１
竞赛试题1 一、填空：
1．若()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=,x ,a x ,x f x x
x
01e 0,arctan e 122
sin 是()+∞∞-,上的连续函数，则a = 。 2．函数x x y 2sin +=在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ππ,2上的最大值为 。
3．()=+⎰
--2
2
d e
x x x x
4．由曲线⎩⎨⎧==+0
12
2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()
230,,处的指向外侧的单位法向量为
5．设函数()x,y z z =由方程2e =+----x y z x x y z 所确定，则=z d 二、选择题：
1． 设函数f (x )可导，并且()50='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x 处微分d y 是y ∆的（ ） （A ）等价无穷小； （B ）同阶但不等价的无穷小； （C ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小。
2． 设函数f (x )在点x = a 处可导，则()x f 在点x = a 处不可导的充要条件是（ ） （A ）f (a ) = 0，且()0='a f ； （B ）f (a )≠0，但()0='a f ； （C ）f (a ) = 0，且()0≠'a f ； （D ）f (a )≠0，且()0≠'a f 。 3． 曲线12+-+=x x x y （ ）
（A ）没有渐近线； （B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线； （C ）有一条铅直渐近线； （D ）有两条水平渐近线。
4．设()()x,y x,y f ϕ与均为可微函数，且()0≠'x,y y ϕ。已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ϕ下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ ）
（A ）若()000=',y x f x ，则()000=',y x f y ； （B ）若()000=',y x f x ，则()000≠',y x f y ； （C ）若()000≠',y x f x ，则()000=',y x f y ； （D ）若()000≠',y x f x ，则()000≠',y x f y 。 5．设曲面(){}
0Σ2222≥=++=,z k z y x x,y,z 的上侧，则下述曲面积分不为零的是（ ） （A ）⎰⎰∑
z y x d d 2； （B ）⎰⎰∑
z y x d d ；
（C ）⎰⎰∑
x z z d d ； （D ）⎰⎰∑
y x y d d 。
三、设函数f (x )具有连续的二阶导数，且()0lim
=→x x f x ，()40=''f ，求()x
x x x f 1
01lim ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+→。
２
四、设函数()x y y =由参数方程()1d e 212ln 11
2>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t ,u u y ,t x t u 所确定，求9d d 2
2
=x x y 。 五、设n 为自然数，计算积分()⎰
+=20
d sin 12sin π
n x x
x
n I 。
六、设f (x )是除x = 0点外处处连续的奇函数，x = 0为其第一类跳跃间断点，证明()⎰x t t f 0
d 是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。 证明：
七、设f (u , v )有一阶连续偏导数，()()xy ,y x f z cos 22-=，ϑϑsin cos r y ,r x ==，证明：
()xy v
z y u z x z r r z sin 2sin 1cos ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ϑϑϑ。 八、设函数f (u )连续，在点u = 0处可导，且f (0)= 0，()30-='f 求：(
)
⎰⎰⎰≤++→++2
222d d d 1
lim
2224
t z y x t z y x z y x f πt 。
九、计算⎰
+++-=L y
x x y
x x y I d d ，其中L 为1=++y x x 正向一周。
十、⑴ 证明：当x 充分小时，不等式422tan 0x x x ≤-≤成立。
⑵ 设∑=+=n
k n k
n x 12
1tan ，求n n x ∞
→lim 。
十一、设常数1ln2->k ，证明：当x > 0且x ≠ 1时，()()01ln 2ln 12>-+--x k x x x 。
证明：
十二、设匀质半球壳的半径为R ，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l 的均匀细棒，其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a ，a > R ，求此半球壳对棒的引力。 竞赛试题2 一、选择题
1. 下列命题中正确的命题有几个？（ ）
（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. 2. 设 1, 0()0, 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩，1sin , 0() 1 , 0
x x g x x
x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩ 则0x =是间断点的函数是（ ）
(A)
()()f x g x +； (B) ()()f x g x -； (C) {}max (), ()f x g x ；
(D) {}min (), ()f x g x ..
3. 设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 2
2
lim
b b ξ→=（
）
(A) 1； (B) 1
2
； (C) 13 ； (D)
14
.
4. 设
() , ()f x g x 连续，当0→x 时，()f x 与()g x 为等价无穷小，令0
()()x F x f x t dt
=-⎰，
1
() () G x x g xt dt =⎰, 则当0→x 时，() ()F x G x 是的 （ ）
