高中数学解三角形和数列测试题苏教版必修四

章末综合测评(一) 三角函数(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是第________象限角． 【解析】 ∵sin α＜0，tan α＞0， ∴α是第三象限角． 【答案】 三2．已知圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是________． 【解析】 15°化为弧度为π12，设扇形的弧长为l ，则l ＝6×π12＝π2，其面积S ＝12lR ＝12×π2×6＝3π2.【答案】3π23．cos 675°＝________.【解析】 cos 675°＝cos(675°－720°)＝cos(－45°) ＝cos 45°＝22. 【答案】224．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是________．【解析】 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的． 【答案】 －3π45．角α，β的终边关于x 轴对称，若α＝30°，则β＝________.【解析】 画出图形，可知β的终边与－α的终边相同，故β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z .【答案】 －30°＋k ·360°，k ∈Z6．(2016·南通高一检测)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是________．【解析】 由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，∴－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，327．设α是第二象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1等于________． 【解析】 因为α是第二象限角， 所以sin αcos α·1sin 2α－1 ＝sin αcos α·1－sin 2αsin 2α＝sin αcos α·|cos α||sin α| ＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 【答案】 －18．(2014·重庆高考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 【解析】 将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin 12×π6＋π6＝sin π4＝22.【答案】229．(2016·如皋高一检测)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为________．【解析】 由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－13，∴1cos 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋11＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝103. 【答案】10310．(2016·南京高一检测)已知点P (tan α，sin α－cos α)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是________．【解析】 ∵点P 在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α＞0，①sin α－cos α＞0，②由①知0＜α＜π2或π＜α＜3π2， ③由②知sin α＞cos α.作出三角函数线知，在0,2π]内满足sin α＞cos α的α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4. ④由③，④得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4 11．(2016·苏州高一检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图1所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝________.图1【解析】 由图象知32T ＝π，∴T ＝2π3，A ＝2，又∵T ＝2πω，∴ω＝3，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0代入y ＝2sin(3x ＋φ)得：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π4＋φ＝0，取φ＝－34π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3×7π12－3π4＝2sin π＝0.【答案】 012．化简：1－2sin 200°cos 160°＝________. 【解析】 原式＝1－＋－＝1－2sin 20°cos 20°＝－2＝cos 20°－sin 20°. 【答案】 cos 20°－sin 20°13.如图2为一半径是3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则ω＝________，A ＝________.图2【解析】 由题意知，半径即是振幅，A ＝3，因为水轮每分钟旋转4圈，即周期为T ＝604＝15 s ，所以ω＝2πT ＝2π15. 【答案】2π153 14．(2016·泰州高一检测)关于函数f (x )＝2sin3x －34π，有下列命题：①其最小正周期为23π；②其图象由y ＝2sin 3x 向左平移π4个单位而得到；③其表达式可以写成f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋34π； ④在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，512π为单调递增函数．则其中真命题为________．(需写出所有真命题的序号) 【解析】 ①由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －34π得T ＝2π3，故①正确．②y ＝2sin 3x 向左平移π4个单位得y ＝2sin3x ＋34π，故②不正确．③由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4－3π2＝－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋34π， 故③正确．④由2k π－π2≤3x －34π≤2k π＋π2(k ∈Z )得23k π＋π12≤x ≤23k π＋512π(k ∈Z )，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －34π的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23k π＋π12，23k π＋512π(k ∈Z )．当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12， 故④正确． 【答案】 ①③④二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．【解】 (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.(2)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2；当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.16．(本小题满分14分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)． (1)求π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)求sin 2α＋2sin αcos α－cos 2α＋2的值． 【解】 由已知，得－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)， ∴sin α＝－2cos α. ∵cos α≠0，∴tan α＝－2.(1)原式＝sin α＋5cos α－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝tan α＋5－2＋tan α＝－2＋5－2－2＝－34.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝tan 2α＋2tan α－1tan 2α＋1＋2 ＝4＋－－14＋1＋2＝95.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；图3(2)写出f (x )的值域、周期、对称轴、单调区间． 【解】 (1)列表如下：(2)由上图可知：值域为－3,3]，周期为2π，对称轴为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π4＋k π，k ∈Z， 单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )， 单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )． 18．(本小题满分16分)(2016·天津十二区联考二)函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图4所示．图4(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．【解】 (1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32， 因为0＜φ＜π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1＜x 0＜2. 故7π6＜πx 0＋π6＜13π6， 由f (x 0)＝32得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，解得x 0＝53.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2 ＝－sin πx ，所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx＝32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32. 19．(本小题满分16分)(2016·宿迁高一检测)已知函数y ＝a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋b 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为－5,1]，求a ，b 的值． 【解】 由题意知a ≠0.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a2＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3.当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧－12a ＋b ＝1，a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1.综上，a ＝4，b ＝－3或a ＝－4，b ＝－1.20．(本小题满分16分)(2016·南通高一检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．【解】 (1)设f (x )的最小正周期为T ，得T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π.由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－π3＋2k π，k ∈Z .又|φ|＜π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的周期为2π3，又k＞0，∴k ＝3.令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 如图，sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解的条件是s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，∴方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，恰有两个不同的解的条件是m ∈[)3＋1，3，即实数m 的取值范围是3＋1,3).。

第1章 三角函数(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．sin 600°＋tan 240°的值是________． 2．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________cm.3．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________． 4．已知tan α＝34，α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则cos α的值是________． 5．已知sin(2π－α)＝45，α∈(3π2，2π)，则sin α＋cos αsin α－cos α＝________.6．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象可能是________．(填图象对应的序号)7．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象向________平移______个单位长度得到．(答案不唯一)8．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是________．9．方程sin πx ＝14x 的解的个数是________．10．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π12)＝________.11．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________．12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则ω＝________，θ＝________.13．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为________．14．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是______．二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．16．(14分)已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值．17．(14分)已知α是第三象限角，f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)·tan (－α－π)tan (－α)·sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－1 860°，求f (α)的值．18．(16分)如图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R ，ω>0,0≤θ≤π2)的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π. (1)求θ和ω的值；(2)已知点A (π2，0)，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈[π2，π]时，求x 0的值．19．(16分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．20．(16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0且ω>0,0<φ<π2)的部分图象，如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．第1章 三角函数(A)1.322．6π＋40 解析 ∵圆心角α＝54°＝3π10，∴l ＝|α|·r ＝6π.∴周长为(6π＋40) cm. 3.7π4 4.－45 5.17解析 sin(2π－α)＝－sin α＝45，∴sin α＝－45.又α∈(3π2，2π)，∴cos α＝35.∴sin α＋cos αsin α－cos α＝17. 6．①②③解析 当a ＝0时f (x )＝1，③符合， 当0<|a |<1时T >2π，①符合，当|a |>1时T <2π，②符合．7．右 π3解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －23π＝cos2⎝⎛⎭⎫x －π3. 8.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4解析 sin α－cos α>0且tan α>0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2或α∈⎝⎛⎭⎫π，54π. 9．7解析 在同一坐标系中作出y ＝sin πx 与y ＝14x 的图象观察易知两函数图象有7个交点，所以方程有7个解． 10．0解析 方法一 由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3，∴ω＝2πT＝3.∴y ＝2sin(3x ＋φ)，将(π4，0)代入上式sin(3π4＋φ)＝0. ∴3π4＋φ＝k π，k ∈Z ，则φ＝k π－3π4. 7π7π3π方法二 由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3.又由正弦图象性质可知，若f (x 0)＝f (x 0＋T2)＝0，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝f (π4)＝0. 11．8 解析T ＝6，则5T4≤t ，∴t ≥152，∴t min ＝8.12．2 π2解析 ∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，∴θ＝π2.∵图象与直线y ＝2的两个交点横坐标为x 1，x 2， |x 2－x 1|min ＝π，即T min ＝π， ∴2πω＝π，ω＝2. 13.π6解析 ∵y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，即3cos(2×4π3＋φ)＝0，∴8π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . ∴φ＝－13π6＋k π.∴当k ＝2时，|φ|有最小值π6.14.32解析 由函数向右平移43π个单位后与原图象重合，得43π是此函数周期的整数倍．又ω>0，∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝32. 15．解 y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝4sin 2x －4sin x －1＝4⎝⎛⎭⎫sin x －122－2，令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1， ∴y ＝4⎝⎛⎭⎫t －122－2 (－1≤t ≤1)． ∴当t ＝12，即x ＝π6＋2k π或x ＝5π6＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－2；当t ＝－1，即x ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时，y max ＝7.16．解 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， ∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12. 当a >0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3，∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1， 综上可知，实数a 的值为2或－1.17．解 (1)f (α)＝sin α·cos (－α)·[－tan (π＋α)]－tan α[－sin (π＋α)]＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α， 又cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15. 又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.(3)f (α)＝f (－1 860°)＝cos(－1 860°)＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝12.18．解 (1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得cos θ＝32， 因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6.由已知T ＝π，且ω>0，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)因为点A (π2，0)，Q (x 0，y 0)是P A 的中点，y 0＝32，所以点P 的坐标为(2x 0－π2，3)．又因为点P 在y ＝2cos(2x ＋π6)的图象上，且π2≤x 0≤π，所以cos(4x 0－5π6)＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6，从而得4x 0－5π6＝11π6，或4x 0－5π6＝13π6，即x 0＝2π3，或x 0＝3π4.19．解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6， 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．20．解 (1)由图象易知函数f (x )的周期为 T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π6－2π3＝2π，A ＝1，所以ω＝1.方法一 由图可知此函数的图象是由y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位得到的，故φ＝π3，所以函数解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 方法二 由图象知f (x )过点⎝⎛⎭⎫－π3，0， 则sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0，∴－π3＋φ＝k π，k ∈Z . ∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )与y ＝a 的图象在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个交点，在图中作y ＝a 的图象，如图为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫0，5π3上的图象，当x ＝0时，f (x )＝32，当x ＝5π3时，f (x )＝0，由图中可以看出有两个交点时，a ∈⎝⎛⎭⎫32，1∪(－1,0)．。

高中数学学习材料唐玲出品第三章 三角恒等变换（数学苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

把答案填在题中横线上）1. 在△ABC 中，若cos B cos C-sin B sin C ≥0，则这个三角形一定不是 三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).2. 若△ABC 的内角A 满足sin 2A = ，则sin A+cos A = .3. = .4. 若函数y =f （x ）=sin x+ cos x+2，x ∈[0，2π），且关于x 的方程f （x ）=m 有两个不等实数根α，β，则sin （α+β）= .5. 已知：α-β=，tan α=3m ，tanβ=3-m，则m= .6. 已知函数f (x )=cos(2x+)+sin 2x ，则 f （x ）的最小正周期为 . 7. 已知函数f (x )=a cos 2x-b sin x cos x-2a的最大值为，且f()= ，则f(-)= . 8. 函数y =2sin x -cos 2x 的值域是 . 9. 设-＜α＜，- ＜β＜，tan α，tan β是方程x 2-3x+4=0的两个不等实根，则α+β的值为 . 10.2sin50sin80(1tan 60tan10)1sin100+++= .11. 已知f （cos x ）=cos 2x ，则f （sin x ）的表达式为 ．12. 函数y =lg （sin x+cos x ）的单调递减区间为 ．13.函数f (x )=cos x -cos 2x (x ∈R )的最大值等于 ．14. 若f （x ）是以5为周期的函数，f （3）=4，且cos α=，则f （4cos2α）= . 二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15. （12分）已知函数f （x ）=2cos 2x+2 sin x cos x ． （1）求函数f （x ）定义在[-，]上的值域．（2）在△ABC 中，若f （C ）=2，2sin B =cos （A-C ）-cos （A+C ），求tan A 的值．16.(12分)已知0＜x ＜π2,化简:lg(cos x ·tan x+1- 2sin 22x )+lg[2cos(x-π4)-lg(1+sin 2x ).17. (12分) 已知向量 a =(cos α，sin α)， b =(cos β，sin β)，|a - b |= ． （1）求cos （α-β）的值；（2）若0＜α＜，＜β＜0，且sin β= ，求sin α．18. （12分）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0，π2）．若x 1，x 2∈（0，π2），x 1≠x 2，证明12 [f （x 1）+ f （x 2）]＞f （122x x +）．19. （16分）已知α为第二象限的角，sin α=，β为第一象限的角，cos β=．求tan （2α-β）的值．20.(16分)已知-π2＜x＜0，sin x+cos x=15.（1）求sin x-cos x的值；（2）求223sin2sin cos cos22221tantanx x x xxx-++的值.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15．16.17.18.19.20.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答案一、填空题1.锐角解析：在△ABC中，若cos B cos C-sin B sin C≥0，则有cos（B+C）≥0，故B+C为锐角或直角，故角A 为钝角或直角，从而可得此三角形为钝角三角形或直角三角形，故一定不是锐角三角形．2.解析：由sin 2A=2sin A cos A＞0，可知A为锐角，所以sin A+cos A＞0.又(sin A+cos A)2=1+sin 2A=，所以sin A+cos A=．3. 解析：== =sin30°= ．4. 解析：函数y=f（x）=sin x+cos x+2=2（sin x+ cos x）+2=2sin（x+）+2．再由x∈[0，2π）可得≤x+＜2π+，故-1≤sin（x+）≤1，故0≤f（x）≤4．由题意可得2sin（x+）+2=m有两个不等实数根α，β，且这两个实数根关于直线x+=或直线x+=对称，故有ππ332αβ+++=，或ππ332αβ+++=，故α+β=或α+β=，故sin（α+β）= ．5. 解析：∵α-β=，∴tan（α-β）=tan = .又tan α=3m，tan β=3-m，∴tan （α-β）=tan tan 1tan tan αβαβ-+=33133m m m m---+ =（3m -3-m）， ∴（3m -3-m ）= ，即3m -3-m =，整理得：（3m）2-3m-1=0， 解得：3m=，∴3m= 或3m=- （舍去），则m =．6. π 解析：函数f (x )=cos(2x+)+sin 2x =cos 2x cos -sin 2x sin =- sin 2x+， 所以函数f (x )的最小正周期是T ==π．7. 0或- 解析：∵函数f (x )=a cos 2x-b sin x cos x-2a =a •1cos 22x+ -b •sin 2x-2a =2a •cos 2x-b •sin 2x ． 它的最大值为22a b +=，故有a 2+b 2=1． ①再由f ()= 可得-a- b =，即 a+b =- ②由①②解得3,0,21,1,2a ab b ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩或 ∴f (- )= -a+ b =- ，或 f (- )= -a+ b =0． 8. [32-，3] 解析：由题意可得：y =2sin x-cos 2x =2sin 2x+2sin x-1=2(sin x+12)232-，又sin x ∈[-1，1]， 当sin x =-12时，函数f （x ）取到最小值为32-， 当sin x =1时，函数f （x ）取到最大值为3， 综上函数f （x ）的值域是[32-，3]． 9. 解析：∵tan α，tan β是方程x 2-3x+4=0的两个不等实根， ∴有tan α+tan β=3，① tan α•tan β=4，② ∴tan （α+β）=tan tan 1tan tan αβαβ+- = =-.∵＜α＜，＜β＜，由②知两个角是在同一个象限，由①知两个角的正切值都是正数， ∴0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π，∴α+β=.10. 2 解析：原式=sin102sin 50sin 80(1tan 60)cos101cos10++∙+=2sin 50(cos103sin10)2cos5++=2sin502sin 402cos5+=22sin 45cos52cos5⨯=2.11. f （sin x ）=-cos 2x 解析：∵ cos 2x =2cos 2x-1， ∴f （cos x ）=cos 2x =2cos 2x-1．∴f （sin x ）=2sin 2x-1=-（1-2sin 2x ）=-cos 2x ． 故答案为f （sin x ）=-cos 2x ．12. [ +2k π， +2k π） 解析：由题意，令m =sin x+cos x = sin （x+）， 由m ＞0得，2k π＜x+ ＜π+2k π，解得- +2k π＜x ＜ +2k π， ∴函数的定义域是（ +2k π， +2k π）. 又∵y =lg x 在定义域内是增函数，∴原函数的单调递减区间是y=sin （x+ ）的递减区间， ∴ +2k π≤x+ ≤ +2k π，解得 +2k π≤x ≤+2k π， ∴所求的单调递减区间是[ +2k π，+2k π）．13. 34 解析： f （x ）=cos x-12cos2x =cos x-12（2cos 2x-1）=-cos 2x+cos x+12=-(cos x-12)2+34， 所以f （x ）的最大值为34．14.4 解析：∵4cos2α=4（2cos 2α-1）=-2，∴ f （4cos2α）=f （-2）=f （-2+5）=f （3）=4．二、解答题15. 解：（1）f （x ）=1+cos 2x+ sin 2x =2sin （2x+）+1. ∵-≤x ≤, ∴- ≤2x+ ≤. ∴- ≤sin(2x+ )≤1.∴f （x ）∈[0，3]，即f （x ）的值域为[0，3].（2）由f （C ）=2得2sin （2C+ ）+1=2，∴sin （2C+ ）= ． ∵0＜C ＜π∴ ＜2C+ ＜. ∴2C+= ∴C = ∴A+B =．又∵2sin B =cos （A-C ）-cos （A+C ），∴2sin B =2sin A sin C ， ∴2sin( -A )= sin A ，即 cos A+sin A = sin A ， ∴( -1)sin A = cos A ，∴tan A = =．16. 解：∵ 0<x <π2， ∴ 原式=lg(cos x ·sin cos xx+cos x )+lg(cos x+ sin x )-lg(1+sin 2x )=lg(sin x+cos x )+lg(cos x+sin x )-lg(1+sin 2x ) =lg(sin x+cos x )2-lg(1+sin 2x ) =lg(1+sin 2x )-lg(1+sin 2x )=0.17. 解：（1）∵ a =(cos α，sin α)， b =(cos β，sin β)， ∴ a - b =(cos α-cos β，sin α-sin β)．∵| a - b |= ， ∴22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+- = ，即2-2cos(α-β)= ，∴cos(α-β)= ．（2）∵0＜α＜ ， - ＜β＜0， ∴0＜α-β＜π. ∵cos(α-β)= ，∴sin(α-β)= ．∵sin β=- ，∴cos β= ， ∴sin α=sin[（α-β）+β] =sin （α-β）cos β+cos （α-β）sin β= × ×(- )= .18. 证明：tan x 1+tan x 2=11sin cos x x +22sin cos x x =121212sin cos cos sin cos cos x x x x x x + =1212sin()cos cos x x x x +=1212122sin()cos()cos()x x x x x x +++-.∵x 1，x 2∈（0，π2），x 1≠x 2， ∴2sin （x 1+x 2）＞0，cos x 1cos x 2＞0，且0＜cos （x 1-x 2）＜1， 从而有0＜cos （x 1+x 2）+cos （x 1-x 2）＜1+cos （x 1+x 2）， 由此得tan x 1+tan x 2＞12122sin()1cos()x x x x +++，∴12（tan x 1+tan x 2）＞tan 122x x +，即12 [f （x 1）+f （x 2）]＞f （122x x +）． 19. 解：∵α为第二象限角，sin α=，∴cos α=- ，tan α=- ，tan2α=-又∵β为第一象限角，cos β=，∴sin β=，tan β=，∴tan （2α-β）=tan 2tan 1tan 2tan αβαβ-+ ==.20.解：（1）由sin x+cos x=15，得 sin 2x+2sin x cos x+cos 2x=125，即2sin x cos x=-2425.∴ （sin x-cos x ）2=1-2sin x cos x =4925.又∵ -π2＜x ＜0，∴ sin x ＜0，cos x ＞0，sin x -cos x ＜0，故sin x-cos x=-75.（2）223sin 2sin cos cos 22221tan tan x x x x x x -++=22sin sin 12sin cos cos sin x x x xx x-++=sin x cos x （2-cos x -sin x ）=（-1225）×（2-15）=-108125.。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作3.3 几个三角恒等式（数学苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、填空题（每小题6分，共30分）1. 等腰三角形顶角的余弦值为23，那么这个三角形一底角的余弦值为________．2．已知α为锐角，sin α＝35，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－45.则sin(α＋β)的值为 .3.已知sin θ= 35，θ为锐角，则sin 2θ= . 4．函数f （x ）=sin x （1+tan xtan 2x）的最小正周期是 ．5．sin 22cos xx（1+tan x ·tan 2x ）= ．二、解答题(共70分) 6．（15分）已知tan262=+βα，tan αtan β=713，求cos （α－β）的值．7.（20分）已知f （x ）=－21+2sin 225sinxx，x ∈（0，π）．（1）将f （x ）表示成cos x 的多项式；（2）求f （x ）的最小值．8．(20分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A +C =2B ，BC A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2CA -的值．9.（15分）已知sin α+sin β=2，cos α+cos β=32，求tan （α+β）的值．3.3 几个三角恒等式同步测试试卷（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5．二、解答题6.7.8.9.3.3 几个三角恒等式 答案一、填空题 1.66 解析：设底角为α，顶角为β,则α＝π2－2β，cos β＝23, ∴cos α＝cos(π2－2β)＝sin 2β＝1cos 2β-＝66. 2. 0 解析：∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝45.∵cos(π＋β)＝－45，∴cos β＝45.又β为第四象限角，∴sin β＝－35，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝35×45＋45×(－35)＝0. 3.1010解析：∵ θ为锐角且sin θ=35， ∴ sin2θ＞0且cos θ=45， ∴ sin2θ=1cos 2θ-=110=1010. 4. 2π 解析：f （x ）=sin x ·（1+222tan 21tan 2xx-） =sin x ·221tan 21tan 2x x +-=sin x ·2222sin cos 22cos sin 22x x x x +-=sin2cos2xx=tan x . ∵ 目标函数f （x ）的定义域为x ≠k π+π2且2x ≠k π+π2,k ∈Z ，即x ≠k π+π2且x ≠2k π+π,k ∈Z .显然有f （0）=0，而f （π）无意义，∴ T =2π.5. tan x 解析：原式=2sin cos sin 1cos (1)2cos cos sin x x x x x x x-+∙=1cos sin (1)cos x x x-+ =sin cos xx =tan x .二、解答题6.解： ∵tan αtan β=713)cos()cos()cos()cos(cos cos sin sin =++-+--=βαβαβαβαβαβα，∴cos（α－β）=－310cos （α+β）．又tan 26=2+βα，∴cos（α+β）=51)26(1)26(1tan 1tan 12222-=+-=2++2+-βαβα， 从而cos （α－β）=－310×（－51）=32．7．解：（1）f （x ）=2cos 23cos 22sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sinx x x xxx x x ==-=cos 2x+cos x=2cos 2x+cos x －1．（2）∵f （x ）=2（cos x+41）2－89，且－1≤cos x ≤1， ∴当cos x=－41时，f （x ）取得最小值－89． 8. 解：由题设条件知B =60°，A+C =120°，∴B cos 2-－︒60cos 2=－22， ∴CA cos 1cos 1+=－22． 将上式化简为cosA+cosC=－22cosAcosC ， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos2C A +cos 2CA -=－2［cos （A+C ）+cos （A －C ）］， 将cos 2C A +=cos60°=21，cos （A+C ）=cos120°=－21代入上式得cos 2CA -=22－2cos （A －C ），将cos （A －C ）=2cos 22C A -－1代入上式并整理得42cos 22C A -+2cos 2C A -－32=0，即［2cos2C A -－2］［22cos 2CA -+3］=0． ∵22cos 2C A -+3≠0，∴2cos 2CA -－2=0． ∴cos2C A -=22． 9. 解：322cos cos sin sin =++βαβα，由和差化积公式得2-2+2-2+βαβαβαβαcos cos 2cossin2=3， ∴tan2+βα=3，从而tan （αβ+）=433132tan tan222-=-⨯=2+-12+βαβα．。