2018届苏教版第七章 7.2一元二次不等式及其解法

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一、填空题

1．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于________．

解析：由题意：A＝{x|－1

由根与系数的关系可知：

a＝－1，b＝－2，

∴a＋b＝－3.

答案：－3

2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0

解析：依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，

整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200，

因为0

答案：150台

3．不等式2－xx－1≥0的解集是________．

解析：2－xx－1≥0等价于 x－1x－2≤0x≠1，

所以不等式2－xx－1≥0的解集为(1,2]．

答案：(1,2]

4．在R上定义运算⊗：x⊗y＝(1－x)(1＋y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则实数a的范围是________．

解析：由题知，(x－a)⊗(x＋a)＝(1－x＋a)(1＋x＋a)＝(1＋a)2－x2<1恒成立，即x2>(1＋a)2－1恒成立，故只要(1＋a)2－1<0恒成立，即a2＋2a<0，解得－2

答案：－2

5．设函数f(x)＝ －2 x>0x2＋bx＋c x≤0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不

. 等式f(x)≤1的解集为________．

解析：当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c且f(－4)＝f(0)，故其对称轴为x＝－b2＝－2，∴b＝4.又f(－2)＝4－8＋c＝0，∴c＝4，令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；当x>0时，f(x)＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞)．

答案：[－3，－1]∪(0，＋∞)

6．若关于x的不等式(2ax－1)·ln x≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的值为________．

第2讲 一元二次不等式及其解法

一、选择题

1．不等式x－2x＋1≤0的解集是( )

A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．(－1,2]

C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．[－1,2]

解析 ∵x－2x＋1≤0⇔ x＋x－，x＋1≠0⇔ －1≤x≤2，x≠－1，

∴x∈(－1,2]．

答案 B

2. 若集合{},{}xAxxBxx，则AB（ ）

A. {}xx B. {}xx

C. {}xx D.{}xx

解析 因为集合{},{}AxxBxx,所以AB{}xx,选B.

答案 B

3．设a>0，不等式－c

A．1∶2∶3 B．2∶1∶3

C．3∶1∶2 D．3∶2∶1

解析 ∵－c0，∴－b＋ca

∵不等式的解集为{x|－2

∴ －b＋ca＝－2，c－ba＝1，∴ b＝a2，c＝32a，

∴a∶b∶c＝a∶a2∶3a2＝2∶1∶3.

答案 B

4．不等式(x2－2)log2x>0的解集是 ( )．

A．(0,1)∪(2，＋∞) B．(－2，1)∪(2，＋∞)

C．(2，＋∞) D．(－2，2) 解析 原不等式等价于 x2－2>0，log2x>0或 x2－2<0，log2x<0.

∴x>2或0

答案 A

5．已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为 ( )．

A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)

1 7.2 一元二次不等式及其解法

1.“三个二次”的关系

判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图象

一元二次方程 有两个相异实根 有两个相等实根 没有实数根 2 ax2＋bx＋c＝0

(a>0)的根 x1，x2(x1

一元二次不等式

ax2＋bx＋c>0

(a>0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) (－∞，－b2a)∪

(－b2a，＋∞) R

一元二次不等式

ax2＋bx＋c<0

(a>0)的解集 (x1，x2) ∅ ∅

2.常用结论

(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法

不等式 解集

ab

(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}

(x－a)·(x－b)<0 {x|a

口诀：大于取两边，小于取中间.

【知识拓展】

(1)fxgx>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).

(2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )

(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ ) 3 (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( × )

(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.

( √ )

1.(教材改编)不等式x2－3x－10>0的解集是______________.

§7.2 一元二次不等式及其解法

1．“三个二次”的关系

判别式

Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

(a>0)的根 有两相异实根x1，x2

(x1

根x1＝x2

＝－b2a 没有实数根

ax2＋bx＋c>0

(a>0)的解集 {x|x

或x>x2} {x|x≠x1} {x|x∈R}

ax2＋bx＋c<0

(a>0)的解集 {x|x1< x

2.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法

不等式 解集

ab

(x－a)·

(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}

(x－a)·

(x－b)<0 {x|a

口诀：大于取两边，小于取中间．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若ax＋b>0，则x>－ba.( × )

(2)不等式－x2－5x＋6<0的解集为{x|x<－6或x>1}．( √ ) (3)不等式x－2x＋1≤0的解集是[－1,2]．( × )

(4)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ )

(5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )

(6)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( ×

)

1．函数f(x)＝3x－x2的定义域为________．

答案 [0,3]

解析 由3x－x2≥0得

x(x－3)≤0，∴0≤x≤3，

∴函数f(x)＝3x－x2的定义域为[0,3]．

2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是－12，－13，则不等式x2－bx－a<0的解集是________．

答案 (2,3)

解析 由题意知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋－13＝ba，－12×－13＝－1a.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a<0即为x2－5x＋6<0，解集为(2,3)．