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专题八 分类讨论题

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1 第8课时 分类讨论题 类型之一 直线型中的分类讨论 直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要. 1．（2008·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80° 2.(2008年•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 3. （2008·江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明. 类型之二 圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等． 4.（2008年•湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径 所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．

5.（2008年上海市）在△ABC中，AB=AC=5，3cos5B．如

果圆O的半径为10，且经过点B、C，那么线段AO的长等于 ．

6.（2008•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）． （1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式； （2）问点A出发后多少秒两圆相切？

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的． 分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． 2 类型之三 方程、函数中的分类讨论 方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况. 7.（2008·上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点． （1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长； （3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长． 8.（2008·福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直

角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标； （2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不

存在，请说明理由． 3

第8课时 分类讨论题 答案 1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。故顶角可能是50°或80°. 【答案】D . 2.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm，底边长是6cm时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm，地边长是3cm时能组成三角形． 【答案】D 3.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，BFBF，BFEBFE，从而可求得B′E=BF；第(2)小题要注意分类讨论. 【答案】（1）证：由题意得BFBF，BFEBFE， 在矩形ABCD中，ADBC∥，BEFBFE， BFEBEF， BFBE．BEBF． （2）答：abc，，三者关系不唯一，有两种可能情况： （ⅰ）abc，，三者存在的关系是222abc． 证：连结BE，则BEBE． 由（1）知BEBFc，BEc． 在ABE△中，90A，222AEABBE． AEa，ABb，222abc． （ⅱ）abc，，三者存在的关系是abc． 证：连结BE，则BEBE． 由（1）知BEBFc，BEc． 在ABE△中，AEABBE， abc． 4.【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。 【答案】 3＜r≤4或r＝2.4 5.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5，3cos5B，可得BC边上的高AD为4，圆O经过点B、C则O必在直线AD上，若O在BC上方，则AO=3，若O在BC下方，则AO=5。 【答案】3或5． 6.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论. 【答案】解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t； 当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t -11． （2）两圆相切可分为如下四种情况： ①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3； ②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t

＝311； ③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11； ④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13．

所以，点A出发后3秒、311秒、11秒、13秒两圆相切． 7.【解析】建立函数关系实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以AND，，为

顶点的三角形与BME△相似”，一定要注意分类讨论。

【答案】（1）取AB中点H，联结MH， M为DE的中点，MHBE∥，

1()2MHBEAD．

又ABBE，MHAB． 12ABMSABMH△，得12(0)2yxx；

（2）由已知得22(4)2DEx． 以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，

1122MHABDE，

即2211(4)2(4)222xx． 解得43x，即线段BE的长为43； 4

（3）由已知，以AND，，为顶点的三角形与BME△相似， 又易证得DAMEBM． 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADNBEM；②ADBBME． ①当ADNBEM时，ADBE∥， ADNDBE．DBEBEM． DBDE，易得2BEAD．得8BE； ②当ADBBME时，ADBE∥， ADBDBE． DBEBME．又BEDMEB， BEDMEB△∽△． DEBEBEEM，即2BEEMDE， 得2222212(4)2(4)2xxx． 解得12x，210x（舍去）．即线段BE的长为2． 综上所述，所求线段BE的长为8或2． 8.【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E为顶点、P为顶点、F为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决． 【答案】（1）(31)E，；(12)F，． （2）在RtEBF△中，90B， 2222125EFEBBF． 设点P的坐标为(0)n，，其中0n， 顶点(12)F，， 设抛物线解析式为2(1)2(0)yaxa． ①如图①，当EFPF时，22EFPF，

221(2)5n

．

解得10n（舍去）；24n． (04)P，．

24(01)2a

．

解得2a． 抛物线的解析式为22(1)2yx

②如图②，当EPFP时，22EPFP，

22(2)1(1)9nn

．

解得52n（舍去）． ③当EFEP时，53EP，这种情况不存在． 5

综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2yx

．

（3）存在点MN，，使得四边形MNFE的周长最小． 如图③，作点E关于x轴的对称点E，

作点F关于y轴的对称点F，连接EF，分别与x轴、y轴交于点MN，，则点MN，就是所求点．

(31)E，，

(12)FNFNFMEME，，，．

43BFBE，．

FNNMMEFNNMMEFE22345

．

又5EF， 55FNNMMEEF，此时四边形

MNFE的周长最小值是55．

C

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数学分类讨论的例题

数学分类讨论的例题

数学分类讨论的例题在数学学科中，分类讨论是解决问题的一种重要方法。

通过对问题进行合理的分类，可以将问题分解为较小、较简单的部分，从而更容易求解。

本文将针对数学分类讨论的例题进行详细阐述，帮助读者更好地理解和应用这一方法。

一、问题描述假设有一批水果，其中有苹果、梨子和桃子三种，共计20个。

已知：1. 每个篮子里至少有一个水果；2. 每个篮子里最多可以有8个苹果；3. 每个篮子里最多可以有7个梨子；4. 每个篮子里最多可以有6个桃子。

现在需要回答以下几个问题：1. 至少需要几个篮子才能将这批水果分装完毕？2. 若每个篮子内的水果总数相同，每个篮子里应该装多少个水果？二、问题分析首先，我们可以通过分类讨论的方法来解决这个问题。

我们可以将水果的种类与每个篮子里的水果总数作为分类的依据，具体分为以下几种情况：1. 第一种情况：每个篮子中只装有一种水果。

2. 第二种情况：每个篮子中装有两种水果。

3. 第三种情况：每个篮子中装有三种水果。

对于每种情况，我们分别分析并得出结论。

三、分类讨论1. 第一种情况：每个篮子中只装有一种水果。

假设每个篮子中只装有苹果，即每个篮子内只有苹果，不含其他水果。

由已知条件可知，每个篮子内最多可以放8个苹果。

因此，所需篮子的个数为20/8=2.5，即至少需要3个篮子才能将这批水果分装完毕。

每个篮子内的水果总数相同，为8个苹果。

同理，若每个篮子中只装有梨子或者桃子，也可得到类似的结论：- 每个篮子中只装有梨子时，所需篮子的个数为20/7≈2.86，即至少需要3个篮子；- 每个篮子中只装有桃子时，所需篮子的个数为20/6=3.33，即至少需要4个篮子。

2. 第二种情况：每个篮子中装有两种水果。

假设每个篮子中既有苹果又有梨子，即每个篮子内同时含有苹果和梨子。

根据已知条件：每个篮子内最多可以放8个苹果和7个梨子。

因此，所需篮子的个数至少为2，因为每个篮子放入3个苹果和3个梨子，加起来总数最多为6+6=12，超过20个水果的总数。

分类讨论问题(复习专题)

分类讨论问题(复习专题)

数学教研组²复习专题分类讨论问题数学教研组 鲁长友我们先看一个熟知的问题：一张正方形的桌子，锯掉一个角后，还剩几个角？不假思索者答：4-1=3，还剩3个角。

自以为聪明者答：反而多一个，应该是5个。

实际上，以上答案都不全面，因为“锯掉一个角”这个条件并不明确，所以应该分以下三种情况来进行解答：（如图1）根据以上图示的锯法，所以这个问题的答案应该是：还剩5个角，或者4个角，或者3个角。

象上面这样的问题，因为条件不明确而其解答过程和答案不唯一。

近年各地中考试题中，经常出现一些需要分类考虑的问题．本文就常见的类型举例进行介绍如下。

一、与绝对值概念有关的问题 如果∣X ∣=a ，则x=±a 。

例：如果∣a ∣=3，∣b ∣=5，则a+b= 。

解：a=±3，b=±5，a+b 的值分别为： ①a+b=2+3=5； ②a+b=-2+3=1； ③a+b=2-3=-1； ④a+b=-2-3=-5。

二、与偶次方根有关的分类求解如果x 2n=a ，那么x=±2na 。

如x 2=9，则x=±3 。

三、与三角形有关的分类求解 1．角的计算．例1、已知等腰三角形的一个内角50°，则其它两角的度数是 ．分析：50°的角有可能为底角，也有可能为顶角，故必须分类求解．解(1)当50°的角为底角时，则顶角为180°一2³ 50°=80°(2)当50°的角为顶角时，则底角为 21（180°-50°）=65° 故应填 50°、80°或65°、65°．例2、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45。

，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ．分析：根据题意，可画出如图所示的两种图形：(1)当垂足在腰上时，如图∠A=45° (2)当垂足在腰的延长线上时，如图，得∠BAC=90°+45°=135°．故应填45~或135。

分类讨论题(含答案)

分类讨论题(含答案)

分类讨论题在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论,特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市)若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.（•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为（)A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，（1)求证：B′E=BF;（2）设AE=a,AB=b, BF=c，试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明。

类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时,特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解,其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt△ABC中,∠C＝900,AC＝3,BC＝4。

若以C点为圆心, r为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，3cos5B ．如果圆O的半径为10,且经过点B、C，那么线段AO的长等于．6。

（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A,⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(厘米）与时间t（秒)之间的关系式为r＝1+t(t≥0）．(1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t(秒）之间的函数表达式；（2)问点A出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式,然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7。

八年级等腰三角形的分类讨论专题

八年级等腰三角形的分类讨论专题

专题一：等腰三角形中的分类讨论（一）角分类：顶角和底角+ 三角形内角和；外角1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求顶角的度数。

2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数。

3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是．（二）边分类：底边和腰+ 三角形三边关系4.等腰三角形的两边分别是8,6，这个等腰三角形的周长为5.等腰三角形的两边分别是8,3，这个等腰三角形的周长为6.在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________.（三）中线分类7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底长。

8.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长（四）高、垂直平分线分类9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，求底角的度数10.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________11.（2018·哈尔滨中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数12.（2019·白银中考）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=13.(2018·绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题。