“一线三等角”基本图形解决问题
三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位，在学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型，对分析问题、解决问题有化繁为简的效果。在近几年的中考题中，经常可以看到“一线三等角”的数学模型，所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等。所以，只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型，也会存在相似三角形，当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了，综合性题目往往就会把相似和全等的转化，作为出题的一种形式，需要大家注意。本文将重点对这一基本图形进行探讨。通过对题目的有效分解，打破同学们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题，并加强题后反思，培养他们解题的能力。 一、知识梳理：
（1）四边形ABCD 是矩形，三角板的直角顶点M 在BC 边上运动，直角边分别与射线BA 、
射线CD 交于E 、F ，在运动过程中，△EBM ∽△MCF.
（2）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有
F
D
B M C
△ABD∽△DEC.
如图2：已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有△DBE∽△ECF.
（图1）（图2）
二、【例题解析】
【例1】(2014四川自贡）阅读理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．
【练习】
1、已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，点P是AB
上的一个动点，且和点A,B 不重合，过点P作PE垂直DP，
交边BC于点E,设,PA=x，BE=y，求y关于x的函数关系
式，并写出x的取值范围 .
2、如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连接ON，若ON=8，求MQ的长.
3. 如图，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常数)，BC=8,E为线段BC上的动点（不与BC重合）.连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x,BF=y,
(1)求y关于x的函数关系式
（2）若m=8，求x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
（3）若12
y
m
，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
【例2】等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.
（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE 的长.
F
A
B C
D
E
图1 图2 图3
分析过程：（1）△EPF 为等边三角形. （2）设BP=x ，则CP ＝6－x. 由题意可 △BEP
2x . △CFP
2)x -.△ABC
的面积为. 设四边形AEPF 的面积为y. ∴
y =
2
x 2)x -
=2+-自变量x 的取值范围为3＜x ＜6. （3）可证△EBP ∽△PCF.∴
BP BE
CF CP
=
.设BP=x ， 则 (6)8x x -=. 解得 124,2x x ==.∴ PE 的长为4
或
【练习】.如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、
C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ；
（1）求证：△ABP ∽△PCM ；
（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）当△APM 为等腰三角形时，求PB 的长．
（4) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．
A
【例3】在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o
是AB 上的一点，且
5
2
=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ
【练习】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o
是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE = (2)、当
m DB
AD
=，求DF DE 的值
