[推荐学习]高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的基本定理课后训

§3．1.2空间向量的数乘运算知识点一空间向量的运算已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体.(1>化简(2>设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点,设,试求α,β,γ的值.解 (1>方法一取AA′的中点为E,则又取F为D′C′的一个三等分点(D′F=D′C′>,则D′F=∴+ +=+ + =方法二取AB的三等分点P使得,取CC′的中点Q,则+ +=(2>== =∴α＝错误!，β＝错误!，γ＝错误!.【反思感悟】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算．本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法．b5E2RGbCAP如图所示,平行六面体A1B1C1D1-ABCD，M分成的比为错误!，N分错误!成的比为错误!，N分错误!成的比为2，设＝a，错误!＝b，错误!＝c，试用a、b、c表示，p1EanqFDPw解=＝－错误!(a＋b>＋c＋错误!(－c＋b>＝－错误!a＋错误!b＋错误!c知识点二共线问题设空间四点O，A，B，P满足其中m+n=1，则<）A．点P一定在直线AB上B．点P一定不在直线AB上C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D.与错误!与错误!的方向一定相同DXDiTa9E3d答案A解读已知m+n=1，则因为≠ 0.所以和共线，即点A，P，B共线，故选A.【反思感悟】<1）考察点P是否在直线AB上，只需考察与是否共线；<2）解决本题的关键是利用条件m+n=1把证明三点共线问题转化为证明与是否共线.已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，求α+β的值.解∵A、B、P三点共线，由共线向量知，存在实数t，使=t由=，=代入得：；又由已知，∴α＝1－t，β＝t，∴α＋β＝1.知识点三共面问题已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1>求证：E，F，G，H四点共面；(2>求证：BD∥平面EFGH.证明 (1>由已知得EF綊HG，∴∵,不共线，∴共面且有公共点G，∴E，F，G，H四点共面.<2）∵与不共线，∴错误!，错误!，错误!共面．RTCrpUDGiT由于BD不在平面EFGH内，所以BD∥平面EFGH.【反思感悟】利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练的进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．5PCzVD7HxA用向量法证明：空间四边形ABCD的四边中点M，N，P，Q共面．证明△AMQ中,=△CNP中, =所以,所以M,N,P,Q四点共面.课堂小结：1．向量共线的充要条件及其应用(1>空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a∥b时，也具有同样的意义．jLBHrnAILg(2>“共线”这个概念具有自反性a∥a，也具有对称性，即若a∥b，则b∥a.(3>如果应用上述结论判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b>上有一点不在b(或a>上．＝λ错误!或＝μ错误!即可．也可用“对空间任意一点O，有错误!＝t错误!＋(1－t>错误!”来证明三点共线．xHAQX74J0X 2．向量共面的充要条件的理解＝x错误!＋y错误!.满足这个关系式的点P都在平面MAB 内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．LDAYtRyKfE(2>共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z>使得对于空间任意一点O，有＝(1－t>错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!，且x＋y＋z＝1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．Zzz6ZB2Ltk课时作业一、选择题1．下列命题中是真命题的是(>A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C.若向量满足||>||，且与同向，则>D.若两个非零向量与满足+ =0，则∥错误!答案D解读A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有>错误!这种写法．dvzfvkwMI1D．对.∵ +=0,∴=，∴与共线，故∥，正确.2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( >A．＋错误!＝错误!B．－错误!＝错误!C．＝错误!D．||＝|错误!|答案C3．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是( > A．＝2错误!－错误!－错误!rqyn14ZNXIB．＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!EmxvxOtOcoC．＋错误!＋错误!＝0D．＋错误!＋错误!＋错误!＝0SixE2yXPq5答案C解读若有＝x错误!＋y错误!，则M与点A、B、C共面，或者错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!且x＋y＋z＝1，则M与点A、B、C 共面，A、B、D三项不满足x＋y＋z＝1，C项满足错误!＝x错误!＋y错误!，故选C.6ewMyirQFL4．已知向量a与b不共线，则a，b，c共面是存在两个非零常数λ，μ使c＝λa＋μb的(>A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解读验证必要性时，当a，b，c共面且a∥c(或b∥c>时不能成立，不能使λ，μ都非零．5.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量是<）A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量答案C解读如图所示，因为而,∴，即,而与不共线，所以，，三向量共面.二、填空题6．已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有＝2错误!＋错误!＋λ错误!，则λ＝________.kavU42VRUs答案－2解读P与不共线三点A，B，C共面，且＝x错误!＋y错误!＋z错误!(x，y，z∈R>，则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件．y6v3ALoS897．三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”>．M2ub6vSTnP 答案共面解读因xa－yb，yb－zc，zc－xa也是三个向量，且有zc－xa ＝－(yb－zc>－(xa－yb>所以三向量共面．0YujCfmUCw8.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点 F.若a,B = b,则等于________．eUts8ZQVRd答案错误!a＋错误!b三、解答题9 如图所示，E，F，G，H分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点．sQsAEJkW5T求证：(1>E，F，D，B四点共面；(2>平面AEF∥平面BDHG.证明<1）∵,∴共面且具有公共点E，∴E，F，D，B四点共面.(2>∵E，F，G，H分别是A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点，＝错误!错误!＝错误!，GMsIasNXkA＝错误!＋错误!＝错误!，TIrRGchYzg ∴EF∥GH，AF∥BG，∴EF∥平面BDHG，AF∥平面BDHG，又AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面BDHG.7EqZcWLZNX 10．对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线与另一对边平行于同一平面．证明 . 如图，利用多边形加法法则可得，,又E，F分别是AB，CD的中点，故有将②代入①后，两式相加得2＝错误!＋错误!，NrpoJac3v1∴，即错误!与错误!，错误!共面，1nowfTG4KI∴EF与AD，BC平行于同一平面．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

2．在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c， 则D→1B等于( ) A．a＋b＋c B．a＋b－c C．a－b－c D．－a＋b＋c 解析：选 C．画图可得D→1B＝A→B－A→D1＝A→B－(A→A1＋A→1D1)＝A→B －(A→A1＋A→D)＝a－b－c.
1．对空间向量加减运算的认识 减法运算是加法运算的逆运算，可以在理解相反向量的基础上， 结合向量的加法运算掌握减法运算，并会利用三角形作出减向 量． 2．关于空间向量加法的运算需注意的几点 (1)首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起点指向最后向 量的终点的向量． (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍然成立．
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点： ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是 1. ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相 等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方 向相反，则它们为相反向量．
(2)如图所示，在以长、宽、高分别为 AB＝3，AD＝2，AA1＝1 的长方体 ABCD-A1B1C1D1 的八个顶点中的两点为起点和终点的 向量中，
①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量．
【解】 (1)①正确；②正确，因为A→A1与C→1C的大小相等方向相 反，即为互为相反向量，所以A→A1＝－C→1C；③|a|＝|b|，不能确 定其方向，所以 a 与 b 的方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，才有A→B＋A→D＝A→C. 综上可知，正确命题为①②.故填①②.
3．利用向量证明几何问题的常用方法 (1)正确分析被证向量式与题目中的特殊点、特殊线段之间的关 系； (2)正确运用三角形法则与平行四边形法则，用要证明的某一向 量构建三角形或平行四边形； (3)掌握常用向量变换技巧．

【解析】
原式＝
1 2
a＋b－
3 2
c＋
10 3
a－
5 2
b＋
10 3
c－3a＋6b－3c＝
12＋130－3
a＋
1－52＋6b＋－32＋130－3c＝56a＋92b－76c.
【答案】 56a＋92b－76c
4．若把空间内平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置于同 一点，则这些向量的终点构成的图形是________．
1．下列命题中，假命题是( ) A．向量A→B与B→A的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．单位向量都相等 【解析】 单位向量是模为1的向量，它的方向没有限制．但两个向量相等 必须同时满足模相等，且方向相同，故D错误． 【答案】 D
2.如图3-1-8所示，空间四边形OABC中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，点M在OA 上，且O→M＝2M→A，N为BC中点，则M→N等于( )
＝－O→A＋12(O→D＋A→B) ＝－O→A＋12O→D＋12(O→B－O→A) ＝－32O→A＋12O→D＋12O→B， ∴x＝12，y＝－32.
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________

表示如图．
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
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类型3 空间向量加减运算的应用(误区警示)
[典例3]
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，化简
→ DA
－
→ DB
＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B.
证明：如图所示，平行六面体 ABCD-A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，
则A→O＝12A→C′＝12(A→B＋A→D＋A→A′)． 设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点． 则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12B→D′＝A→B＋12·(B→A＋B→C＋
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(3)用已知向量表示指定向量的方法． 用已知向量来表示指定向量时，常结合具体图形．通 过向量的平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三 角形或四边形中，通过向量的运算性质将指定向量表示出 来，然后转化为已知向量的线性式．
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[变式训练] (1)下列命题中假命题的个数是( )
①向量A→B与B→A的长度相等；
②空间向量就是空间中的一条有向线段；
③不相等的两个空间向量的模必不相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝4，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八 个顶点中的两点为起点和终点的所有向量