaxy342＋＋＝ 上，

∵ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．

∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ 9)(21＝ODCDAB．∴ 93)42(21＝＋a．

∴ a±1．

∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝xxy或342axxy＝．

（3）设点E坐标为（0x，0y）.依题意，00＜x，00＜y，

且2500＝xy．∴ 0025xy＝－．

①设点E在抛物线342＋＋＝xxy上，

∴340200＋＋＝xxy．

解方程组34,25020000＋＋＝＝－xxyxy 得；＝，＝15600yx．＝，＝452100yx

∵ 点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴ 点E坐标为（21，45）．

设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小．

- 6 - ∵ AE长为定值，∴ 要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小．

∴ 点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0），

∴ 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．

设过点E、B的直线的解析式为nmxy＋＝，

∴

.03,4521＝＋－＝＋nmnm 解得.23,21＝＝nm

∴ 直线BE的解析式为2321＋＝xy．∴ 把x＝－2代入上式，得21＝y．

∴ 点P坐标为（－2，21）．

②设点E在抛物线342xxy＝上，∴ 340200xxy＝．

解方程组.34,25020000xxyxy＝＝－ 消去0y，得03x23x020＝＋．

∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．

综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2，21），使△APE的周长最小．

解法二：

（1）∵ 抛物线taxaxy＋＋＝42与x轴的一个交点为A（－1，0），

∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－taa．∴ t＝3a．∴ aaxaxy342＋＋＝．

令 y＝0，即0342＝＋＋aaxax．解得 11＝－x，32＝－x．

∴ 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．

（2）由aaxaxy342＋＋＝，得D（0，3a）．

∵ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线

aaxaxy342＋＋＝上，

∴ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．

∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ 9)(21＝＋ODCDAB．解得OD＝3．

∴ 33＝a．∴ a±1．