数学教育的三个阶段及四个层次三个转变
阳凌云1，吕国一2
（1 株洲师范高等专科学校数学与计算机科学系，湖南株洲412007
2 株洲市第二中学数学组，湖南株洲412007）
摘要：数学教育既具有明显的阶段性又具有连续性，是一个层次分明，循序渐进的过程。为使每个受教育者都能获得他们所需要的数学知识与数学能力，教育者必须对各个阶段和不同层次的教育对象做一个全面的分析和研究，以便做好大、中、小学的数学素质教育的衔接工作。
关键词：阶段；层次；转变
任何事物的发展都具有规律性与连续性。数学教育的连续性显得尤为突出。一方面，人有一种与生俱来的天赋和智慧，但这种智慧的消亡或发展与后天的教育有很大的关系；另一方面，知识与能力相互依存、相互促进，就象物质与意识的关系一样。物质决定意识，意识又反作用于物质，知识的获得促进了能力的发展，能力的增强又可以更多地获取知识。
因此，当我们把小学、中学、大学数学及其教育作为一个整体来考虑时，我们从数学知识性领域与发展性领域来分析数学教育阶段性与层次性，是十分必要的。
一、数学教育的三个阶段
众所周知，外因是变化的条件，内因是变化的根据，外因要通过内因而起作用。但作为数学这门特殊的教育来说，学生们不同的学习阶段，“教与学”在各阶段内外因作用权重略有不同。
就象人的语言能力一样，人人都有一种与生俱来的学习数学的能力，但是如果没有后天的教育和培养，这种能力会逐步的退化和消亡。所以小学的数学教育就象在一张白纸上写字和绘画，这幅字画的好坏与教师的教育和指导有很大的关系。数学教师在数学课堂教学与数学课外活动指导中，教师的外因强化训练起着决定性的作用。通过小学6年的基本训练，学生学习数学的内因开始
调动起来，因此进入初中阶段，学生的学习数学情感被激发以后，相对来讲外因的作用虽比小学阶段小一些，但少年时
的学生自主意识仍然十分弱，也就是说在这个阶段的教育中，外因所起的作用仍然非常大。从义务教育阶段的知识性领域来分析，在这个阶段为了全面反映数学的基本领域，使学生切实体会数学与人类社会和自然界的密切联系，通过数学教育主要使学生认识和掌握数与式、测量、空间与图形、数据处理等。在这个阶段，学生获取数学知识主要依靠外界的诱导与灌输。主要是在教师的指导下培养学生对现实世界的认识与认知，对数、式的敏感性和基本图形及测量与数据处理的认知能力，在这个阶段教育者对教育对象免不了有一定的重复练习和强化训练。
所以我们把义务教育阶段（小学与初中）的数学教育叫做外因强化阶段的教育。
由于义务教育阶段的数学教育已经使学生对现实世界有一个初步的认知，并具有较好的“数（式）感”了。同时，进入高中以后，随着年龄增长，阅历增加，学生们进入了风华正茂的青年时期，其自主能力逐步增强了，学习数学的潜能已被激发，内因作用已被调动出来。因此在高中阶段，学生的内因作用将越来越大，相对来讲外因的作用将比义务教育阶段要小一些。此时内、外作用几乎并驾齐驱。另外，从高中阶段的知识性领域来分析，在这个阶段通过数学教育，主要是使学生对数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和数学方法的掌握与运用。尤其是新课程改革的基本目标是实现不同的人学习不同的数学，在不同的水平获取过程中，办学模式各有侧重，并对学生提供选择课程的机会。于是学生获取数学知识的自主能力，创新意识，独立活动能力将会增强。同时，由于这个阶段是在教师的启发引导下以培养基础和能力及数学素养的关键阶段，是一个内、外因都非常重要的阶段。
所以我们把高中阶段的数学教育叫做内、外因并重阶段的教育。
由于中学阶段的数学教育已经使学生掌握了一定的知识与技能，因此当学生进入高等学校后，这种知识与能力起到关键性的作用。此时内因的作用将起主导地位，外因的作用将越来越小。从大学的知识性领域来分析，无论是纯文科专业，还是需要一定量的数学知识作为工具的经济类专业及大部分工科专业，
或是需要大量的数学知识作为工具的理论物理等专业及数学专业，都需要高等数学（即高等学校所开设的所有数学课程）知识，从事数学建模与应用开发，特别是创造能力的培养。由于在知识量方面大学数学比高中数学要多得多，所以这个阶段，教师对学生的学习方法的指导显得尤为突出，旨在要求学生在学习过程中，学会自我总结归纳，提高自学能力，并深层次地培养自己的数学素养和数学能力。因为，高等数学的各课程的教材不象中、小学数学那样具有较高的统一性，这给高校在选择教材时留有很大空间和余地，而且同一课程的不同教材对某一内容的详略程度也各不尽相同，特别是数学学科与相关学科的渗透性特别强。这势必要求学生在学习过程中要自觉阅读其它教材和相关资料，互相借鉴，取长补短。因此，大学阶段的数学学习实际上是一种比较性学习和探究性学习。
所以我们把大学阶段的数学教育叫做内因主导阶段教育。
数学教育的三个阶段：外因强化阶段（义务教育阶段）内、外因并重阶段（高中阶段）内因主导阶段（大学阶段）。
诚然，以上划分只是根据各个教学阶段的外因（教）在内因（学）的基础上所起作用的比重大小来决定的，并不是否认内因与外因的辩证关系。之所以这样划分是由于数学教育的特殊性与连续性而异于其它学科。目的是为了使教育工作者及其教育对象，认识各个阶段教与学各自的作用和相应应对的策略、方法。
二、数学教育的四个层次及三个转变
从知识性领域来分析，数学概括为以下四个层次。
另外，从发展性领域来分析，义务教育阶段数学教育主要应注重学生在情感、认识、推理和运用数学解决实际问题等诸方面的发展。其中从小学到初中的过渡主要是一个从具体数字到代数符号的变化，是一个从感性认识到理性认识的发展。
所以说从小学到初中的数学教育主要是认知方式的转变。
而从高中阶段的发展性领域来看，学生在学习数学的情感和认识方面相对于义务教育阶段的学生产生了一个质的飞跃。学生不仅要明确数学的地位和作用：数学是一门应用广泛的重要基础学科；数学是提高思维能力的有效手段和理性思维的基本形式；数学是一种深刻而有力的文化素养。同时也要明确高中数学教学不但是为了学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的数学知识与基本技能，而且要进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象力、解决实践问题的能力以及数学创新意识，以形成良好的个性品质和辩证唯物主义观点。这个阶段的学生在学习过程中总是要把握好代数关系与几何图形的关系，在思维方式上更为强调“数”与“形”的高度统一性。
所以说从初中到高中的数学教育主要是思维方式的转变。
从大学阶段的发展性领域来看，由于大学数学教育的专业分化性和广泛性以及大学课程的“实用性”远远大于中学，这种知识面的放宽、抽象程度的加大，使得学生在学习过程中带有明显的倾向性和选择性，同时其培养目标主要是发展学生的抽象思维能力、归纳演绎能力、建模能力、综合评价能力、创新能力及整合逻辑思维能力。这个阶段教育不仅要搞清楚各专业所需要的数学知
