§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式
2014高考会这样考 1.考查对充分条件、必要条件、充要条件的理解应用，主要以客观题形式出现；2.和其他数学知识相结合，考查充要条件的推理判断和命题的等价性．
复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．
1．充分条件、必要条件与充要条件
(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的充
要条件．
(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条
件．
p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．
2．命题的四种形式及真假关系
互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．
[难点正本疑点清源]
1．等价命题和等价转化
(1)逆命题与否命题互为逆否命题；
(2)互为逆否命题的两个命题同真假；
(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．
2．集合与充要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件；
(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A ⃘B ，且B ⃘A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
1．下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；
③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．(把所有真命题的序号填在横线上) 答案 ②③
解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题为“若ab ≠0，则a ≠0”，而由ab ≠0，可得a ，b 都不为零，故a ≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题． 2．“x >2”是“1x <1
2”的________条件．
答案 充分不必要
解析 ①x >2⇒2x >0⇒x 2x >22x ⇒1x <1
2，
∴“x >2”是“1x <1
2”的充分条件．
②1x <1
2
⇒x <0或x >2D ⇒/x >2. ∴“x >2”是“1x <1
2
”的不必要条件．
3．已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“a ＋b
2＝ab ”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为若a ＝b <0，则a ＋b 2≠ab ，所以充分性不成立；反之，因为a ＋b
2＝ab ⇔
a ＝
b ⇔a ＝b ≥0，所以必要性成立，故“a ＝b ”是“a ＋b
2＝ab ”的必要不充分条
件．
4．(2011·天津)设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的
( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析因为A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝(2，＋∞)，
B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，
所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，
C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2}
＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．
即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.
5．(2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析由条件推结论和结论推条件后再判断．
若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，
但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，
则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.
题型一命题的四种形式及其关系
例1已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是() A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题
B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题
C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题思维启迪：根据定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．
答案 D
解析命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．探究提高(1)熟悉概念是正确书写或判断命题的四种形式真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接
