习题三：
● 证明：e 是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意u ∈V 1及v ∈V 2, G 中的路（u ，v ）必含e .
证明：充分性: e 是G 的割边，故G −e 至少含有两个连通分支，设V 1是其中一个连通分支的顶点集，V 2是其余分支的顶点集，对12,u V v V ∀∈∀∈，因为G 中的u,v 不连通，而
在G 中u 与v 连通，所以e 在每一条(u,v)路上，G 中的(u,v)必含e 。
必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设G 中所有(u,v)路均含有边e ，从而在G −e 中不存在从u
与到v 的路，这表明G 不连通，所以e 是割边。
● 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价：
（1） G 是块
（2） G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上；
（3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。
（1）→（2）：
G 是块，任取G 的一点u ，一边e ，在e 边插入一点v ，使得e 成为两条边，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，由定理，G 中的u,v 位于同一个圈上，于是G 1中u 与边e 都位于同一个圈上。
（2）→（3）：
G 无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G 的点u ，边e ，若u 在e 上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如u 不在e 上，由定理，e 的两点在同一个闭路上，在e 边插入一个点v ，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。
（3）→（1）：
G 连通，若G 不是块，则G 中存在着割点u ，划分为不同的子集块V 1, V 2, V 1, V 2无环，12,x v y v ∈∈，点u 在每一条(x,y)的路上，则与已知矛盾，G 是块。
● 7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图G ̅的割点。
证明：v 是单图G 的割点，则G −v 有两个连通分支。现任取x,y ∈V(G −v), 如果x,y 不在G −v 的同一分支中，令u 是与x,y 处于不同分支的点，那么，x,与y 在G −v 的补图中连通。若x,y 在G −v 的同一分支中，则它们在G −v 的补图中邻接。所以，若v 是G 的割点，则v 不是补图的割点。
● 12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。
解：()12G κ= 最小点割 {6,8}
1()2G λ= 最小边割{（6,5），（8,5）}
()25G κ= 最小点割{6,7,8,9,10}
2()5G λ= 最小边割{（2,7）…（1,6）}
13.设H 是连通图G 的子图，举例说明：有可能k(H)>
k(G).
解：
通常k (H )整个图为G ，割点e 左边的图H 为G 的的子图，k (H )=3 k (G )=1，则k (H )>k(G). e
H
