高中物理极值求解方法初探

物理解题中求极值的常用方法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一,其中极值的计算在教学中频繁出现;因为极值问题范围广、习题多,会考、高考又经常考查,应该得到足够重视;另外很多学生数、理结合能力差,这里正是加强数理结合的“切人点”;学生求极值,方法较少,教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法;求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手,也可以从数学方法角度思考,下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明;1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,若a>0,则当x=-a b2时,y 有极小值,为y min =a b ac 442-；若a<0,则当x=-ab2时,y 有极大值,为y max =a b ac 442-；2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c,用判别式法 利用Δ＝b 2-4ac ≥0;式中含y 若y ≥A,则y min ＝A; 若y ≤A,则y max ＝A;3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c,函数解析式经配方可变为y=x-A 2+常数：1当x ＝A 时,常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = － x －A 2+常数;2当x ＝A 时,常数为极大值;4、利用均值定理法求极值均值定理可表述为≥+2ba ab ,式中a 、b 可以是单个变量,也可以是多项式; 当a ＝b 时, a+b min ＝2ab ;当a ＝b 时, a+b max ＝2)(2b a +;5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数,可利用三角函数的极值求解;若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式,则y=21Asin2α,在α=45o 时,y 有极值2A ; 对于复杂的三角函数,例如y=asin θ+bcos θ,要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ,变成同名的三角函数,比如sin θ+ф ;这个工作叫做“化一”;首先应作辅助角如所示;考虑asin θ+bcos θ＝θθcos sin 2222ba b ba a +++＝22b a + cos фsin θ+sin фcos θ＝22b a +sin θ+ф 其最大值为22b a +; 6、用图象法求极值通过分析物理过程遵循的物理规律,找到变量之间的函数关系,作出其图象,由图象可求得极值;7、用分析法求极值分析物理过程,根据物理规律确定临界条件求解极值;下面针对上述7种方法φ ab图1做举例说明;例1：如图2所示的电路中;电源的电动势ε＝12伏,内阻r ＝欧,外电阻R 1＝2欧,R 2＝3欧,滑动变阻器R 3＝5欧;求滑动变阻器的滑动头P 滑到什么位置,电路中的伏特计的示数有最大值最大值是多少分析：设aP 间电阻为x,外电路总电阻为R.则：先求出外电阻的最大值R max 再求出伏特计示数的最大值U max ;本题的关键是求R max ,下面用四种方R max ;方法一 用顶点坐标法求解抛物线方程可表示为y ＝ax 2+bx+c;考虑R ＝10)8)(2(x x -+=101662++-x x ,设y ＝-x 2+6x+16,当x ＝ab2-＝ —)1(26-＝3时,R max 3＝101636)3(2+⨯+- ＝Ω;方法二 用配方法求解考虑R ＝10)8)(2(x x -+ ＝101662++-x x =1025)3(2+--x ;即x ＝3Ω时,R max ＝5.21025=Ω; 方法三 用判别式法求解考虑R ＝101662++-x x ,则有-x 2+6x+16-10R ＝0,Δ＝b2-4ac＝36-4-116-10R＞0,即：100-40R≥0,R≤Ω,即Rmax＝Ω;方法四用均值定理法求解考虑R＝10)8)(2(xx-+,设a＝2+x；b＝8-x; 当a＝b时,即2+x＝8-x,即x＝3Ω时,Rmax 3＝10)38)(32(-+＝Ω;也可以用上面公式a+bmax ＝2)]8)(2[(2xx-+＝25,Rmax ＝10)(maxba+＝1025＝Ω;以上用四种方法求出Rmax＝Ω,下边求伏特计的最大读数;I min ＝rR+m axε＝5.05.212+＝4A;Umax＝ε- Iminr＝⨯＝10V;即变阻器的滑动头P滑到R3的中点Ω处,伏特计有最大值,最大值为10伏;例2：如图3所示;光滑轨道竖直放置,半圆部分的半径为R,在水平轨道上停着一个质量为M＝的木块,一颗质量为m＝的子弹,以V=400m/s的水平速度射入木块中,然后一起运动到轨道最高点水平抛出,试分析：当圆半径R多大时,平抛的水平位移是最大且最大值为多少解析子弹与木块发生碰撞的过程,动量守恒,设共同速度为V1,则：mV0＝m+MV1,所以：V1=VMmm+＝smsm/4/40099.001.001.0=⨯+图3设在轨道最高点平抛时物块的速度为V 2,由于轨道光滑,故机械能守恒：所以：V 2=)/(])(4)[(21M m gR m M V M m ++-+=R R Rg V 401610444221-=⨯-=-则平抛后的位移可以表示为：s =V 2t =V 2104)4016(4RR g R ⨯-=⨯＝4R R 4.02+-;因为a=-1<0,所以水平位移S 应该存在最大值;当R=)1(24.02-⨯-=-a b =时, S max ＝例3：在一平直较窄的公路上,一辆汽车正以22m/s 的速度匀速行驶,正前方有一辆自行车以4m/s 的速度同向匀速行驶,汽车刹车的最大加速度为6m ／s 2,试分析两车不相撞的条件;解析要使二者不相撞,则二者在任一时间内的位移关系应满足 V 0t-S Vt at +<221式中S 为汽车刹车时与自行车间距 代入数据整理得：3t 2-18t+S>0, 显然,当满足∆＝b 2-4ac ≥0,即∆＝182-4⨯3S ≥0得：S ≤27m,S min =27m;当汽车刹车时与自行车间距为27米时是汽车不与自行车相撞的条件;例4：如图4所示;一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上,质量为m 的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下,且小车始终保持静止状态,试分析：当小球运动到什么位置时,地面对小车的摩擦力最大最大值是多少解析：设圆弧半径为R,当小球运动到重力mg 与半径夹角为θ时,速度为V,根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：解得小球对小车的压力为：N=3mgcos θ,其水平分量为：N x =3mgsin θcos θ=θ2sin 23mg根据平衡条件,地面对小车的静摩擦力水平向右,大小为：f= N x =θ2sin 23mg可以看出：当sin2θ=1,即θ=45o 时,地面对小车的静摩擦力最大,其值为：f max =mg 23;例5：如图5所示;质量为m 的物体由力F 牵引而在地面上匀速直线运动;物体与地面间的滑动摩擦系数为μ,求力F 最小时的牵引角θ;F 的方向是随θ变化的;解析：因物体匀速直线运动,所以有： Fcos θ-f ＝①f ＝μN ＝μmg-Fsin θ ②②代人①得：Fcos θ-μmg+μFsin θ＝0 即：F ＝θμθμsin cos +mg;分母为两项不同名的三角函数,需要转化成同名的三角函数,也就是需要“化一”;由前面的“化一”结论得：a sin θ+b cos θ＝22b a +sin θ+ф考虑本题分母：μsin θ+cos θ与a sin θ+b cos θ用比较法,得：a ＝μ；b ＝1; 于是tg ф＝μ1=a b ,则ф＝arc tg μ1;所以,μsin θ+cos θ＝12+μsin θ+arc 图4tgμ1; 要使F 最小,则分母μsin θ+cos θ需最大,因此,θ+arc tgμ1＝2π; 所以有：θ＝2π-arc tg μ1＝2π-arc ctg μ=arc tg μ;即：θ=arc tg μ时,F 最小;作为教师,运用“求导数”对本题验算非常简便;F ＝θμθμsin cos +mg ;考虑0=θd dF,则有μcos θ-sin θ＝0则θ＝arc tg μ,即当F 最小时,牵引角θ＝arc tg μ;例6：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发,甲做匀加速直线运动,加速度为4米／秒2,4秒后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动,加速度为2米／秒2,10秒后改为匀速直线运动,求乙追上甲之前它们之间的最大距离;分析：运用物理规律和图形相结合求极值．是常用的一种比较直观的方法;由题意可知,4秒后甲做匀速直线运动的速度为：V 甲=a 甲t 甲＝4⨯4＝16m ／s; 乙10秒后做匀速运动的速度为：V 乙＝a 乙t 乙＝2⨯10＝20m ／s;可画出v —t 如上图6所示;点相交,这表明在t ＝8秒时,两物体的速度相等,因此．在t ＝8秒时,两者间的距离最大;此时两图线所围观积之差,就是两者间的最大距离;即S max ＝21⨯4⨯16 + 4⨯16 — 21⨯8⨯16＝32m;用分析法求极值在物理计算中较常见;经过对物理状态或过程分析后求极值,不一定要用繁难的数学,关键是确定临界状态和过程的最值;例7：如图7所示;AB、CD是两条足够长的固定平行金属导轨,两条导轨间的距离为L,导轨平面与平面的夹角是θ,在整个导轨平面内部有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场,磁感应强度为B;在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻,一根垂直于导轨放置的金属棒ab,质量为m,从静止开始沿导轨下滑;已知ab与导轨间的滑动摩擦系数为μ,导轨和金属棒的电阻不计;求ab棒的最大速度;即分析物理过程；确定极值状态；运用物理规律求解;所示;在下滑过程中,ab受重力mg,支持力N＝mgcosθ,摩擦力f＝μmgcosθ,安培力F＝RVLB22;沿导轨平面有：mgsinθ-μmgcosθ-RVLB22=ma ①ab由静止加速下滑会导致：当a＝0时,ab速度到达最大,即：V＝Vmax所以①式变为mgsinθ—μmgcosθ—RVLBmax22=0 ②②解式得：Vmax＝22)cos(sinLBmgθμθ-;综上所述,求解极值习题常用的方法列举了七种、即均值定理法、顶点坐标法、配方法、判别式法、三角函数中“化一”法、图解法、分析法;针对有些习题所给的条件的“有界性”,运用求极值的方法时要特别注意,求出的极值不能“出界”,a图7B要注意定义域和值域的对应关系;例8：如图8所示;已知电流表内阻忽略不计;ε＝10V,r ＝1Ω,Ro ＝R ＝4Ω,其中R 为滑动变阻器的最大值;当滑动片P 从最左端滑到最右端的过程中,电流表的最小值是多少最大值是多少电流表的示数将怎样变化解：设滑动变阻器滑片P 左端的电阻为R 左,通过电流表的电流为I A ,通过R o 的电流为I o ,由并联电路可知A I I 0=0R R 左① 由欧姆定律得：I ＝rR +总ε即：I=144410+-++=+-+左左左左并）（R R R rR R R ε②I=I 0+I A = I A）（左10+R R ③ 把③代入②式整理得I A ＝205402++-左左R R ④用配方法对④式求极值;I A ＝205402++-左左R R =25.2625402+--）（左R 当R ＝Ω时,I A 有极小值I Amin ＝=5.2640A; 当求电流表的最大值时,就需考虑R 的取值范围是“有界”的;这时的极值要与“界”的定义域对应,不能“出界”;当R 左＝0时,即由④式得I A p 在a ＝2040＝2A; 当R 左＝R ＝4Ω时,由④式得I A P 在b ＝67.120454402=+⨯+-A; 由此可得,电流表先从2A 减小到,然后再增加到;所以电流表的最大值是2A,图8其变化是先减小后增大;综上所述,求极值的七种方法是解高中物理题的常用方法;在使用中,还要注意题目中的条件及“界”的范围;。

探讨高中物理极值问题优秀获奖科研论文物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值.物理极值问题是中学物理教学经常遇到的一个重要内容，在高中物理的各部分均出现，涉及的知识面广，综合性强，对学生的综合分析能力和应用数学解决物理问题的的能力要求较高，另外加之学生数理结合能力差，物理极值问题已成为中学生学习物理的难点.解决这类问题有两种思考途径：一是极值问题的物理解法；二是极值问题的数学解法，笔者主要讨论后者情况.在中学物理中，描述某一过程或者某一状态的物理量，在其发展变化中，由于受到物理规律和条件的制约，其取值往往只能在一定的范围内才符合物理问题的实际，求这些量的值的问题便可能涉及到要求物理量的极值.求解物理极值问题，通常涉及到的主要数学知识有：点到直线的距离最短、两数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值、二次函数求极值的方法、求导数、三角函数、几何作图法、有关圆的知识等.在求解物理极值过程中要想实际物理过程与数学知识进行灵活的结合，充分发挥数学的作用，往往要进行数学建模.数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程，对物理规律或物理概念的描述提供了最简洁、最准确的表达方式，而且在内容上能表述得深刻、精确、简捷.物理问题用图象来描绘，利用图象的直观性，既明了又简捷，往往对问题的解决起到事半功倍的效果. 例略.此外，还有利用不等式、利用三角函数的有界性、利用数学求导的方法、利用向量、利用几何圆等求极值的方法，限于篇幅，这里不再一一列举.以上求极值的方法是解高中物理题的常用数学方法.在使用中，还要注意题目中的条件及“界”的范围.求最大和最小值问题，往往是物理学公式结合必要的教学知识才得出结论，这就要求学生不仅理解掌握物理概念、规律，还要具备运用数学知识解决物理问题的能力.解决极值问题的关键是扎实掌握高中物理的基本概念、基本规律，在分析清楚物理过程后，再灵活运用所学的数学知识.综上所述，无论采用何种方法解物理极值问题，首先都必须根据题意，找出符合物理规律的物理方程，这也是解决物理问题的核心，决不能盲目地将物理问题纯数学化.“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。

物理中的极值问题武穴育才高中 刘敬随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个重要内容，作为对理解、推理及运算能力都有很高要求的物理学科，如何提高提高学生思维水平，运用数学知识解决物理问题的能力，加强各学科之间的联系，本文筛选出典型范例剖析，从中进行归纳总结。

极值问题常出现如至少、最大、最短、最长等关键词，通常涉及到数学知识有：二次函数配方法，判别式法,不等式法，三角函数法,求导法,几何作图法如点到直线的垂线距离最短,圆的知识等等。

1．配方法：a b ac a b x a c bx ax 44)2(222-++=++ 当a ＞0时，当2b x a =-时，y min =ab ac 442- 当a ＜0时当2b x a =-时，y max =ab ac 442- 2.判别式法：二次函数令0≥∆，方程有解求极值.3.利用均值不等式法：ab 2b a ≥+ a=b 时， y min =2ab4.三角函数法：θθcos sin b a y +==)sin(22θϕ++b a当090=+θϕ，22max b a y += 此时，ba arctan =θ 也可用求导法：ba b a y arctan 0sin cos ==-='θθθ，得令 5.求导法：对于数学中的连续函数，我们可以通过求导数的方式求函数的最大值或最小值.由二阶导数判断极值的方法．某点一阶导数为0，二阶导数大于0，说明一阶导数为增函数，判断为最小值；反之，某点一阶导数为0，二阶导数小于0，说明一阶导数为单调减函数，判断此点为最大值．6.用图象法求极值通过分析物理过程所遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象求极值。

7.几何作图法研究复合场中的运动，可将重力和电场力合成后，建立直角坐标系，按等效重力场处理问题。

研究力和运动合成和分解中，可选择合适参考系，将速度及加速度合成，结合矢量三角形处理问题。

高考物理解题方法指导之极值问题综述求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值．数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值．一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高．多数极值问题，并不直接了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节．互动探究例1、如图所示，重为G的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ=3/3，物体做匀速直线运动．求牵引力F的最小值和方向角θ．例1例2、从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用时20，前进了50m，求这过程中汽车达到的最大速度．例3、已知直角三角形底边长恒为b，当斜边与底边所成夹角θ为多大时，物体沿此光滑斜边由静止从顶端滑到底端所用时间最短例4、如图所示，一个质量为m的小物块以初速度v0=10m/沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出．当高台的高度h为多大时，小物块飞行的水平距离最大？这个距离是多少？（g取10m/2）例4例5、一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平伸直，然后无初速度的释放，从小球开始运动直到轻绳到达竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？-1-Er例6、如图所示，已知定值电阻R1，电源内阻r，滑动变阻器的最大阻值为R（R>R1+r），当滑动变阻器连入电路的电阻R某多大时，在变阻器上消耗的功率最大？R1R例6例7、如图所示，均匀导线制成金属圆环，垂直磁场方向放在磁感应强度为B的匀强磁场中，圆环总电阻为R．另有一直导线OP长为L，其电阻为QROP，一端处于圆环圆心，一端与圆环相连接，金属转柄OQ的电阻为ROQ，它以nB的转速沿圆环匀速转动，问OP中电流强度的最小值是多少？PO例7例8、如图所示是显像管中电子束运动的示意图，设加速电场B两极间的电势差为U，匀强磁场区域的宽度为L，要使电子束从磁场飞出时，在图中所示不超过120°范围内发生偏转（即上下各偏转不120°超过60°），求磁感应强度B的变化范围（设磁场方向垂直于纸面向里时，磁感应强度为正值）？UL例8例9、如图所示，宽为L的金属导轨置于磁感应强度为B的匀强P磁场中，磁场方向竖直向下．电源电动势为E，内阻为r，不计其他电阻和一切摩擦，求开关K闭合后，金属棒PQ速度多大时，安培力的功率最大？Er最大值是多少？vKQB例9例10、一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰，碰后原子获得一定速度，并有一定的能量E被贮存在这个原子内部．求电子必须具有的最小初动能是多少？课堂反馈反馈1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/的速度匀速驶来，从后边赶过汽车．汽车从路口开动后，在追上自行R1车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？aPR3R2b反馈2、如图所示的电路中，电源的电动势E=12V，内阻r=0.5Ω，外阻R1=2Ω，VR2=3Ω，滑动变阻器R3＝5Ω．求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值最大值是多少Er反馈2达标测试1、某物体从静止开始沿直线运动，当停止运动时，位移为L，若运动中加速度大小只能是a或是零，那么此过程的最大速度是多大？最短时间为多少？-2-22、某中学举办了一次别开生面的―物理体育比赛‖，比赛中有个项目：运动员从如图所示的A点起跑，到MN槽线上抱起一个实心球，然后跑到B点．比赛时，谁用的时间最少谁胜．试问运动员比赛时，应沿着什么路线跑最好？达标23、一条宽为L的河流通，水流速度为u，船在静水划行速度为v，若vO4、如图所示，一辆四分之一圆弧小车停在粗糙水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，若小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大？最大值是多少达标45、如图所示，光滑轨道竖直放置，半圆部分半径为R，在水平轨道上停着一个质量为M=0.99kg的木块，一颗质量为m=0.01Kg的子弹，以v0=400m/的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R多大时，平抛的水平位移是最大？且最大值为多少？ROmv0M达标56、一架升飞机，从地面上匀加速垂直飞行到高度H的天空，如果加速度a和每秒消耗的油量y之间的关系是y=ka+n（k>0，n>0），应当选择怎样的加速度，才能使这飞机上升到高度H时耗油量最低．7、如图所示，已知电流表内阻忽略不计，电源电动势E＝10V，内阻r＝1Ω，ErRo＝R＝4Ω，其中R为滑动变阻器的最大值．当滑动片P从最左端滑到最右端R0的过程中，电流表的最小值是多少最大值是多少电流表的示数将怎样变化PAaRb8、如图所示，AB、CD是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导达标7轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角是θ，在整个导轨平面内部有RCA垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B．在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，ba从静止开始沿导轨下滑．已知ab与导轨间的滑动摩擦系数为μ，导轨和金属棒的电阻不计，求ab棒的最大速度．θBD达标8θθ9、如图所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+q的小球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的轨道半径．-3-B达标910、如图所示，一束宽为d的平行光，由红、蓝两种色光组成，入射到一块上、下表面平行的玻璃砖，其入射角为i，玻璃对红、蓝光的折射率分别为n1和n2，则要想从下底面得到两束单色光，玻璃砖的厚度L至少为多大？达标1011、如图所示，水平传送带水平段长l=6m，两皮带轮直径D均为0.2m，距地面高H=5m，与传送带等高的光滑水平台上有一小物块以v0=5m/的初速度滑上传送带，物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2．求：（1）若传送带静止，物块滑到右端后做平抛运动的水平距离0等于多少（2）当皮带轮匀速转动，且角速度为ω时，物体做平抛运动的水平位移为，以不同角速度ω做上述实验，得到一组对应的ω和值．设皮带轮顺时针转动时ω>0，逆时针转动时ω<0，试画出平抛距离随ω变化的曲线．专题十一，课时2解析例1解析：物体的受力图如图．建立坐标系，有：Fcoθ-μN=0①Finθ+N-G=0②得F=μG／(coθ+μinθ)2令tanφ=μ，则coθ+μinθ=1co(θ-φ)∴F=当θ=φ时，co(θ-φ)取极大值1，F有最小值．Fmin==G/2，tanφ=μ=1/3，φ=30o，∴θ=30o解法二、将四力平衡转化为三力平衡，用图象法求解．将N与f合成为一全反力R．tanΦ=f/N=μ．可见，N变化会一个起f变、R变，但R的方向是不变的．物体处于平衡状态，R、F、G的合力必为0，三力构成一封闭三角形．由图可知，当F垂直于R时，F最小．-4-此时，θ=Φ=arctan(1/√3)=30o，Fmin=GinΦ=G/2例2解析：设最大速度为vm，即加速阶段的末速度为vm，画出其速度时间图象如右图所示，图线与t轴围成的面积等于位移．即：v/m·-1vm11tvm，5020vm，vm=5m/．22O20t/例3解析：设斜面倾角为θ时，斜面长为，物体受力如图所示，由图知b……①co12at……②2N由匀变速运动规律得：由牛顿第二定律得：mginθ=ma……③联立①②③式解得：tmg4bgin22Sa2bgincoθb可见，在90°≥θ≥0°内，当2θ=90°，θ=45°时，in2θ有最大值，t有最小值．例4解析：设小物块从曲面顶部的高台飞出的瞬间的速度为v，由机械能守恒定律，1212mv0mvmgh⑴2212hgt小物块做平抛运动，⑵2vt22v0v02h2将⑴⑵联立，hv02gh2h，g4g4g22v0v0当h2.5m时，最大飞行距离：ma某5m．4g2g22例5解析：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时，重力的功率为：P=mgvcoα=mgvinθ…………①小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：mgLco12mv……………②2OθLA2解①②可得：Pmg2gLcoin2令y=coθinθC21ycoin(2co2in4)21(2co2in2in2)2αθBvmg又2co2in2in22(in2co2)2根据基本不等式abc3abc，定和求积知：22当且仅当2coin，y有最大值由2co21co2得：co33-5-。