2013新人教A版必修五3.3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》word教案
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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
教学目标：会根据二元一次不等式确定它所表示的平面区域；能画出二元一次不等式组表示的平面区域；会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示。
教学重点、难点：二元一次不等式表示平面区域,确定二元一次不等式表示的平面区域。
在现实生活中，有许多的不等关系可以用不同的数学模型来刻画和研究，这里我们学习一种不等关系的模型。
看一个实际例子：
一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人货款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，那么，信贷部应该如何分配资金呢？
这个问题存在一些不等关系，应该用什么不等式模型来刻划它们呢？
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。
资金总数为25000000元，得到x+y≤25000000‥‥‥①
由于企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30000元以上，得到(12%)x+(10%)y≥30000, 即12x+10y≥3000000……②
考虑到企业贷款和个人贷款的资金数都不能是负值，于是x≥0,y≥0‥‥‥
③
分配资金满足条件：003000000101225000000yxyxyx 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序实数对(x,y),所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间
如：不等式组0403xx的解集为数轴上的一个区间（如图）
在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。
如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：
第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；
第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。 设点是直线x-y=6上的点,选取点,使它的坐标满足不等式x-y<6，完成课本第83页的表格 -3 -2 -1 0 1 2 3
点P的纵坐标y1
点A的纵坐标y2 问题：当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？直线x-y=6右下方点的坐标呢？
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图,直线叫做这两个区域的边界。
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
二元一次不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界，把直线画成实线。
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
例1 画出不等式44xy表示的平面区域。
解：先画直线44xy（画成虚线）.取原点（0，0），代入x+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,∴原点在44xy表示的平面区域内，不等式44xy表示的区域如图：
例2 用平面区域表示.不等式组3122yxxy的解集。分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式312yx表示直线312yx右下方的区域，2xy表示直线2xy右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。
练习：(1)画出不等式04)(12(）yxyx表示的平面区域。
(2)由直线02yx，012yx和012yx围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。
例3 、要将两种大小不同的钢解：设需要截第一种钢板x张，第二板截成Ａ．Ｂ．Ｃ三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要Ａ．Ｂ．Ｃ三种规格的成品分别为15，18，27块，请用数学关系式和图形表示上述要求。 种钢板y张，则00273182152yxyxyxyx 图形表示如下
A规格 Ｂ规格 Ｃ规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
例4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t,硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
解：设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件 00661518104yxyxyx
例5 求不等式|x-2|+|y-2|≤2所表示的平面区域的面积
222yx分析：
)2,2(2)2,2(2)2,2(2)2,2(6yxyxyxyxyxyxyxyx
例6 求不等式组13400yxyx表示平面区域的面积以及平面区域内整点的坐标.
练习：(1)一工厂生产甲,乙两种产品,生产每吨产品的资源需求如下表:
该工厂工人有200人,每天只能保证160千瓦时的用电额度,每天用煤不得超过150吨,请在直角坐标系中画出每天甲乙两种产品允许的产量范围。 品种 电力/千瓦时 煤/吨 工人/人
甲 2 3 5
乙 8 5 2 解：设甲,乙两种产品各生产x,y吨，则00150531608220025yxyxyxyx
(2)某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元。若每日预算总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，请你列出满足生产条件的数学表达式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域。
解：数据列表：设甲,乙
两种原料分别用x,y吨， 则002000400500060005001000yxyxyx 成本 运费
甲原料 1000 500
乙原料 1500 400
简单的详细规划问题
问题：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
解决问题的方法与过程如下：
(1)用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：
0012416482yxyxyx …………(1)
(2)画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
(3)提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
(4)尝试解答：
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？
把z=2x+3y变形为233zyx，这是斜率为23，在y轴上的截距为3z的直线。当z
变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要
给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（2833yx），这说明，截距3z可以由
平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线233zyx与不等式组（1）的区域的
交点满足不等式组（1），而且当截距3z最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直
线233zyx与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线
经过点P时截距3z最大。
(5)获得结果：
由上图可以看出，当实现233zyx金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距z/3的值最大，最大值为14/3，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。
线性规划的概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：欲求到最大值或最小值的函数 z=2x+y称为目标函数，又因为z=2x+y是关于x、y的一次式解析式，又叫线性目标函数．
③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
⑤可行域: 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
⑥最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
课本第88页的问题
⑴在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。
⑵有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
例6 课本P91练习：（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件xy(12,12)(-1,-1)(2,-1)2x+y=0x+y-1=0x-y=0CBAO21-1-2-1123
