南开大学微观经济学(内部资料倾情回赠)

第二章 需求分析

本章开始谈价格怎么配置资源的，即怎么影响消费选择。

价格配置资源UMP(支出à商品需求 )EMP(效用à商品需求 )需求函数希克斯需求函数间接效用函数支出函数Slutsky方程

一、需求函数

（一）瓦尔拉斯需求函数

商品需求定义：预算集中的效用最大化的解X* ，反映*x与P与W的关系称为需求函数，表示成nwRpx),(。

例子：

设效用函数为：12121)(),(xxxxu，10，求需求函数2,1),,,(21iwppfxi。 建立L函数：

)()(),,(221112121xpxpwxxxxL

一阶条件为：

0)(111111211pxxxxL

0)(121211212pxxxxL

02211xpxpwL

21121)(ppxx，直接推导112121122111)(ppxxxppx 代入2211xpxpw，得到：

121111111211211112112121)()(ppwpppppwpppxx；12111122ppwpx

令1r，则有：

rrrppwpx21111，rrrppwpx21122

需求函数的三个性质

（1）在价格和收入上，需求函数是零次齐次的：即对于任给p，w和满足0a,有),(),(wpxawapx

经济含义是：如果价格和收入以同一比例变化，则消费者的需求数量保持不变。

（2）瓦尔拉斯法则：任给),(wpxx有wxp

经济含义：消费者会在有生之年用光他的全部资源（财富）。

（3）凸性和唯一性。

如果)(u是拟凹的，则),(wpx是一个凸集。

思考如何证明。 若)(u是严格拟凹的，则),(wpx只包含单一的元素。

（二）间接效用函数

定义：)],([),(*wpxuwpv，即需求函数代入原效用函数。

例子：2121ln)1(ln),(xxxxu；s.t. wxpxp2211

构造拉格朗日函数：

221121ln1lnxpxpwxxL

一阶条件：

01111pxxL (1)；011222pxxL (2) 02211xpxpwL (3)

2112121ppxx

12211ppxx (4) 或21121ppxx （5）

将（5）代入（3）

wxpxpwppxpxp111121121111

111111111pwxwxpwxp

将（4）代入（3） wxpxpwxpppxp222222122111

22222211111pwxwxpwxp

∴

11pwx，221pwx

然后求解间接效用函数：

将需求函数代入目标函数：2121ln)1(ln),(xxxxu

21211ln)1(ln),,(pwpwwppv

21lnln1ln)1(lnlnlnpwpw 21ln1ln11ln1lnlnlnpwpw1ln1lnln1lnln21ppw

∴cppwwppv2121ln)1(lnln),,( （仍然用P，W表示）

其中：)1ln()1(lnc。

间接效用函数的意义：

控制消费者的消费行为实际上可以由控制价格p与控制收入w来实现。

收入政策收入价格政策价格消费者效用最大化间接效用函数)(),(wpv

间接效用函数的性质：

（1）零齐次的，价格和财富同比例变动不影响效用； （2）在w上是严格递增的，并且对于任意n，它在np上都是非递增的，即价格上升降低效用，财富上升增加效用；

证明：可以使用包络定理

包络定理：最优点对a的偏导数等于目标函数对a的偏导数

wxLwwpv),(),(；xpxLpwpv),(),(

注意：pxx)(u

（3）拟凸的，就是说对于任意v,集合｛vwpvwp),(:),(｝是凸集； B1B0B2 （4）在p和w上是连续的。

（三）罗伊等式

反映了瓦尔拉斯需求函数与间接效用函数的关系：

wwpvpwpvwpxjj),(/),(),(， nj,,2,1。

实际上就是两个决定要素（P，W）的边际效用之比。

利用包络定理证明：

)()(),(xpwxuxL

),(***),(),(wpxxwxLwwpv xpxLpwpvwpxx*),(**),(),(

两式相除即得罗伊等式。

例子：cppwwppv2121ln)1(lnln),,(

11ppv，221ppv，wwv1

11111xpwwpwvpv

2222)1(1)1(xpwwpwvpv 习题：试根据间接效用函数2121),,(ppwwppv，求相应的需求函数。

一个间接效用函数在税收中应用例子。

设一个消费者的效用函数为：2121),(xxxxu，

)(221121xpxpwxxL

一阶条件：02112122111pxxxL；02122122112pxxxL

02211xpxpwL 21122121212112ppxxppxxxx；112pwx；222pwx。

若假定25.01p，12p，2w

21)25.0(222)2()2(),,(2121221121221121ppwpwpwwppv

考虑两种不同的征税方案：

（1）政府征0.5元的所得税（降低收入），

5.15.02w， 5.11)25.0(25.1),,(2121wppv

（2）政府仍征0.5元的税，但对商品1开征消费税（提高商品价格）。

若每单位商品1征税为0.25元， 则5.025.025.01p；25.022211pwx

5.141.11)5.0(22),,(5.021wppv

这个例子为我们展示了一个政策分析框架：

根据政策目标给出最优化问题（目标函数、约束条件、控制变量）政策控制变量目标函数比较分析 二、支出函数与对偶性原理

（一）支出最小化问题与支出函数

消费者为达到一个效用水平u，如何选择商品x，使之需要的财富支出最小。即有效率的利用消费者的购买力。

所谓支出最小化问题（expenditure minimization problem，EMP）即：

xpmin uxuts)(..

解得：jijixxuxxupp/*)(/*)(

1．定义：支出函数),(upe为支出最小化问题的解，即在价格给定条件下消费者为达到效用而支付的最小支出。

2.支出函数的一个例子。

)(min2211xpxp uxxtsaa121..,10a,

)(1212211aaxxuxpxpL

一阶条件为：

0121111aaxaxpxL （1）；

0)1(2122aaxxapxL （2）；

0121aaxxuL （3） 2121211211)2()1(xppaaxppaaxx或12121xppaax

分别代入uxxaa121得：

uappaxa121*1])1([，uappaxa])1([21*2

带入目标函数)(min2211xpxp得：

uappapuappapupeaa])1([])1([),(2121211uppAaa121

其中1)1(1aaaaA。

2．支出函数的性质： （1）对p是一次齐次的；

（2）对p是非递减的；

（3）是关于p的凹函数；

（4）当p>0时，为连续函数。

证明：（1）最小化xap)(将导出与最小化px相同的最优消费束*x，即：),(),(*upaexapuape

（2）根据包络定理，0),(*xpLpupe，故支出函数对p是非递减的；

（3）102)1(ppp，设x2为价格p2时达到效用u的一个最优消费束。 21022])1([*),(xppxpupe=2120)1(xpxp

),()1(),(10upeupe

（4）连续性证明。

（二）希克斯需求函数（Hicks demand function）

1．定义：EMP中的解为最优消费束*x，表示为nRuph),(，并且存在谢伯特（Shephard）定理：

iiipupeuphx),(),(*

证明： )]([),(xuuxpxL 在xpmin处有)]([),(****xuuxpxL。

利用包络定理可得：

),(),(),(***uphxpxLpupeiiii

2．希克斯需求函数的性质

（1）),(uphi是p的零次齐次函数；

（2）),(uphi是p的单调递减函数；

（3）如果),(uphi可微，则有：ijjipuphpuph),(),(，kji,,1,