微分算子法
微分算子法分类小结
一、n 阶微分方程
1、二阶微分方程： 22d y d x +p(x)x
d dy
+q(x)y=f(x)
2、n 阶微分方程： y (n)+a 1y (n-1)+a 2y (n-2)+a 3y (n-3)+ ... +a n y=f(x) 二、微分算子法 1、定义符号：
D x
=d d
，D 表示求导，如Dx 3=3x 2，D n y 表示y 对x 求导n 次；D 1表示积分，如D 1
x=
x 212 ,
n D
1
x 表示 对x 积分n 次，不要常数。 2、计算
将n 阶微分方程改写成下式：
D n y +a 1D n-1y +a 2D n-2y +a 3D n-3y + ... +a n-1Dy +a n y=f(x)
即 （D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n ）y=f(x) 记F(D)=D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n 规定特解：y
*
=)(F(D)
1
x f 3、F(D)
1的性质
(1)性质一：F(D)
1
e kx =F(k)1e
kx (F (k) 不等于0）
注：若k 为特征方程的m 重根时，有
F(D)1e kx = x m (D)
F 1(m)
e kx = x m
(k)F 1(m)e kx (2)性质二：F(D)1e kx v (x)= e kx k)F(D 1+v (x)
(3)性质三：特解形如F(D)1sin(ax)和F(D)
1
cos(ax) i.考察该式（该种形式万能解法）：F(D)
1e iax 利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解 注：欧拉公式 e iax
= cos(ax)+i sin(ax)
虚数 i
2
= -1
ii.若特解形如)
F(D 12sin(ax)和) F(D 12cos(ax)，也
可按以下方法考虑： 若F (-a 2)≠0，则
)
F(D 1
2sin(ax)=)F(-a 12sin(ax) )
F(D 1
2cos(ax)=)F(-a 12cos(ax) 若F (-a 2)= 0 ，则按i.进行求解，或者设-a 2为F (-a 2)
的m 重根，则
)
F(D 12sin(ax)=x m
)(D F 12(m)sin(ax) )
F(D 12cos(ax)=x m
) (D F 12(m)cos(ax)
(4)性质四（多项式）：
F(D)
1（x p +b 1x p-1+b 2x p-2
+...+b p-1x+b p ） = Q(D)（x p +b 1x p-1+b 2x p-2+...+b p-1x+b p ）
注：Q (D)为商式，按D 的升幂排列，且D 的最高次幂为p 。
(5)性质五（分解因式）:
)(F(D)1x f =)()
(F (D)F 1
21x f D •=)()(F (D)F 112x f D • (6)性质六:
))()((F(D)
1
21x f x f +=)(F(D)1)(F(D)121x f x f + 三、例题练习
例1. 22d y
d x
+4y =e
x
则(D
2
+4)y =e x
,特解y
*
=4
12+D e
x
=411
2+e x =5
1e x
(性质一)
例2、 y (4)+y =2cos(3x ），则(D 4+1)y = 2cos(3x ） 特解y
*
=1
1
4+D 2cos(3x ）= 2114+D cos(3x ）
= 21)3-(1
22+cos(3x ）=41
1cos(3x ）(性质三)
例3、22d y d x -
4x
d dy +4y = x 2e
2x ,则(D 2-
4D +4)y = x
2
e
2x 特解y
*
=+4
4-12D D x 2e 2x = e
2x 2-212
）（+D x 2 =e
2x
12
D
x 2
= 121x 4e
2x （性质二）
例4、33d y d x -322d y
d x +3
x
d dy - y =
e x
,则(D 3
-3D 2
+3D -1)y =e
x
特解y *
=31-1）（D e x =e x 31-11）
（+D •1 =e
x
31D •1=6
1x 3
e x
(性质二） 例5、33d y d x -
y =sinx ,则(D 3-
1)y =sinx ,特解y *=1
-1
3D sinx
考察
1
-13D e
ix
1
-13D e
ix
=1-i 13e ix
=1i 1-+e ix =21-i e
ix =21
-i (cosx +i sinx)
=-21(cosx +sinx)+i 21
(cosx -
sinx)
取虚部为特解y *
=2
1(cosx -
sinx) (性质一、三)
例6、22d y d x +y =cosx ，则(D 2
+1)y =cosx ，特解y *=1
12+D cosx
考察1
12+D e ix 1
12+D e ix
=i) i)(D -(1+D e ix
=i)i)(D -(1+D e ix
=i
2i)-(1•D e ix =e ix i)-i (i 21
+•D •1
=-2i x e ix =21
xsinx -i 21xcosx
