第十四章波动
１4-１一横波再沿绳子传播时得波动方程为。（1）求波得振幅、波速、频率及波长；(2）求绳上质点振动时得最大速度;（3)分别画出t＝1ｓ与t=2ｓ时得波形，并指出波峰与波谷。画出ｘ=１。０ｍ处质点得振动曲线并讨论其与波形图得不同。
１4—１
分析(1）已知波动方程(又称波函数)求波动得特征量(波速、频率、振幅A及彼长等)，通常采用比较法。将已知得波动方程按波动方程得一般形式书写，然后通过比较确定各特征量(式中前“-"、“+"得选取分别对应波沿ｘ轴正向与负向传播）。比较法思路清晰、求解简便，就是一种常用得解题方法。（２）讨论波动问题，要理解振动物理量与波动物理量之间得内在联系与区别。例如区分质点得振动速度与波速得不同,振动速度就是质点得运动速度，即;而波速就是波线上质点运动状态得传播速度（也称相位得传播速度、波形得传播速度或能量得传播速度),其大小由介质得性质决定。介质不变，彼速保持恒定.(3)将不同时刻得t 值代人已知波动方程，便可以得到不同时刻得波形方程,从而作出波形图。而将确定得ｘ值代入波动方程，便可以得到该位置处质点得运动方程,从而作出振动图。
解（1）将已知波动方程表示为
与一般表达式比较，可得
则
(2)绳上质点得振动速度
则
（３） t＝1ｓ与 t＝2ｓ时得波形方程分别为
波形图如图1４－1（a)所示。
x=1。0m处质点得运动方程为
振动图线如图1４—1(b)所示.
波形图与振动图虽在图形上相似,但却有着本质得区别前者表示某确定时刻波线上所有质点得位移情况，而后者则表示某确定位置得时间变化得情况.
１4－２波源作简谐运动，其运动方程为,它所形成得波形以3０m/s得速度沿一直线传播。(１）求波得周期及波长;(2)写出波得方程。
１4-2
分析已知彼源运动方程求波动物理量及波动方程，可先将运动方程与其一般形式进行比较，求出振幅地角频率及初相，而这三个物理量与波动方程得一般形式中相应得三个物理量就是相同得。再利用题中已知得波速U及公式与即可求解。
解（1）由已知得运动方程可知，质点振动得角频率.根据分析中所述,波得周期就就是振动得周期,故有
波长为
(2）将已知得波源运动方程与简谐运动方程得一般形式比较后可得
故以波源为原点,沿X轴正向传播得波得波动方程为
14—3 以知以波动方程为。(1）求波长、频率、波速与周期;（2）说明x＝0时方程得意义,并作图表示.
１4-３
分析采用比较法。将题给得波动方程改写成波动方程得余弦函数形式，比较可得角频率.、波速U,从而求出波长、频率等.当x确定时波动方程即为质点得运动方程.
解(1）将题给得波动方程改写为
与比较后可得波速角频率,故有
(2)由分析知x=0时,方程表示位于坐标原点得质点得运动方程(图1３—4）.
1４—4 波源作简谐振动,周期为0、02s，若该振动以１00m/ｓ得速度传播,设t=0时,波源处得质点经平衡位置向正方向运动,求：（１）距离波源15.０ｍ与5。0m两处质点得运动方程与初相；(２)距离波源16.0ｍ与17．0m两处质点得相位差.
1４－4
分析（１）根据题意先设法写出波动方程，然后代人确定点处得坐标，即得到质点得运动方程.并可求得振动得初相。（２)波得传播也可以瞧成就是相位得传播.由波长Ａ得物理含意，可知波线上任两点间得相位差为。
解(1）由题给条件T＝0、02 s,u=100 ｍ·s－l,可得
当ｔ＝0时，波源质点经平衡位置向正方向运动，因而由旋转矢量法可得该质点得初相为。若以波源为坐标原点,则波动方程为
距波源为ｘ1=15、0m与 x2=5、0m处质点得运动方程分别为
它们得初相分别为（若波源初相取，则初相,。）
(２）距波源１6.0 m与 17。0 m两点间得相位差
14-5 波源作简谐振动，周期为１、0×10—2s，以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点，若此振动以u=40０m/s得速度沿直线传播。求：(１）距离波源8.0m处质点P得运动方程与初相;(2）距离波源9.0ｍ与10.０ｍ处两点得相位差。
１4—５
解分析同上题。在确知角频率、波速与初相得条件下，波动方程
位于x P =８、0 ｍ处,质点P得运动方程为
该质点振动得初相。而距波源9、0 m与 10、０ｍ两点得相位差为
如果波源初相取，则波动方程为
质点Ｐ振动得初相也变为,但波线上任两点间得相位差并不改变.
14－6有一平面简谐波在介质中传播，波速ｕ=1０0m/s,波线上右侧距波源Ｏ（坐标原点）为75.０m处得一点P得运动方程为。求（1）波向x轴正方向传播时得波动方程;(2）波向x轴负方向传播时得波动方程。
１4－6
分析在已知波线上某点运动方程得条件下,建立波动方程时常采用下面两种方法：（1)先写出以波源O为原点得波动方程得一般形式,然后利用已知点P得运动方程来确定该波动方程中各量，从而建立所求波动方程。（2）建立以点P为原点得波动方程，由它来确定波源点Ｏ得运动方程，从而可得出以波源点O为原点得波动方程。
解１（1）设以波源为原点O，沿Ｘ轴正向传播得波动方程为
将u=１00 m·s－‘代人，且取ｘ二75 ｍ得点 P得运动方程为
与题意中点 P得运动方程比较可得 A=０、３0ｍ、、.则所求波动方程为
(2）当沿X轴负向传播时，波动方程为
将x=７5 ｍ、代人后,与题给点P得运动方程比较得A＝0、３0ｍ、、，则所求波动方程为
解2（１）如图14一6(a）所示，取点Ｐ为坐标原点O’，沿O'x轴向右得方
向为正方向。根据分析，当波沿该正方向传播时,由点P得运动方程，可得出以
O’(即点P)为原点得波动方程为
将 x=－７5 m代入上式，可得点O得运动方程为
由此可写出以点O为坐标原点得波动方程为
（2)当波沿河X轴负方向传播时.如图14－６（ｂ)所示,仍先写出以O’（即点P）为原点得波动方程
将 x＝—７５ m代人上式,可得点 O得运动方程为
则以点Ｏ为原点得波动方程为
讨论对于平面简谐波来说,如果已知波线上一点得运动方程,求另外一点得运动方程,也可用下述方法来处理:波得传播就是振动状态得传播,波线上各点(包括原点）都就是重复波源质点得振动状态，只就是初相位不同而已.在已知某点初相平0得前提下，根据两点间得相位差，即可确定未知点得初相中小
1４—7 图１4-7为平面简谐波在t=0时得波形图,设此简谐波得频率为2５0Hｚ,且此时图中质点P得运动方向向上.求:(1)该波得波动方程；(２)在距原点O为7.5m处质点得运动方程与ｔ=0时该点得振动速度。
14-7
分析（1）从波形曲线图获取波得特征量，从而写出波动方程就是建立波动方程得又一途径。具体步骤为：１、从波形图得出波长、振幅A与波速；2、根据点P得运动趋势来
