中考数学专题复习分类练习三角函数的应用

2024中考数学全国真题分类卷第十六讲锐角三角函数及其实际应用

命题点1特殊角的三角函数值

1.(2023天津)tan45°的值等于()

A.2B.1C.22D.33

命题点2直角三角形的边角关系

2.(2023陕西)如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为()

第2题图A.32B.35C.37D.623.(2022玉林)如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有()

第3题图A.h1＝h2B.h1h2D.以上都有可能

4.(2023乐山)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，点D是AC上一点，连接BD.若tanA＝12，tan∠ABD＝13，则CD的长为()

A.25B.3C.5D.2

第4题图5.(2023连云港)如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格线上，且都

是小正方形边的中点，则sinA＝______．

第5题图

6.(2022上海)如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝45，BF为AD

边上的中线．(1)求AC的长；

(2)求tan∠FBD的值．

第6题图

命题点3锐角三角函数的实际应用

类型一解一个直角三角形

7.(2023福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC

＝27°，BC＝44cm，则高AD约为(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)()A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm

第7题图8.(2023金华)一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC＝6m，∠ABC＝α，

则房顶A离地面EF的高度为()

第8题图

A.(4＋3sinα)mB.(4＋3tanα)mC.(4＋3sinα)mD.(4＋3tanα)m

9.(2023柳州)如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝35，堤坝高BC＝30m，则

考向5.9 三角函数在实际生活中的应用

【知识要点】

1、在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知

元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2、如图1，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角

当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角

3、 如图2，坡面与水平面的夹角叫做仰角 (或叫做坡比)。用字母i

表示，即tanh

iA

l

4、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。

5、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角。

如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，

北偏西60°。

7.测量物体高度的方法：

（1）.利用全等三角形的知识 ；（2）利用相似三角形的对应边成比例 ；（3）.利用三角函数的知识

例1、如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操

控者A的俯角为75

，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45

．已知操控者A和小区楼房BC之间的距

离为45米，小区楼房BC

的高度为

153米．

（1）求此时无人机的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞

行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考

数据：

tan7523

，

tan1523

．计算结果保留根号） 图1

图

2hi=h:

lAB

C

图

3

图4

解：如图1，过D点作DH⊥AB，垂足为点H，过C点作CE⊥DH，垂足为点E，

可知四边形EHBC为矩形，

∴EH=CB，CE=HB，

∵无人机测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45

，测得操控者A的俯角为75

，DM∥AB，

∴∠ECD=45°，∠DAB=75°，

中考三角函数应用题

中考三角函数应用题

总体介绍：

中考中的数学考试中，有着多种与三角函数相关的应用题目，其中涵盖了许多领域，例如：几何、物理等。掌握三角函数的特性及其应用，是考取高分的关键。今天我们来看看几个常见的中考三角函数应用题目。

第一类题目：求解直角三角形的边长

这种题目利用三角函数中的正弦、余弦、正切关系式，求解直角三角形中的某一边长或角度。

例如：

已知 ∠B=30°，BC=3，求AB。

解析：

我们知道正弦函数的定义是：sinA=对边/斜边。所以我们可以根据细节进行计算，得知sin30°=1/2，因此AB=BC/sinB=3/(1/2)=6。

第二类题目：求解角度

这种题目利用三角函数中的正弦、余弦、正切关系式，求解直角三角形中的某一角度。

例如：

已知 AB=5，AC=3，求 ∠BAC。

解析：

我们知道正切函数的定义是：tanA=对边/邻边。所以tan∠BAC=AB/AC=5/3，因此∠BAC=tan⁻¹(5/3)≈59.04°。

第三类题目：求最值

这种题目通常需要应用到三角函数相关的图像及其函数性质，通过求导、极值等方法解决。

例如：

求函数f(x)=2cosx+3sinx在区间[0, π]上的最小值。

解析：

首先，我们将f(x)化简为f(x)=√13sin(x+θ)，其中θ=tan⁻¹(3/2)，因为：

2cosx+3sinx=√13(cos(arcsin(3/√13))sinx+sin(arcsin(3/√13))cosx)

=√13sin(x+θ)

达到化简的目的。

其次，我们知道在[0, π]区间，√13sin(x+θ)的最大值为√13，最小值为-√13，而当x=π/2时，f(x)达到最小值-√13。

结语：

需要注意的是，三角函数应用题通常牵扯到多个相关的概念及其公式，考生们需要在日常复习中多加练习。掌握好三角函数的应用，才能在数学考试中游刃有余，争取高分。

2020年浙江省台州市中考数学重点题型-三角函数的应用专题训练

1.如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．(结果用含有根号的式子表示)

2.如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度 𝑨𝑩 ，测量人员使用无人机测量，在 𝑪 处测得 𝑨,𝑩

两点的俯角分别为 𝟒𝟓∘ 和 𝟑𝟎∘ ，若无人机离地面的高度 𝑪𝑫 为 𝟏𝟐𝟎𝟎 米，且点 𝑨,𝑩,𝑫 在同一条水平直线上，求这条江的宽度 𝑨𝑩 长（结果保留根号）.

3.如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处.已知AB＝BD＝800米，∠α＝75°，∠β＝45°，求山高DE（结果精确到1米）.（参考数据：sin75°＝0.966，cos75°＝0.259，tan75°＝3.732， √𝟐 ＝1.414）

4.如图1，是全国最大的瓷碗造型建筑，座落于江西景德镇，整体造型概念来自“宋代影青斗笠碗”，造型庄重典雅，象征“万瓷之母”．小敏为了计算该建筑物横断面(瓷碗橫断面ABCD为等腰梯形)的高度，如图2，她站在与瓷碗底部AB位于同一水平面的点P处测得瓷碗顶部点D的仰角为45°，而后沿着一段坡度为0.44(坡面与水平线夹角的正切值)的小坡PQ步行到点Q(此过程中AD，AP，PQ始终处于同一平面) 后测得点D的仰角减少了5°.已知坡面PQ的水平距离为20米，小敏身高忽略不计，试计算该瓷碗建筑物的高度．(参考数据：sin 40°≈0.64，tan 40°≈0.84)