高二选修1-2《复数》测试题及答案

一、选择题1．若复数1a i z i +=+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．12- D ．1-2．若复数2320211z i i i i =++++⋯+，则复数z 对应的点在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四 3．已知复数13ai z i +=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（ ） A ．3-B ．3C ．13-D ．134．若m 为实数，则复数22()()26m m m m i ---＋＋在复平面内所对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．下面是关于复数21iz =-的四个命题，其中的真命题为（ ） 1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.A ．2p ,3pB ．13,p pC ．24,p pD ．34,p p 6．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．12 D ．12- 7．已知复数2z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．2B ．1C ．0或1D ．-1 8．设(2)34,i z i +=+ 则z =（ ）A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i - 9．已知复数z 满足(1i)2z ⋅+=，则z =（ ）A ．1BC ．2D ．310．已知命题p 是命题“若ac bc >，则a b >”的否命题；命题q ：若复数22(1)(2)x x x i -++-是实数，则实数1x =，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 11．若复数z 满足()211z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．i 为虚数单位，复数512i +的共轭复数是（ ） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i + 二、填空题13．若复数(),z x yi x y R =+∈复平面上对应的点在直线34150x y +-=上，则z 的最小值是_________.14．若复数i 2ia +-为纯虚数，那么实数a 的值为__________． 15．设复数z 1=1，z 2=23i 34i --∣∣，z=z 1+z 2，则z 在复平面内对应的点位于第__________ 象限． 16．已知方程240x px ++=()p R ∈有两个虚根,αβ，则22αβ+的取值范围是________17．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 18．已知i 为虚数单位，23i -是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=__________．19．若实数m 满足z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数，则｜z ｜＝________．20．复数i 1iz =+，则z =______. 三、解答题21．已知复数z 满足|z |=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.22．设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.23．已知复数z=1+i,求实数a ,b 使22(2)az bz a z +=+.24．已知复数12z a i =+，234z i =-(a R ∈，i 为虚数单位).(1)若12z z 是纯虚数，求实数a 的值.(2)若复数12z z 在复平面上对应的点在第二象限，且14z ≤，求实数a 的取值范围.25．已知复数1z i =，22z =，212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数. （1）求212z z ⨯的模；（2）求复数2z .26．已知复数21(56)z m m m i =++++（1）当实数m 为何值时，z 为实数；（2）当实数m 为何值时，z 为纯虚数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用复数的除法运算结合复数定义得到答案.【详解】()()()()()1+1+11112a i i a a i a i z i i i +--+===++-为纯虚数，故1010a a +=⎧⎨-≠⎩，故1a =-. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的除法，根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 2．A解析：A【分析】根据周期性得到1z i =+,得到答案.【详解】2320211(11)(11)11z i i i i i i i i i i =++++⋯+=+--+⋯++--++=+，故复数z 对应的点在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．A解析：A【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解.【详解】 由题意，复数()()()()131********10ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-， 因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-. 故选：A.本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.4．C解析：C【分析】实部虚部相加为4，不可能都为负.【详解】若m 为实数，复数22()()26m m m m i ---＋＋实部虚部相加为：222640m m m m ---=>＋＋，不可能都为负所对应的点不可能位于第三象限故答案选C【点睛】本题考查了复数对应的象限，是常考题型.5．A解析：A【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．【详解】∵z ()()()212111i i i i +===--+1+i ， ∴1p ：|z |=2p ：z 2＝2i ，3p ：z 的共轭复数为1-i ，4p ：z 的虚部为1，∴真命题为p 2，p 3．故选A ．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．6．A解析：A【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=， 因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 7．B解析：B【解析】分析：由复数2z a a ai =-+是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案. 详解：复数2z a a ai =-+是纯虚数，200a a a ⎧-=∴⎨≠⎩，解得1a =. 故选B. 点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.8．D解析：D 【解析】分析：先根据复数除法法则求z ，再根据共轭复数定义得.z详解：因为()234,i z i +=+所以3410522,25i i z i z i i ++===+∴=-+ 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi9．B解析：B【解析】分析：利用复数的除法求出z ，进而得到z .详解：由题()()()2121,111i z i z i i i ⋅-===-∴=++⋅- 故选B. 点睛：本题考查复数逇除法运算及复数的模，属基础题.10．D解析：D【解析】分析：先判断命题p ，q 的真假，再判断选项的真假.详解：由题得命题p:若a>b,则ac bc >，是假命题.因为()()2212x x x i -++-是实数，所以220,2 1.x x x x +-=∴=-=或 所以命题q 是假命题，故()()p q ⌝∧⌝是真命题.故答案为 D.点睛：（1）本题主要考查四个命题和复数的基本概念，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.11．B解析：B【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得到结论. 详解：()211z i i -=+， ()()()221i i 1i1i 2i 2i 1i z +++∴===---1i 11i 222-+==-+， z ∴在复平面内所对应的点坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选B. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12．B解析：B【分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i+的共轭复数是12i +. 故选B.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．二、填空题13．【分析】复数对应的点为则其表示点到原点的距离再利用点到直线的距离公式即可求解的最小值【详解】因为复数对应的点为所以其表示点到原点的距离；当有最小值时原点到直线上的点距离最小即为原点到直线的距离所以故 解析：3【分析】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y，则z =(),x y 到原点的距离，再利用点到直线的距离公式即可求解z 的最小值.【详解】因为复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y，所以z =(),x y 到原点()0,0的距离； 当z 有最小值时，原点到直线上的点距离最小，即为原点到直线34150x y +-=的距离d ，3d ==，所以min 3z =.故答案为3.【点睛】 本题考查复数模的几何意义和点到直线的距离公式的应用，难度一般.复数模的几何意义就是复数(),z a bi a b R =+∈所对应的点(),Z a b 到坐标原点的距离.14．【解析】分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数又已知复数为纯虚数列出方程组求解即可得答案详解：又∵为纯虚数∴解得故答案为点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念以及学生的运算能 解析：12【解析】 分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数2a i i +-，又已知复数 2a i i +-为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案. 详解：()()()()()2212212 222555a i i a a i a i a a i i i i ++-+++-+===+--+， 又∵ 2a i i +-为纯虚数，∴2105 205a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得12a =，故答案为12．点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及学生的运算能力，是基础题．15．一【解析】由题意所以则则在复平面内对应的点为位于第一象限 解析：一【解析】由题意，223232334555i i z i i --===--，所以127255z z z i =+=-， 则7255z i =+，则z 在复平面内对应的点为72(,)55位于第一象限． 16．【解析】因为为方程两个根所以方程有虚根所以故故填解析：[0,8)【解析】因为,αβ为方程两个根，所以p αβ+=-，4αβ⋅=，方程有虚根，所以2160,44p p ∆=-<-<<，故2222()28[0,8)p αβαβαβ+=+-⋅=-∈，故填[0,8).17．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实 解析：5【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b a bi -18．38【解析】分析：把代入方程得再化简方程利用复数相等的概念得到pq 的值即得p+q 的值详解：把代入方程得所以所以所以所以p+q=38故答案为38点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根意在考查学生解析：38【解析】分析：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，再化简方程利用复数相等的概念得到p,q 的值，即得p+q 的值.详解：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，所以2(4912)230i pi p q -+-+-+=，所以1024230,(224)1030i pi p q p i p q -+-+=∴-+-+=，所以2240,12,24.1030p p q p q -=⎧∴==⎨-+=⎩所以p+q=38.故答案为38. 点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且. 19．3【解析】由于为纯虚数则得故故答案为3解析：3【解析】由于()()21z m m i ++＝－为纯虚数，则20{10m m -=+≠，得2m =，3i z =， 故3z =，故答案为3.20．【解析】试题分析：考点：解析：2【解析】试题分析： ()()()i 1i i 1i ,1i 1i 1i 22z z -+====++-. 考点：三、解答题21．（1）1+i ；（2）﹣2.【分析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中z =实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z 的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R;由|z |=得x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0,z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2,所以xy =1;解得x=1,y=1;所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.22．（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；【分析】（1）由z 可确定方程两根为,i i -，由韦达定理可求得结果；（2）可确定1z +，1z +为方程的两根，令z a bi =+，韦达定理可得()111z z +⋅+=；令1cos a θ=-+，sin b θ=，利用两点间距离公式可表示出PQ ，利用三角函数的知识求得范围.【详解】（1）当1z i =-+时，1z i +=∴方程20x mx n ++=的两根分别为：,i i -()()i i m i i n ⎧+-=-⎪∴⎨⋅-=⎪⎩，即0m =，1n = （2）当1n =时，方程为210x mx ++= 1z ∴+，1z +为方程的两根设(,)z a bi a b R =+∈，则11z a bi +=++，11z a bi +=+-()()221111z z a b ∴+⋅+=++=设1cos a θ=-+，sin b θ=，[)0,2θ∈πPQ ∴=== 其中3tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()[]sin 1,1θϕ+∈- []4,6PQ ∴∈即PQ 的取值范围为[]4,6【点睛】本题考查复数的定义、几何意义的应用，涉及到复数对应的复平面当中的点的知识；关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根，利用韦达定理构造等量关系.23．-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或. 【解析】分析：将z=1+i ,z 1i =-代入条件式整理,根据两个复数相等的条件求a,b.详解：∵z=1+i,∴az+2()()bz a 2b a 2b i,=++-(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a 2+4a)+4(a+2)i.∵a,b ∈R,∴由复数相等,22a 4,-24(2).a b a a b a ⎧+=+⎨=+⎩得∴两式相加整理,-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩得或 ∴所求实数-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩为或 点睛：（1）本题主要考查复数相等的概念，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且.24．（1）8=3a -；（2）8|233a a ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭。

模块综合测评(一)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知复数z1=2+i,z2=1+3i,则复数z=在复平面内所对应的点位于() 第二象限A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限第四象限解析:复数z=i, z对应的点的坐标为位于第四象限.答案:D 2.等于() A. B.C. D.1 解析:∵i, ∴.答案:B 3.下列说法错误的是() 球的体积与它的半径具有相关关系A.球的体积与它的半径具有相关关系B.计算误差、测量误差都将影响到残差的大小计算误差、测量误差都将影响到残差的大小C.在回归分析中R2的值越接近于1,说明拟合效果越好说明拟合效果越好D.在独立性检验中,K2的观测值k越大,说明确定两个分类变量有关系的把握越大说明确定两个分类变量有关系的把握越大 解析:A中球的体积与球的半径是函数关系,不是相关关系.B,C,D都正确.答案:A 4.在△ABC中,=a,=b,且a·b>0,则△ABC是() 锐角三角形A.锐角三角形B.直角三角形直角三角形C.钝角三角形钝角三角形D.等腰直角三角形等腰直角三角形cos(ππ-∠ABC)>0, 解析:由于a·b>0,即|a||b|cos(即cos∠ABC<0.又∵0<∠ABC<π, ∴∠ABC是钝角.∴△ABC是钝角三角形.答案:C 5.设回归方程=7-3x,当变量x增加两个单位时() 个单位A.y平均增加3个单位B.y平均减少3个单位个单位C.y平均增加6个单位个单位D.y平均减少6个单位个单位解析:由回归方程可知,y与x是负相关,x每增加2个单位,y平均减少6个单位.答案:D 6.在如图所示的程序框图中,输入a=,b=,则输出c=() A. B.C.1D.0 故输出c=|tan 解析:由程序框图知,当输入a=,b=时,tan a=-,tan b=-,则tan a>tan b.故输出a|=.答案:A 7.观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的特点,第100项为() A.10B.14 C.13D.100 解析:由于1有1个,2有2个,3有3个,…,则13有13个,所以1~13的总个数为=91,故第100个数为14答案:B 8.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知:四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,四面体S-ABC 的体积为V,则r=() A.B.C.D.解析:设四面体S-ABC的内切球球心为O,那么由V S-ABC=V O-ABC+V O-SAB+V O-SAC+V O-SBC, 即V=S1r+S2r+S3r+S4r, 可得r=.答案:C 9.等于() A.2i B.-1+i C.1+i D.-1 解析:∵=i, ∴=i2014=(i2)1007=-1.答案:D 10.已知两条直线m,n,两个平面α,β.给出下面四个命题:①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是() ②④A.①③B.②④C.①④D.②③②③解析:由α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n或m,n异面, ∴②错;由m∥n,m∥α⇒n∥α或n⊂α, ∴③错.故选C.答案:C 11.已知f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2,则f(1)+f(2)+…+f(n)不等于() A.f(1)+2f(1)+…+nf(1) B.fC.n(n+1) D.n(n+1)f(1) 解析:由f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2,知f(2)=f(1)+f(1)=2f(1),f(3)=f(2)+f(1)=3f(1),…,f(n)=nf(1), ∴f(1)+f(2)+…+f(n)=(1+2+…+n)f(1)=f(1)=n(n+1).答案:D 12.如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给A,B,C,D四个维修点某种配件各50件,在使用前发现需将A,B,C,D四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件,但调整只能在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为() A.15B.16C.17D.18 解析:方法一:若AB之间不相互调动, 则A调出10件给D,B调出5件给C,C再调出1件给D,即可满足调动要求,此时共调动的件次n=10+5+1=16; 若AB之间相互调动,则B调动4件给C,调动1件给A,A调动11件给D,此时共调动的件次n=4+1+11=16.所以最少调动的件次为16,故应选B. 方法二:设A调动x件给D(0≤x≤10),则调动了(10-x)件给B,从B调动了5+10-x=(15-x)件给C,C调动出了15-x-4=(11-x)件给D,由此满足调动需求,此时调动件次n=x+(10-x)+(15-x)+(11-x)=36-2x,当且仅当x=10时,n取得最小值16,故应选B.答案:B 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13.已知复数z=(m∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则m的值是的值是 .解析:z=, ∴=0,且≠0.∴m=-1答案:-1 14.按如图所示的程序框图运算,若输入x=8,则输出k=.解析:输入x=8时,k=0, 第一次循环,x=2×8+1=17,k=1,x<115; 第二次循环,x=2×17+1=35,k=2,x<115; 第三次循环,x=2×35+1=71,k=3,x<115; 第四次循环,x=2×71+1=143,k=4,x>115, 输出x=143,k=4.答案:4 15.观察下列式子1+,1+,1+,…,则可归纳出则可归纳出 .解析:根据三个式子的规律特点进行归纳可知,1++…+(n∈N*).答案:1++…+(n∈N*) 16.已知x,y取值如下表:x0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 从所得的数点图分析可知,y 与x 线性相关,且=0.95x+,则的值为的值为 . 解析:×(0+1+4+5+6+8)=4, ×(1.3+1.8+5.6+6.1+7.4+9.3)=5.25, 又=0.95x+必过样本中心点(),即(4,5.25),于是有5.25=0.95×4+a ,解得a=1.45.答案:1.45 三、解答题(本大题共6小题,共74分) 17.(12分)调查某桑场采桑员和患桑毛虫皮炎病的情况,结果如下表:采桑采桑 不采桑不采桑 总计总计患者人数患者人数 18 12 健康人数健康人数 5 78 总计总计利用独立性检验估计“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关,并求出认为两者有关系犯错误的概率是多少. (注:K 2=,其中n=a+b+c+d.P (K 2≥k ) 0.005 0.001 k7.879 10.828 ) 解:因为a=18,b=12,c=5,d=78,所以a+b=30,c+d=83,a+c=23,b+d=90,n=113, 所以K 2的观测值k==≈39.6>10.828.所以有99.9%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系,认为两者有关系会犯错误的概率是0.1%.18.(12分)已知x 2-(3-2i)x-6i =0,i 为虚数单位. (1)若x ∈R ,求x 的值; (2)若x ∈C ,求x 的值.分析:(1)利用复数相等的充要条件可直接求解;(2)中要求x 的值,就应先设出x 的代数形式再利用复数相等的充要条件求解. 解:(1)当x ∈R 时,由已知方程, 得(x 2-3x )+(2x-6)i =0, 则解得x=3.(2)当x∈C时,设x=a+b i(a,b∈R),将其代入已知方程, 整理,得(a2-b2-3a-2b)+(2ab-3b+2a-6)i=0.则解得故x=-2i或x=3.19.(12分)已知△ABC的三边长为a,b,c,且其中任意两边长均不相等.若成等差数列.(1)比较的大小,并证明你的结论; (2)求证角B不可能是钝角.(1)解:大小关系为.证明如下: 要证,只需证∵a,b,c>0,∴只需证b2<ac.∵成等差数列, ∴≥2.∴b2≤ac.又△ABC的任意两边长均不相等,即a,b,c任意两数不相等,∴b 2<ac成立故所得大小关系正确,即.(2)证明:假设角B是钝角,则cos B<0, 而cos B=>0.这与cos B<0矛盾,故假设不成立, 即角B不可能是钝角.20.(12分)已知f(x)=,且f(1)=log162,f(-2)=1.(1)求函数f(x)的表达式; (2)已知数列{x n}的项满足x n=[1-f(1)]·(1)]·[1[1-f(2)]·…·[1-f(n)],试求x1,x2,x3,x4; (3)猜想{x n}的通项.解:(1)把f(1)=log162=,f(-2)=1代入f(x)=,得整理,得解得所以f(x)=(x≠-1).(2)x1=1-f(1)=1-, x2=, x3=, x4=(3)由(2),得x1=,x2=,x3=,x4=,可变形为,…,从而可归纳出{x n}的通项x n=.21.(12分)某市公交车票价按下列规则定价:(1)5公里以内(包括5公里),票价2元;(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算).已知相邻两个公共汽车站之间相距约1公里,如果沿途(包括起点站和终点站)共有16个汽车站,请设计一个算法求出某人坐车x公里所用的票价,画出程序框图.解:依题意得,某人坐车x公里所用的票价y=程序框图如下: 22.(14分)设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+b i,z2=cos A+icos B,若复数z1·z2为纯虚数,试判断△ABC的形状,并说明理由.解:△ABC为等腰三角形或直角三角形.理由:∵z1=a+b i,z2=cos A+icos B, ∴z1z2=(a cos A-b cos B)+i(a cos B+b cos A).又∵z1z2为纯虚数, ∴由①及正弦定理, 得sin A cos A=sin B cos B, 即sin 2A=sin 2B.∵A,B为△ABC的内角, ∴0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π∴2A=2B或2A=π-2B, 即A=B或A+B=, 也就是A=B或C=.由②及正弦定理,得sin A cos B+sin B cos A≠0, 即sin(A+B)≠0∵A,B是△ABC的内角, ∴0<A+B<π.∴sin(A+B)≠0成立.综上所述,知A=B或C=.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.。

3.1 数系的扩充和复数的概念(包括3.1.1 数系的扩充和复数的概念,3.1.2 复数的几何意义)姓名:___________班级:______________________1.复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为( )A.0或－1B.0C.1D.－12.下列说法正确的是( )A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等B.ai是纯虚数(a∈R)C.如果复数x＋yi(x、y∈R)是实数,则x＝0,y＝0D.复数a＋bi(a、b∈R)不是实数3.若复数z1＝sin2θ＋icosθ,z2＝cosθ＋θ( ∈R),z1＝z2,则θ等于( )A.kπ(k∈Z)B.2kπ＋πk(k∈Z)C.2kπ±πk(k∈Z) D.2kπ＋π6(k∈Z)4.已知复数z的模为2,则|z－i|的最大值为( )A.1B.25.下列命题中,正确命题的个数是( )①若x,y∈C,则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1;②若a,b∈R且a＞b,则a＋i＞b＋i;③若x2＋y2＝0,则x＝y＝0.A.0B.1C.2D.36.在复平面内,O为原点,向量OA对应的复数为－1＋2i,若点A关于直线y＝－x的对称点为点B,则向量OB对应的复数为( )A.－2－iB.－2＋iC.1＋2iD.－1＋2i7.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件8.两个不相等的复数z1＝a＋bi(a,b∈R),z2＝c＋di(c,d∈R),若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,则a,b,c,d之间的关系为( )A.a＝－c,b＝dB.a＝－c,b＝－dC.a＝c,b＝－dD.a≠c,b≠d10.i 为虚数单位,复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于原点对称,若z 1＝2－3i,则z 2＝________.11.已知z －|z|＝－1＋i,则复数z ＝______.12.已知复数z ＝22761a a a -+-＋(a 2－5a －6)i(a∈R ).试求实数a 分别为什么值时,z 分别为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？13.设复数z ＝2m ＋(4－m 2)i,当实数m 取何值时,复数z 对应的点:(1)位于虚轴上？(2)位于一、三象限？(3)位于以原点为圆心,以4为半径的圆上？14.已知z 为复数,若z 在复平面上对应的点在第四象限的角平分线上,且z =(1)求复数z ;(2)若复数z 满足1z ω-=,求ω的最小值.参考答案【答案】D【解析】∵z 为纯虚数,∴20,0,m m m ⎧+=⎨≠⎩∴m ＝－1,故选D.考点:复数的有关概念.【答案】A【解析】两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等,即它们的实部的差与虚部的差都为0,故A 正确;B 中当a ＝0时,ai 是实数0;C 中x ＋yi 是实数,只需y ＝0就可以了;D 中当b ＝0时,复数a ＋bi 为实数.考点:复数的有关概念.【答案】D【解析】由复数相等的定义可知,sin 2cos ,cos ,θθθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩∴cos θ＝2,sin θ＝12. ∴θ＝π6＋2k π,k ∈Z,故选D. 考点:复数的有关概念.【答案】D【解析】|z|＝2,复数z 对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上,|z －i|表示圆上的点到(0,1)的距离,则|z －i|的最大值为2＋1＝3.考点:复数的几何意义.5.A【解析】对①,由于x,y ∈C,所以x,y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部,故①是假命题; 对②,由于两个虚数不能比较大小,故②是假命题;③是假命题,如12＋i 2＝0,但1≠0,i≠0.考点:复数的有关概念.6.B【解析】复数－1＋2i 对应的点为A(－1,2),点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B(－2,1),所以OB 对应的复数为－2＋i.考点:复数的几何意义.7.B【解析】ab ＝0时,a ＝0或b ＝0,复数a －bi 为纯虚数时,a ＝0且b≠0,那么“ab＝0”是“复数a －bi 为纯虚数”的必要不充分条件,故选B.考点:复数的有关概念.8.A【解析】设z 1＝a ＋bi(a,b∈R )的对应点为P(a,b),z 2＝c ＋di(c,d∈R )的对应点为Q(c,d).∵P 与Q 关于y 轴对称,∴a＝－c,b ＝d.考点:复数的几何意义.9.1【解析】因为x,y∈R,所以利用两复数相等的条件有3,219,x y xx y y+=--⎧⎨-=-⎩解得4,5,xy=-⎧⎨=⎩所以x＋y＝1.考点:复数的有关概念.10.－2＋3i【解析】在复平面内,复数z＝a＋bi与点(a,b)一一对应.∵点(a,b)关于原点对称的点为(－a,－b),∴复数z2＝－2＋3i.考点:复数的几何意义.11.i【解析】解法一:设z＝x＋yi(x,y∈R),由题意,得x＋yi＝－1＋i,即(x)＋yi＝－1＋i.根据复数相等的条件,得1,1,xy⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得0,1,xy=⎧⎨=⎩∴z＝i.解法二:由已知可得z＝(|z|－1)＋i,等式两边取模,得|z|.两边平方,得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1⇒|z|＝1.把|z|＝1代入原方程,可得z＝i.考点:复数的有关概念.12.(1)a＝6(2)a∈(－∞,－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6,＋∞)(3)实数a不存在【解析】(1)当z为实数时,有a2－5a－6＝0, ①且22761a aa-+-有意义, ②解①得a＝－1或a＝6,解②得a≠±1,∴a＝6,即a＝6时,z为实数.(2)当z为虚数时,有a2－5a－6≠0, ③且22761a aa-+-有意义, ④解③得a≠－1且a≠6,解④得a≠±1,∴a≠±1且a≠6,∴当a∈(－∞,－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6,＋∞)时,z为虚数.(3)当z 为纯虚数时,2225607601a a a a a ⎧--≠⎪⎨-+=⎪-⎩，， 无解,∴不存在实数a 使z 为纯虚数.考点:复数的有关概念.13.(1)m ＝0(2)m ＜－2或0＜m ＜2(3)m ＝0或m ＝±2【解析】(1)复数z 对应的点位于虚轴上,则220,40m m =⎧⎨-≠⎩⇒m ＝0.∴m＝0时,复数z 对应的点位于虚轴上.(2)复数z 对应的点位于一、三象限,则2m·(4－m 2)＞0⇒m(m －2)(m ＋2)＜0⇒m ＜－2或0＜m ＜2.∴m＜－2或0＜m ＜2时,复数z 对应的点位于一、三象限.(3)复数z 对应的点位于以原点为圆心,以4为半径的圆上,则|z|4⇒m ＝0或m ＝±2.∴m＝0或m ＝±2时,复数z 对应的点位于以原点为圆心,以4为半径的圆上.考点:复数的几何意义.14.(1)=44i z -(2)1【解析】(1)依题意设=i(,0)z a a a a -∈>R ,因为z =所以2232a a +=, 则4,a =±又0a >,所以4a =,故=44i z -.(2)由(1)知=44i z -,设i(,)x y x y ω=+∈R ,因为1z ω-=,所以22(4)(4)1x y -++=,又ω＝故ω的最小值为原点到圆22(4)(4)1x y -++=上的点距离的最小值,因为原点到点(4,4)-=圆的半径1r =,原点在圆外,所以ω的最小值即为1.考点:待定系数法,复数的几何意义,数形结合法.。

3.2.2 复数的乘法和除法一、基础过关1．复数－i＋1i等于( )A．－2i B.12i C．0 D．2i2．i为虚数单位，1i＋1i3＋1i5＋1i7等于( )A．0 B．2i C．－2i D．4i 3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－14．在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．设复数z的共轭复数是z，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则实数t等于( )A.34B.43C．－43D．－346．若z＝1＋2ii，则复数z等于( )A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i 二、能力提升7．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．8．复数2i－1＋3i的虚部是________．9．已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z＝________.10．计算：(1)2＋2i－2＋(21＋i)2 010；(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．11．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.12．已知复数z的共轭复数为z，且z·z－3i z＝101－3i，求z.三、探究与拓展13．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试说明1－i也是方程的根吗？答案1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 7．1 8．－129．－2i10．解 (1)2＋2i －2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i ＋(22i ) 1 005＝i(1＋i)＋(1i )1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1. (2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i.11．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.12．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i， ∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝＋10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ， ∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－3.∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.13．解 (1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0， 即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎨⎧b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎨⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i 也是方程的一个根．。