泛函分析练习题

第七章 习题解答1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？解 不一定。

例如离散空间（X ，d ）。

)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。

因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。

2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。

证明 （1）若),(g f d =0，则)()(1)()(max)()()()(t g t ft g t f r r r r bt a -+-≤≤=0，即f=g（2）)()(1)()(max 21),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞=∑=d （f ，g ）+d （g ，h ）因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。

3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =⋂∞=1。

证明 令n n n o n nB x d Bo o .2,1},1),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1),(10<。

设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ⊂),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ⊃⋂∞=1。

若n n o x ∞=⋂∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1),(1<，因此)(∞−→−−→−n x x n 。

因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =⋂∞=1。

4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明),(1),(),(___y x d y x d y x d +=是X 上的距离。

i 1
t1 A t n A C ,
这蕴涵着 C co ( A) ;进一步,
CC
C co( A) .反过来的包含由 co( A) C 给出.

3.Proof. (a)设 A X 是开的, C 是 A 的凸壳,那么 A C 蕴涵着 A C .定理 1.13 说C 是 凸的,再由第 2 题就得到 C C ;进一步, C C 是开的. (b)设 E X 是有界的, B 是 X 的一个凸局部基.对每个 V B ,选取t 0 使 E tV .第 2 题指出 co( E ) tV .第 5 题因此指出 co( E ) 是有界的. (c)对 0 X 的每个邻域V ,选取 0 X 的邻域U 和 t 0 使U U V , A tU , B tU . 那么 A B tU tU tV .第 5 题因此指出 A B 是有界的. (d)是 X 中加法连续性的结果. (e)设 x A B ,那么 ( x A) B .选取 0 X 的一个邻域V 使
f (V ) ( 1 (V ))
是 Y 的开集.因此 f 是开的. 反过来的蕴涵是明显的. 这就完成了证明.

10.Proof. (a)设 dimY n , e1 , , en X 使 e1 , , en 成为 Y 的一组基.给定 0 X 的邻 域 V ,标量乘法的连续性给出一个 0 使
5 Chapter 1: Topological Vector Spaces
是 0 Y 的一个邻域. 同样的推理可以用到 (V ) 的每个点.因此 (V ) ,从而 ,是开的. (b)设 : X / N Y 是 诱导的向量空间同构.作为 N 是闭子空间的推论得到: X / N 是 一个有限维拓扑向量空间;结合定理 1.21 就得到 还是一个同胚. 再由 和第 9 题即得.

泛函分析期末复习题（2005-2006年度）（1）所有矩阵可以构成一个线性空间。

试问这个线性空间中的零元素是什么？（2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？（3）什么是线性流形？（4）什么是线性空间中的凸集？（5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义（6）距离空间上的收敛是如何定义的？（7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？（8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？（9）有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？（10）什么是希尔伯特空间？（11）空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间？（12）什么是算子？为什么要求算子的定义域是一个子空间？（13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。

（14）线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？（15）什么是有界算子？举一个无界算子的例子。

（16）算子的强收敛是如何定义的？（17）设为一个线性赋范空间，而为一个Banach空间。

那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间？（18）什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？（19）什么是泛函？什么是泛函的范数？（20）什么是线性赋泛空间的共轭空间？线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的？（21）什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？（22）什么是的Gateaux微分？（23）什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？（24）形如的泛函，其对应的Euler-Lagrange方程是什么？（25）什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试画图说明。

（26）有限元方法的本质是什么？瑞兹＋具有局部紧支集的分片插值函数（27）什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。

泛函分析口算练习题及答案2023题一：设X是赋范空间，Y是巴拿赫空间，f∈L(X,Y)，证明ε＞0，存在δ＞0，使得对于任意x∈X，当∥x∥＜δ时，有∥f(x)∥＜ε成立。

证明：由于f∈L(X,Y)，根据巴拿赫空间的定义，存在常数M＞0，使得对于任意x∈X，有∥f(x)∥≤M∥x∥成立。

取ε＞0，设δ＝ε/M，则对于任意x∈X，当∥x∥＜δ时，有∥f(x)∥≤M∥x∥＜M(ε/M)＝ε，即∥f(x)∥＜ε成立。

题二：设X是赋范空间，Y是巴拿赫空间，E是X的闭线性子空间，证明存在一个线性连续泛函f，使得E是f的核。

证明：考虑商空间X/E，定义映射π：X→X/E，映射π是线性映射。

由于E是闭线性子空间，根据商空间的定义，X/E是赋范空间。

取f(x)=0，其中x∈E，则对于任意x∈E，有π(x)=E，即π(x)=0。

根据线性映射的定义，f(x)是线性泛函。

同时，由于π是连续映射，根据连续映射的定义，f(x)是线性连续泛函。

又因为对于任意x∈E，有f(x)=0，即E是f的核。

综上所述，存在一个线性连续泛函f，使得E是f的核。

题三：设X是非空集合，d是X上的度量，则(X,d)是完备度量空间的充要条件是每个柯西序列都在X中收敛。

证明：充分性：设(X,d)是完备度量空间，取X中的柯西序列{xn}，即对于任意ε＞0，存在正整数N，使得当m,n＞N时，有d(xm,xn)＜ε成立。

根据柯西序列的定义，对于上述柯西序列，存在x∗∈X，使得lim(n→∞)d(xn,x∗)＝0。

由度量的定义，当m,n＞N时，有d(xm,x∗)≤d(xm,xn)+d(xn,x∗)＜ε+d(xn,x∗)。

根据极限的定义，当n→∞时，有d(xn,x∗)→0。

因此，对于任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，有d(xn,x∗)＜ε成立，即柯西序列{xn}收敛于x∗。

必要性：设(X,d)中的每个柯西序列都在X中收敛，取X中的柯西序列{xn}，根据题设，该柯西序列在X中收敛于某一元素x∗。