八年级数学上册期末复习讲义
三角形：1.今年暑假，学校安排全校师生的假期社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导教师，为了加强同学间的联系，学校要求该班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校七（1）班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？为了解决这一问题，小明把该班师生人数n 与每周至少通话次数s 之间的关系用下列模型表示，如图.请你根据小明设计的模型，求出该班每周师生间至少共要通的电话次数.
2.一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A.10
B.11
C.12
D.以上都有可能
全等三角形：利用三角形全等证明角相等和线段相等.
三角形全等的基本思路：（题目中找，图形中看）
SAS HL
SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角1.已知两边找直角找另一边()ASA AAS ⎧→⎪⎨⎪→⎩
找两角的夹边3.已知两角找一边非公共边2.1AAS
ASA 2AAS
SAS →→→⎧⎪→⎨⎪→⎩
已知一边一角，
（）边为角的对边任找一角找这条边上的另一角（）边为角的一条边找这条边的对角找该角的另一边
1.如图，已知D 为△ABC 边BC 的中点，DE ⊥DF ，则BE +CF 与EF 有何大小关系？
2．如图所示，已知∠1=∠2,P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD,求证：∠BAP+∠BCP=180°.
注：（1）角平分线辅助线的作法技巧：遇到证明有关角平分线时，可引角两边的垂线，证明垂线段相等.
（2）有线段的和差关系，常用截长补短法作辅助线，化和差关系为相等关系. （3）运用角平分线的判定时，若无垂线段需添加辅助线.
（4）角平分线的性质是证明线段相等的常见方法，也是证明两个三角形全等的条件的方法.
3．如图，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.
4.如图，已知∠MON=40°,P为∠MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，
当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为 .
注：1.题目中出现角平分线，可以构造轴对称图形.
2. 遇到垂直平分线，通常考虑连接线段垂直平分线上的点和线段的端点.
1.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角度数为 .
2.如图，在△ABC 中，AB =AC ,D 为BC 上一点，BF =CD ,CE =BD ,那么∠EDF =( ).
A. 90°-12
∠A B. 90°-∠A C. 180°-∠A D. 45°-∠A 3. 已知：∠ABC =3∠C ，∠1=∠2，且BD ⊥AD .求证：AC －AB =2BD ．
注：等腰三角形的分类讨论：
（1）在等腰三角形中求边或周长：在等腰三角形中，若给出的边没有明确是腰或底边，则要进行分类讨论，且需要验证三边能否围成三角形.
(2) 在等腰三角形中求角：在等腰三角形中，若给出的角没有明确是底角或顶角，则必须分情况讨论.
2.等腰三角形“三线合一”的应用.
(1)当题目中出现等腰三角形和“三线”之一时，可以直接得到其余两线的性质.应用“三线合一基本图形”是一个重要的解题策略，可以证明线段相等的问题、角相等的问题、线段垂直等问题.
4.如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A ，C 不重合），Q 是CB 延长线上一动点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D .
A B D C 1 2
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长.
（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由.
5.如图，已知等边△ABC的边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．求证：△AMN的周长等于2．
注：1.做辅助线的口诀：
图中角有平分线，可向两边作垂线，有时也可以去翻折，对称以后关系现.
线段垂直平分线，常与两端把线连. 角平分线平行线，等腰三角形来添.
角平分线加垂线，“三线合一”试一试. 要证线段倍与半，延长缩短可试验.
2.含30°角的直角三角形性质的妙用：
（1）求线段的长度；（2）证明线段的倍分关系.
整式乘除
1.已知2x+x-1=0，那么4x+23x-2x-2x+2014的值为（）
A．2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014
2.已知（x+p ）（x+q ）=x 2+mx+16，p ，q ，m 均为整数，求m 的值．
观察下列算式：
①1×3﹣22=3﹣4=-1；②2×4﹣32=8﹣9=﹣1；③3×5﹣42=15﹣16=﹣1； ④ ；……
（1） 请你按以上规律写出第4个算式；
（2） 把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3） 你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由.
注：1.在运用幂的运算性质时，注意公式的逆用.
（1）a m ·a n = m n a ； （2）（a m ）n =mn a ；（3）（ab ）n =n n a b .
2.多项式乘多项式，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
3.化简求值问题：一般先化简，再代入求值。注意利用整体思想求代数式的值.
1.阅读下列解法：
计算：（2+1）（22+1）（42+1）（82+1）…（10242+1）
解：原式 =（2-1）（2+1）（22+1）（42+1）（82+1）…（10242+1）
=（22-1）（22+1）（42+1）（82+1）…（10242+1）
=…=(10242-1)( 10242+1)
= 20482-1.
